专题23.4 解直角三角形24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题23.4 解直角三角形24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型三 求同角三角函数关系式 题型四 三角函数综合 题型五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型六 解直角三角形的应用 【经典例题一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），M（m，0）且m＞0，分别以AO、AM为边在∠AOM内部作等边△AOB和等边△AMC，连接CB并延长交x轴于点D，则C点的横坐标的值为（　　） A．m+ B．m+ C．m+ D．m+ 3．（2023·湖北孝感·二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，和是等腰直角三角形，，点、在的外部，连结，． （1）求证：； （2）若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点． ①如果，，求的值； ②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值． 【经典例题二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·期末）已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是 ． 4．（2023·山东淄博·一模）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【经典例题三 求证同角三角函数关系式】 1．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是： 4．（2024·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1． 要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中所画图形证明该命题．    【经典例题四 三角函数综合】 1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（      ） A．1 B． C． D． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在边长为6的等边ABC中，点D在边AC上，AD=1，线段PQ在边AB上运动，PQ=1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ． 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线（）与x轴交于点B．与y轴交于点A，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，轴交CD于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接AE，于点F．，，AG交x轴的负半轴于点G，设BF的长为t，点G的横坐标为n，求n与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求点F的坐标． 【经典例题五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是(       ) A．74cm B．64cm C．54cm D．44cm 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，Rt△ABC，∠C=90°，tan∠A=，D是AC中点，∠ABD=∠FBD，BC=6，CF∥AB，则DF= . 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在ABC中，，于点D，．点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动（点P不与点A、C重合）．过点P作交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E．设PQE与ACD重叠部分图形的周长为，点P的运动时间为t秒）． (1)用含t的代数式表示线段PQ的长 ． (2)当点E落在边AB上时，求t的值． (3)当PQE与ACD重叠部分图形是四边形时，求y与t之间的函数关系式． (4)点E关于直线AB的对称点为点F，连结PF．若PF垂直于ACD的一边时，直接写出t的值． 【经典例题六 解直角三角形的应用】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最高点距离地面，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：） 4．（2025·江西·模拟预测）年春晚中《秧》的舞蹈中，如图所示的机器人身穿红绿大花袄与舞蹈演员们整齐划一地扭秧歌，充分展示了传统与科技的完美融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距，图是其侧面示意图，机器人身体垂直于水平地面，胳膊段长，段长，胳膊与身体的夹角旋转的手绢近似圆形，半径，与保持垂直，与手绢旋转点之间的水平距离为． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．若图中机器人身体与舞者之间的距离为，此时手绢端点与舞者距离是否在安全距离范围内？请说明理由． 参考数据： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 解直角三角形24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型三 求同角三角函数关系式 题型四 三角函数综合 题型五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型六 解直角三角形的应用 【经典例题一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质得出tanA与cosB的值，再由特殊角的三角函数值求出∠A与∠B的值，进而可得出结论． 