2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册第一章：二次函数之函数综合不等式 训练

2024-2025学年浙教版九年级上册 二次函数之函数综合不等式 例.如图，已知抛物线（a、b均不为0)与双曲线的图象相交于三点.则不等式的解是　 　. 【答案】－2＜x＜－1或0＜x＜1 【解析】【解答】解：由 ax2+bx＜+1得 ax2+bx-1＜， 根据图象可知不等式的解集为： -2＜x＜-1或0＜x＜1， 故答案为：-2＜x＜-1或0＜x＜1. 【分析】将不等式变形后，找出二次函数的图象在双曲线的下方部分相应的自变量的取值范围，可直接写出不等式的解集. 【变式】 1.如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线与直线交于两点， 的解为，， ，， 的解为，， 不等式的解集是. 故答案为：D. 【分析】由抛物线和直线的交点坐标可得方程的解为，，通过韦达定理可得，，进而求得的解为，，然后利用函数图象可得不等式的解集是. 2.给出下列命题及函数，和y=1x的图象 ①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.则（　　） A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③ 【答案】A 3.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 4.根据函数和的图像写出一个满足的值，那范围是　 　. 【答案】0＜x＜1 【解析】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0<x<1时，有>x>x2，故0<x<1. 5.如图，已知函数与的图象交于点，则关于的不等式的解为________．   【答案】或 6.函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞ ，则x的取值范围是________． 【答案】x＞1或﹣1＜x＜0 7.已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 8.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是 　 　． 【答案】﹣1≤x≤3 【解析】【解答】解：∵y=kx+m与y=-kx+m的图象关于y轴对称 ∴直线y=-kx+m与抛物线 y＝ax2+c的交点A‘，B’与点A、B也关于y轴对称， 如图所示： ∵A（﹣3，y1）、B（1，y2） ∴A'( 3， y1 )，B'(-1，y2)， 根据函数图象得：不等式 ax2+c≥﹣kx+m 的解集是 ﹣1≤x≤3 . 故答案为： ﹣1≤x≤3. 【分析】y=kx+m与y=-kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解。 9.如图，抛物线y＝﹣x2+bx﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（4，0）． （1）求b的值和抛物线的顶点坐标； （2）若直线BC对应的函数表达式为y＝kx+m，则关于x的不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为 　0＜x＜4　； （3）连接AC，P为抛物线上一点，若∠ACP＝45°，求点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+bx﹣4得：﹣16+4b﹣4＝0，解得b＝5， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，）； （2）令x＝0，∴y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵B（4，0）； ∴不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4； （3）令y＝0，得﹣x2+5x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，∵C（0，﹣4），∴OC＝4， 如图，过点A作AD⊥AC，交AP于点D，过点D作DE⊥x轴上取于点E， ∴∠AED＝∠COA＝90°，∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝∠OAC+∠DAE＝90°，∴∠ACO＝∠DAE， ∵∠ACP＝45°，∠CAD＝90°，∴∠ACP＝∠ADC＝45°，∴AC＝DA，∴△ADE≌△CAO（AAS）， ∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝4，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（5，﹣1），直线CD的解析式为y＝mx+n， 则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x﹣4，由x﹣4＝﹣x2+5x﹣4， 解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，﹣）； 10.如图，直线和抛物线都经过点，，且当时，二次函数的值为． 求的值和抛物线的解析式； 求不等式的解集 【答案】解：∵直线和经过点， ∴，解得； ∵抛物线经过点，且当时，二次函数的值为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为；∵由知，抛物线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴，解得或， ∴． ∵由函数图象可知，当或时，二次函数的值大于一次函数的值， ∴不等式的解集为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙教版九年级上册 1.3第七讲：二次函数之函数综合不等式 例.如图，已知抛物线（a、b均不为0)与双曲线的图象相交于三点.则不等式的解是　 　. 【答案】－2＜x＜－1或0＜x＜1 【解析】【解答】解：由 ax2+bx＜+1得 ax2+bx-1＜， 根据图象可知不等式的解集为： -2＜x＜-1或0＜x＜1， 故答案为：-2＜x＜-1或0＜x＜1. 【分析】将不等式变形后，找出二次函数的图象在双曲线的下方部分相应的自变量的取值范围，可直接写出不等式的解集. 【变式】 1.如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线与直线交于两点， 的解为，， ，， 的解为，， 不等式的解集是. 故答案为：D. 【分析】由抛物线和直线的交点坐标可得方程的解为，，通过韦达定理可得，，进而求得的解为，，然后利用函数图象可得不等式的解集是. 2.给出下列命题及函数，和y=1x的图象 ①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.则（　　） A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③ 【答案】A 3.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 4.根据函数和的图像写出一个满足的值，那范围是　 　. 【答案】0＜x＜1 【解析】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0<x<1时，有>x>x2，故0<x<1. 5.如图，已知函数与的图象交于点，则关于的不等式的解为________．   【答案】或 6.函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞ ，则x的取值范围是________． 【答案】x＞1或﹣1＜x＜0 7.已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 8.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是 　 　． 【答案】﹣1≤x≤3 【解析】【解答】解：∵y=kx+m与y=-kx+m的图象关于y轴对称 ∴直线y=-kx+m与抛物线 y＝ax2+c的交点A‘，B’与点A、B也关于y轴对称， 如图所示： ∵A（﹣3，y1）、B（1，y2） ∴A'( 3， y1 )，B'(-1，y2)， 根据函数图象得：不等式 ax2+c≥﹣kx+m 的解集是 ﹣1≤x≤3 . 故答案为： ﹣1≤x≤3. 【分析】y=kx+m与y=-kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解。 9.