2.4.1圆的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 1、掌握圆的定义及标准方程； 2、会用待定系数法和几何法求圆的标准方程； 3、能准确判断点与圆的位置关系。 学习目标： 只借助一支笔和一张纸，你能徒手并且迅速的画出一个完美的圆吗？比一比看谁画的最圆 课前活动： 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆. 集合 圆心 半径 半径 圆心坐标 探究新知： 　问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？ 　问题2：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 问题3：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？ x y O r A(a,b) M(x,y) 设点M (x,y)为圆A上任一点，则|MA|= r． 圆上所有点的集合P = { M | |MA| = r } 两边平方,得 根据两点间距离公式,即 圆心C(a,b),半径r x y O r M(x,y) A(a,b) 1.三个独立条件______ 确定一个圆的方程. 特点： 特别： 当圆心在原点(0,0)上时,圆的方程为： >0 4.圆上点_______;圆心_______;半径_____ 2.括号内x,y的系数都为______ 1 a,b,r 3.括号内连接符号为____,括号外连接符号为___ - + 知识梳理： 1.写出下列圆的圆心坐标和半径 圆心坐标 半径 3 课堂练习： 2.已知圆心和半径，写出圆的标准方程 (1)圆心为(1, 2),半径为2，___________________ (2)圆心为(-1, 2),半径为1，__________________ (3)圆心为(1, -2),半径为 , ____________________ 课堂练习： (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________. (x＋5)2＋(y＋3)2＝25 (2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方是_________________. (x－1)2＋(y－2)2＝25 例题分析： 问题4：平面中的点和圆有几种位置关系？如何判断？ 点A在圆内 点B在圆外 点C在圆上 探究新知： 点与圆的位置关系 |PC|<r |PC|=r |PC|>r 点在圆上 点在圆外 点在圆内 位置关系 图形 几何条件 代数形式 C P C C P P 已知点P(x0，y0)和圆C： 知识梳理： 例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点 是否在这个圆上。 解：圆心为A（2，-3），半径为5的标准方程是 把点 的坐标代入方程 的左边得 ，左右两边相等，点 的坐标满足圆的方程，所以点 在这个圆上。 把点 的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边不相等，点 的坐标不满足圆的方程，所以点 不在这个圆上。 例题分析： (2)已知点P(2,1)和圆C： ＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝ __________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_______________. －2或－6 a<－6或a>－2 (1)已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（ ） A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 课堂练习： 课本例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 待定系数法 例题分析： 课本例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.（几何法） 圆的标准方程的两种求法 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的 标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常 用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． (2)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． 详解 代数法 课堂练习： 几何法 详解 几何法 课堂小结： 与圆有关的最值问题 【例4】已知实数x，y满足方程 （1）求 的最大值与最小值。 （2）求y-x的最大值与最小值。 （3）求 的最大值与最小值 【练习1】若P(x，y)为圆C(x＋4)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． [提示] 原点到圆心C(－4,0)的距离d＝4，圆的半径为2，故圆上的点到坐标原点的最大距离为4＋2＝6，最小距离为4－2＝2. 【练习2】若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． Lavf57.25.100 $