【详解】∵（tanA-3）2+=0， ∴tanA-3=0，2cosB-=0， ∴tanA=，cosB=， ∴∠A=60°，∠B=30°， ∴△ABC是直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），M（m，0）且m＞0，分别以AO、AM为边在∠AOM内部作等边△AOB和等边△AMC，连接CB并延长交x轴于点D，则C点的横坐标的值为（　　） A．m+ B．m+ C．m+ D．m+ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可以得出OA=AB，AM=AC，由等式的性质就可以得出∠OAM=∠CAB，再利用△AOM≌△ABC，可得BC=OM=m，然后根据C点横坐标为， 就可以得出结论. 【详解】∵△AOB、△AMC为等边三角形 ∴∠OAB=∠MAC，OA=AB，AM=AC ∵∠OAB-∠MAB=∠OAM   ∠MAC-∠MAB=∠CAB ∴∠OAM=∠CAB ∵ ∴△AOM≌△ABC(SAS) ∴BC=OM=m，∠AOM=∠ABC=90∘. ∵∠BOM=90°-∠AOB=30° ∴∠ABD=90°， ∴∠AOM=∠ABD ∴∠AOM−∠ABO=∠ABD−∠AOB， ∴∠OBD=∠BOD=30°， ∴OD=OB. ∴∠CDM=∠OBD+∠BOD=60° 则C点横坐标为=m+. 故答案为D. 【点睛】本题考查的知识点是三角形的全等，解题关键是求得BC=OM=m. 3．（2023·湖北孝感·二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据，可得为等腰直角三角形，以及可证，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD的值． 【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E， 在中，， ， 设BE为x，DE为y， 则根据勾股定理可得：， 即：， ，， ， ， ， ，即； 根据， 解得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，和是等腰直角三角形，，点、在的外部，连结，． （1）求证：； （2）若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点． ①如果，，求的值； ②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①GC•KG=12或GC•KG=20②AB：BD= 【分析】（1）根据∠BAC=∠EAD=90°，得出∠CAD=∠BAE，在△BAE和△CAD中，根据SAS得出△BAE≌△CAD，即可证出BE=CD； （2）①当点G在线段AB上时，推出△CGA∽△BGK，求出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=12；当点G在线段AB延长线上时，再根据已知条件求出△CGA∽△BGK，得出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=20； ②根据△BED为等腰直角三角形时，∠ADB=45°，得出AB：BD=sin45°，再计算即可 【详解】（1）∵∠BAC=∠EAD=90° ∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD， ∴∠CAD=∠BAE， 在△BAE和△CAD中， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE=CD； （2）①当点G在线段AB上时（如图1） ∵△BAE≌△CAD， ∴∠ACD=∠ABE， 又∵∠CGA=∠BGK， ∴△CGA∽△BGK， ∴ ∴AG•GB=GC•KG， ∵AC=8， ∴AB=8， ∵GA=2， ∴GB=6． ∴GC•KG=12， 当点G在线段AB延长线上时（如图2） ∵△BAE≌△CAD， ∴∠ACD=∠ABE， 又∵∠BGK=∠CGA， ∴△CGA∽△BGK， ∴ ∴AG•GB=GC•KG； ∵AC=8， ∴AB=8， ∵GA=2， ∴GB=10 ∴GC•KG=20 ②如图3， 当△BED为等腰直角三角形时， 则∠ADB=45°， AB：BD=sin45°= 【点睛】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，题目的综合性很强 【经典例题二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级下·全国·期末）已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是 ． 【答案】＜m＜ 【分析】根据θ的范围即可求得 km+的范围，从而求得m的取值范围． 【详解】∵0°＜θ＜30°， ∴sin0°＜sinθ＜sin30°， 即0＜km+＜， ∴-＜km＜， ∴＜m＜-． 故答案是：＜m＜-． 【点睛】本题主要考查了特殊角0°与30°的正弦值，以及正弦函数随角度的增大而增大． 4．（2023·山东淄博·一模）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先证明，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论； （2）证明即可得解． （3）作于点H，如图1，利用勾股定理计算出，利用△EFG∽△AEG得到，再证明得到，所以，则，，，x， ，接着•利用相似比表示出EH=，AH=，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用可确定x的范围； 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）答： 证明：作于点H． 在中，，, ． 在中，，． ， ． ， （3）， , ． ． ， ． ． ， ． ． ． 在中，，． ． 在中，，． ． ． ． ． ． ． x的取值范围． 【经典例题三 求证同角三角函数关系式】 1．