如图，抛物线y＝﹣x2+bx﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（4，0）． （1）求b的值和抛物线的顶点坐标； （2）若直线BC对应的函数表达式为y＝kx+m，则关于x的不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为 　0＜x＜4　； （3）连接AC，P为抛物线上一点，若∠ACP＝45°，求点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+bx﹣4得：﹣16+4b﹣4＝0，解得b＝5， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，）； （2）令x＝0，∴y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵B（4，0）； ∴不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4； （3）令y＝0，得﹣x2+5x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，∵C（0，﹣4），∴OC＝4， 如图，过点A作AD⊥AC，交AP于点D，过点D作DE⊥x轴上取于点E， ∴∠AED＝∠COA＝90°，∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝∠OAC+∠DAE＝90°，∴∠ACO＝∠DAE， ∵∠ACP＝45°，∠CAD＝90°，∴∠ACP＝∠ADC＝45°，∴AC＝DA，∴△ADE≌△CAO（AAS）， ∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝4，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（5，﹣1），直线CD的解析式为y＝mx+n， 则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x﹣4，由x﹣4＝﹣x2+5x﹣4， 解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，﹣）； 10.如图，直线和抛物线都经过点，，且当时，二次函数的值为． 求的值和抛物线的解析式； 求不等式的解集 【答案】解：∵直线和经过点， ∴，解得； ∵抛物线经过点，且当时，二次函数的值为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为；∵由知，抛物线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴，解得或， ∴． ∵由函数图象可知，当或时，二次函数的值大于一次函数的值， ∴不等式的解集为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2024-2025学年浙教版九年级上册 二次函数之函数综合不等式 例如图，已知抛物线y=ax2+bx-1(a、b均不为0)与双曲线y=〔k≠0)的图象 相交于A(-2,m),B(-1,n),c1,2)三点则不等式ax2+bx<奈+1的解是 【变式】 1.图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y)1,y)两点，则 关于x的不等式ax2+kx+c>m的解集是() B A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 2.给出下列命题及函数y=x,y=x2和x的图象 ①如果>a>a2,那么0<a<1:②如果2>a>青那么a>1:③如果 音>a2>a那么-1<a<0:④如果a2>贵>a时，那么a<-1则() 1 V=x A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③ 3.如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+ca≠0的图象相交于A(-l,4) ,B(6,2)两点，则关于x的不等式x+n>ax2+bx+c的解集为 4根据函数y=x己、y=1和y=x的图像写出一个满足上>x>X的值，那x范围 是 V) 5.如图，已知函数y=-是与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点 P(-3)则关于x的不等式2+bx>-是的解为 2 6.函数y=x,x2和y=是的图象如图所示，若x2>x>是，则×的取值范围是 y=X y 7.已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+mk≠0)的图象相交于点 A(-2,4),B(8,2).如图所示，则能使y1<y2成立的x的取值范围是 8.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A（-3,y1)、B(1,y2)两点，则关于 x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是 B 9.如图，抛物线y=-x2+bx-4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(4,0). (1)求b的值和抛物线的顶点坐标； (2)若直线BC对应的函数表达式为y=c+m,则关于x的不等式-x2+bx-4>a+m的解 集为0<x≤4； (3)连接AC,P为抛物线上一点，若∠ACP=45°，求点P的坐标. 3 10.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(10)B,且当 x=4时，二次函数的值为6. (1)求m的值和抛物线的解析式： (2)求不等式x2+x+c>x+m的解集 42024-2025学年浙教版九年级上册 1.3第七讲：二次函数之函数综合不等式 例.如图，已知抛物线y=ax2+bx-1(a、b均不为0)与双曲线y=鉴(k≠0)的图象 相交于A-2,m),(-1,nC1,2)三点.则不等式ax2+bx<奈+1的解是 【变式】 1.图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y)1,y)两点，则 关于x的不等式：x2+kx+c≥m的解集是() B A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 2.给出下列命题及函数y=x,y=x2和1k的图象 ①如果>a>a2,那么0<a<1:②如果2>a>青那么a>1:③如果 音>a2>a那么-1<a<0:④如果a2>贵>a时，那么a<-1则() 1 V=x A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③ 3.如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+ca≠0的图象相交于A(-l,4) ,B(6,2)两点，则关于x的不等式x+n>ax2+bx+c的解集为 4根据函数y=x己、y=1和y=x的图像写出一个满足上>x>X的值，那x范围 是 V) 5.如图，已知函数y=-是与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点 P(-3)则关于x的不等式2+bx>-是的解为 2 6.函数y=x,x2和y=是的图象如图所示，若x2>x>是，则×的取值范围是 y=X y 7.已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+mk≠0)的图象相交于点 A(-2,4),B(8,2).如图所示，则能使y1<y2成立的x的取值范围是 8.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A（-3,y1)、B(1,y2)两点，则关于 x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是 B 9.如图，抛物线y=-x2+bx-4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(4,0). (1)求b的值和抛物线的顶点坐标； (2)若直线BC对应的函数表达式为y=c+m,则关于x的不等式-x2+bx-4>a+m的解 集为0<x≤4； (3)连接AC,P为抛物线上一点，若∠ACP=45°，求点P的坐标. 10.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(10)B,且当 x=4时，二次函数的值为6. (1)求m的值和抛物线的解析式： (2)求不等式x2+x+c>x+m的解集 4