2.4.2圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养. 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养. 学习目标： 直线方程有五种不同的形式，它们之间可以相互变通，每一种形式都是关于x,y的一次方程，我们学习了圆的标准方程，它的方程形式具备什么特点呢？还有其他形式吗？ x y O C M(x,y) 新课导入： 　问题1：圆的标准方程是什么？ (x-a)2+(y-b)2=r2 指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) 特征：直接看出圆心与半径 圆心 半径 (1,-2) (-2,2) (-a,2) 探究新知： 任何一个圆的方程都是二元二次方程 结论：任何一个圆的方程可以写成下面形式： 将圆的标准方程 展开得 探究新知： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 　问题2：除标准方程之外圆是否还有别的方程形式？ 配方得 不一定是圆 以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 不是圆 结论： 问题3：是不是任何一个形如 方程表示的曲线是圆呢？ （1） （2） 配方得 探究新知： 表示圆， 不表示任何图形 圆的一般方程 配方，得 （1）当 时， 圆心 （2）当 时， 表示点 （3）当 时， 探究新知： 问题4：形如 方程什么时候表示的曲线是圆呢？ x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） ②没有xy这样的二次项； ① x2与y2系数相同并且不等于0； 圆的一般方程: 说明： 知识梳理： 标准方程 一般方程 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 思考1：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？ 标准方程易于看出圆心与半径. 一般方程突出形式上的特点. 思考2:当D=0，E=0或F=0时， 的位置 分别有什么特点？ C x O y D=0 E=0 F=0 C x y O C x y O 1.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 不是 不是 不是 课堂练习： 2.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（ ） 3.若 x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆，则a的取值范围是（ ） D D 课堂练习： 例1.判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此, 当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 例题分析： 例1.判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 解:(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此, 当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 例题分析： 小结1：二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法: (1)计算D2+E2-4F的值, 若其值为正,则表示圆; 若其值为0,则表示一个点; 若其值为负,则不表示任何图形. 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点 x y O E A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) 方法一：几何方法 例题分析： 例2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 方法二：待定系数法 例2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 待定系数法 方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 例2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 待定系数法 例题分析： (1)依题意设出待定系数方程; (2)列出关于待定系数的方程（组）; (3)解方程（组）得出系数，写出所求方程. 小结2:待定系数法步骤： 注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 相关点法 . O x y .B(4,3) . A(x0,y0) . M(x,y) 分析：点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程. 例题分析： 小结3：相关点法步骤： 1.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的 . . O x y .B(4,3) . A(x0,y0) . M(x,y) 注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别. 所以点M的轨迹是以 为圆心,半径长 是1的圆. 课堂练习： 2.证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆, 并求出此圆的圆心和半径. 解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A、B、D三点坐标代入得 故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 把点C(3,-1)代入方程得9+1-24+2+12=0. 课堂练习： 综上,可得四点共圆，圆心为(4,1),半径为 , 方程为 故过 A、B、C 三点的圆的方程为 把点D(6,0)代入方程得 点D 在该圆上 1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方 程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 为半径为 3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解. 2.一般方程 标准方程 配方 展开 4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法 课堂小结： 课后思考： $