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是： 【答案】a2+b2=c2+d2 【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系． 【详解】由①得asinθ+bcosθ=c， 两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③， 由②得acosθ-bsinθ=-d， 两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④， ③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2， ∴a2+b2=c2+d2． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键． 4．（2024·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1． 要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中所画图形证明该命题．    【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】①点A为圆心，m长为半径，在射线AM上截取；以点C为圆心作弧，与射线AM交于两点，分别以这两点为圆心，大于其距离的一半为半径作两条弧，交于一点，连接点C与这一点，得到过点C的AM的垂线，该垂线交AN于点B，即为所求． ②根据三角函数的定义以及勾股定理证明即可． 【详解】解：①如图，Rt△ABC即为所求．    ②∵在中，, ∴，，， ． 【点睛】本题考查尺规作图、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【经典例题四 三角函数综合】 1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可． 【详解】解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， ∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部， 很显然， ①若∠BCP=90°，则CP=BC=2 这C作CE⊥AD,交AD于点E， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60° ∴CE=CDsin∠D=2 ∴点P在菱形ABCD的外部， ∴与题设相矛盾，故此种情况不存在； ②∠BPC=90° 过P作PF⊥BC交BC于点F， ∵△BPC是等腰直角三角形， ∴PF=BF=BC=1 ∴P(1,1)，F(1,0) 过点A作AG⊥BC于点G， 在Rt△ABG中，∠ABG=60° ∴∠BAG=30° ∴BG=，AG= ∴A， ∴点F与点G重合 ∴点A、P、F三点共线 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（      ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据HL判定Rt△ABM Rt△AND，再由全等三角形的对应角相等证明∠DAM=∠AND，继而证明DN//AM，进一步得到△DNT△AMT，然后根据相似三角形对应边成比例解题，结合tan∠ABM=，可解得，据此解题． 【详解】∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°， ∴Rt△ABM Rt△ADN（HL） ∴∠DAN=∠BAM，DN=BM． ∵ ∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°， ∴∠DAM=∠ADN， ∴DN//AM， ∴△DNT△AMT， ∴=， ∵tan∠ABM=== ∴ ∵AD=DC=4， ∴AT=AD=1， 故选 A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在边长为6的等边ABC中，点D在边AC上，AD=1，线段PQ在边AB上运动，PQ=1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ． 【答案】 6+ 【分析】设AQ=x，则四边形PCDQ的面积=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BC，当x取最大值5时，可得求得四边形PCDQ的面积最大值；作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，再根据勾股定理求得CN的长，即可得出四边形PCDQ周长的最小值． 【详解】解：设AQ=x，则四边形PCDQ的面积=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP ， ∵x的最大值为6﹣1=5， ∴x=5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=， 如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M， 则DQ=D'Q=MP，DD'=2×AD×sin60°=，D'M=PQ=1， 过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N=90°， CH=BCsin60°=3，NH=DD'=， ∴MN=AH﹣D'M﹣ADcos60°=ACcos30°﹣1﹣=3﹣1﹣， ， 当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长， 此时，Rt△MNC中，， 又∵PQ=1，CD=6﹣1=5， ∴四边形PCDQ周长的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线（）与x轴交于点B．与y轴交于点A，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，轴交CD于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接AE，于点F．，，AG交x轴的负半轴于点G，设BF的长为t，点G的横坐标为n，求n与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求点F的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)n= (3)(，) 【分析】(1)先求得B的坐标，代入直线的解析式即可 ． (2) 先证明△FBE∽△OAB，求得EF=，过点A作AH⊥BE于点H，证明四边形AOBH是矩形，△OAG∽△HAE，整理即可． (3) 如图，过点F作FN⊥x轴于点N，利用三角函数法求解 ． 【详解】（1）∵直线（）与x轴交于点B．与y轴交于点A， ∴A(0，-2k)，B(2，0)， 当x=2时，=b-2， ∴E(2，b-2)， ∴EB=b-2-0=b-2． （2）∵直线（）与x轴交于点B．与y轴交于点A， ∴A(0，-2k)，B(2，0)， ∴OA=|-2k|=-2k，OB=2， ∵轴，， ∴AO∥BE， ∴∠FBE=∠OAB， ∴△FBE∽△OAB， ∴， ∴， 解得EF=， 过点A作AH⊥BE于点H， ∵EF⊥AB， ∴A、F、E、H四点共圆， ∴∠FAH=∠BEF， ∵∠BEF=2∠EAF， ∴∠FAH=2∠EAF=∠EAF+∠EAH， ∴∠EAF=∠EAH， ∴EF=EH=， ∵AO⊥OB，AH⊥BE，BH⊥OB， ∴四边形AOBH是矩形， ∴∠OAH=90°，AH=OB=2， ∵AG⊥AE， ∴∠OAG=∠HAE， ∴△OAG∽△HAE， ∴， ∴×(-2k)=-2n， 解得n=． （3）如图，过点F作FN⊥x轴于点N，根据(2)，得AB=t+2， ∴sin∠OAB=，tan∠OAB=， ∵FN∥AO， ∴∠OAB=∠NFB， ∴sin∠NFB =，tan∠NFB =， ∴NB=，FN==， ∴ON=OB-NB=2-=，FN==， ∴F的坐标为(，)， ∵CG=5， ∴b=n+5=5-t， ∴BE=b-2=3-t， ∵cos∠FBE= cos∠BFN， ∴， ∴k=， ∴F的坐标为(，)， 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，四点共圆，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定，灵活运用三角函数是解题的关键． 【经典例题五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是(       ) A．74cm B．64cm C．54cm D．44cm 【答案】B 【分析】首先过A作AM垂直PC于点M，过点B作BN垂直DQ于点N，再利用三角函数计算AM和BN，从而计算出MN. 【详解】解:根据题意过A作AM垂直PC于点M，过点B作BN垂直DQ于点N    所以 故选B. 【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握. 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，Rt△ABC，∠C=90°，tan∠A=，D是AC中点，∠ABD=∠FBD，BC=6，CF∥AB，则DF= . 【答案】 【分析】延长交与点，过点作，垂足为，垂足为，过点作垂足为.先证明，再证明 然后证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，设，得出，然后根据三角函数解得，再根据等腰直角三角形解得. 【详解】延长交与点，过点作，垂足为，垂足为，过点作垂足为，如下图： ∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、三角函数，准确作出辅助线是解本题的关键. 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在ABC中，，于点D，．点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动（点P不与点A、C重合）．过点P作交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E．设PQE与ACD重叠部分图形的周长为，点P的运动时间为t秒）． (1)用含t的代数式表示线段PQ的长 ． (2)当点E落在边AB上时，求t的值． (3)当PQE与ACD重叠部分图形是四边形时，求y与t之间的函数关系式． (4)点E关于直线AB的对称点为点F，连结PF．若PF垂直于ACD的一边时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， (4)或 【分析】（1）根据，且，得PC=PQ，进而可求解． （2）当点E落在边AB上时，易得四边形APQE是平行四边形，可得AE=PQ=PC=5-t，根据同角的余弦值相等即可求解． （3）当点E、D、Q三点共线时，由PQ∥AB，EQ∥AC，得出四边形ADQP是平行四边形，则PQ=AD=4，即5-t=4，得出t=1，则当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，0＜t≤1；当点E落在边AB上时，由（2）得t=，AE=PQ=＜AD，得出点P在到达点C前，点E始终在CD的左边，即≤t＜5． （4）分两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴PQ=PC， ∴PC=PQ=5-t， 故答案为：5-t． （2）如图：当点E落在边AB上时，由题意得： ∴，， ∴四边形APQE是平行四边形， ∴AE=PQ=PC=5-t， 在Rt△ADC中，∠CDA=90°， ∴， ， 在Rt△APE中，∠APE=90°，cos∠CAD=， ∴=， ∴AE=AP=t， ∵PQ∥AB，EQ∥AC， ∴四边形AEQP是平行四边形， ∴PQ=AE， 即：5-t=t， 解得． （3）①当0＜t≤1时，如图所示，过点P作PF⊥AB，由（2）可知，则sin∠A=，tan∠A=． 在Rt△PAH中，∵PA=t， ∴PH=，AH=． ∵AD=4， ∴DH=4-． ∵ ∴∠CPG=∠ADC=90°． ∴在Rt△PGC中， PG=PC=（5-t）． 在Rt△PAF中， PF=PA=． ∴DG=PF=． ∴四边形PGDH的周长y=PH+HD+DG+PG=+（4-）++（5-t） =8-． ∴当0＜t≤1时，y与t之间的函数关系式为； ②当时，如图所示，∵ ∴∠CPG=∠ADC=90°， ．∠CPQ=∠A， 由（2）可知，则sin∠A=，tan∠A=． ∴cos∠CPQ=， ∵， ∴∠PEQ=∠APE=90°， ．∠PQE=∠CPQ， ∴cos∠CPQ=， ∵PQ=PC=5-t， ∴在Rt△PQE中， PE=，QE=． ∴在Rt△PGC中， PG=PC=（5-t）． ∴GQ=PQ-PG=． 在Rt△GHQ中， GH=GQ=． QH==． ∴EH=QE-QH=-= ∴四边形PGDH的周长y=PE+EH+GH+PG=+++（5-t） = ∴当时，y与t之间的函数关系式为； 综上所述：当0＜t≤1时，y与t之间的函数关系式为；当时，y与t之间的函数关系式为； （4）如图所示，当PF⊥CD时，连接EF，交AB于点G，PE交AB于点H， ∵E，F关于AB对称， ∴EG=GF， ∵PF∥GH， ∴PH=HE． 由（3）可知PE=，PH= ∴= 解得：t=． 如图所示，当PF⊥AC时，由（3）可得= 解得：t=． 综上所述，当或时PF垂直于ACD的一边． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；根据题意作出图形，并熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【经典例题六 解直角三角形的应用】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 2．（2023·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可． 【详解】解：如图：连接AC 由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH ∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD ∵∠AOC=∠AOB=90° ∴△OAC为等腰直角三角形 又∵∠OAB= ∠OCD： ∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB =180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD 又∵CJ=DJ ∴AJ垂直平分CD 同理：GI垂直平分AB ∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线 即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5° 易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA ∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5° ∴∠OBH=OHB=45° 设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a ∴tan∠A= ∴ 设IH=（）x，AI=x ∴IH+IA==，即x=1 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最高点距离地面，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】21.1 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．设登舱P逆时针旋转5分钟后到达点G，点D为最高点，点O为摩天轮的圆心，为旋转前的高度，为摩天轮的直径，为摩天轮离地面的垂直距离，为旋转后离地面的高度，过点作，垂足H，过点G作，垂足E，延长交于点Q，过点Q作，垂足为M，过点P作，垂足为D， 根据旋转角，得到，设，利用利用解直角三角形求出，由，得到，即，求出即可． 【详解】解：如图，设登舱P逆时针旋转5分钟后到达点G，点D为最高点，点O为摩天轮的圆心，为旋转前的高度，为摩天轮的直径，为摩天轮离地面的垂直距离，为旋转后离地面的高度，过点作，垂足H，过点G作，垂足E，延长交于点Q，过点Q作，垂足为M，过点P作，垂足为D， 旋转一周需要12分钟， 摩天轮每分钟旋转，每分钟旋转， 摩天轮逆时针旋转5分钟后，旋转了 ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：21.1． 4．（2025·江西·模拟预测）年春晚中《秧》的舞蹈中，如图所示的机器人身穿红绿大花袄与舞蹈演员们整齐划一地扭秧歌，充分展示了传统与科技的完美融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距，图是其侧面示意图，机器人身体垂直于水平地面，胳膊段长，段长，胳膊与身体的夹角旋转的手绢近似圆形，半径，与保持垂直，与手绢旋转点之间的水平距离为． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．若图中机器人身体与舞者之间的距离为，此时手绢端点与舞者距离是否在安全距离范围内？请说明理由． 参考数据： 【答案】(1) (2)此时手绢端点与舞者距离在安全距离范围内，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）先利用直角三角形的性质求出的度数，再通过作辅助线构造直角三角形，结合余弦值求出的度数，最后根据平角的性质求出的度数． （2）作辅助线构造直角三角形，先求出的度数，再利用正弦值求出的长度，结合等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求出手指端点与舞者的距离，判断是否在安全范围内． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 如图，过点作于点，则，， ∴≈， 答∶的度数约为． （2）解：在安全距离范围内．理由如下． 过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴·． ∵，， ∴此时手绢端点与舞者距离为． ∵， ∴此时手绢端点与舞者距离在安全距离范围内． 学科网（北京）股份有限公司 $