3.1函数的概念及其表示 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.1 函数的概念及其表示 目录 知识点一：函数的概念 2 知识点二：区间的概念与应用 3 知识点三：函数的表示法 4 知识点四：分段函数 4 题型1：求函数的定义域 5  求给出解析式的函数的定义域 5  求抽象函数和复合函数的定义域 5 题型2：求函数的值域 9 题型3：求函数的解析式 14 题型4：已知函数定义域或值域求参数 18 题型5：有关分段函数问题的求解 24 【强化训练】 32 知识点一：函数的概念 1. 函数的定义 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2. 函数三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. (1) 定义域 函数的定义域就是自变量x的取值范围。有时函数的定义域可以省略不写，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x的集合。在实际问题中,必须考虑自变量x所代表的具体量的实际取值范围。 (2) 对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”。按照这一“程序”,从定义域A中任取一个,可得到值域中唯一的y与之对应。同一“f”可以“操作”不同形式的变量，如是对实施“操作”，而是对实施“操作”，是对2实施“操作”。 (3) 值域 函数的值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也就随之确定。 3. 同一函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点二：区间的概念与应用 设是两个实数，而且.我们规定： 定义 名称 区间表示 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 注意：（1）区间的左端点必须小于右端点；（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（4）是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数，因此以和为区间的一端时，这一端必须用小括号;（5）实数集R可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”. 知识点三：函数的表示法 (1) 函数常用的三种表示方法为解析法、列表法、图像法。 ①解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 ②列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 ③图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 用三种方法表示函数时的注意点：①解析法必须注明函数的定义域;②列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系;③图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”. (2) 三种方法的优缺点 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是 利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图像法 能形象直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大 知识点四：分段函数 1. 分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 2. 分段函数常见的几种类型 (1) 取整函数：（表示不大于的最大整数）. (2) 含绝对值符号的函数:如 (3) (4) 自定义函数：如 题型1：求函数的定义域 · 求给出解析式的函数的定义域 方法提炼 (1) 整式型函数的定义域为； (2) 分式型函数，定义域为使分母不为零的实数的集合； (3) 偶次方根型函数，被开方式非负，即中； (4) 零次幂的底数不为零，即中； (5) 若函数是由一些简单函数通过四则运算组成的，则它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【例1.1.】 已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域 【分析】求得集合，进而利用并集的意义可求解. 【详解】由，得，所以，又， 所以. 故选：D. 【例1.2.】 求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 【例1.3.】 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】函数有意义， 则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：C 【例1.4.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. · 求抽象函数和复合函数的定义域 方法提炼 (1) 若的定义域为，则的定义域可由不等式求出. (2) 若的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例1.5.】 已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 【例1.6.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 【例1.7.】 （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 题型2：求函数的值域 方法提炼 求函数的值域时要明确两点:一是值域的概念；二是函数的定义域和对应关系。常用的方法有: (1) 观察法：利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． (2) 配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法。 (3) 换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。例如,形如(均为常数)的函数常用此法，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． (4) 判别式法:求形如 （不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出y的取值范围,即得到函数的值域。 (5) 数形结合法:有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域。 (6) 分离常数法：形如的函数，经常采用分离常数法，将变形为 再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域。 (7) 反表示法:如求函数的值域,由解出，得。而,所以,即,所以,故所求函数的值域为[-2,1)。 (8) 中间变量值域法:如求函数的值域，由得,而，所以,所以或。故所求函数的值域为。 (9) 均值不等式法：若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 【例2.1.】 求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）利用换元法求解； （2）利用配方法结合二次函数性质求解； （3）利用配方法求解； （4）可采用换元法或判别式法求解； （5）令，换元结合基本不等式求解； （6）采用分离常数的方法，结合基本不等式求解. 【详解】（1）函数定义域为，令，所以， 即，当时，，即函数的值域为. （2）易知的取值需满足，即，即函数定义域为， 因为，由二次函数性质可得当时，， 所以的值域为. （3）由，可得函数的值域为. （4）已知函数，定义域为， 方法一：换元法．设，则， 所以， 因为，所以，所以，故值域为. 方法二：判别式法． ，整理得 当时，方程为，不成立； 当时，，即，所以， 综上，. （5）令，则，且 当时，； 当时，，因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以函数的值域为. （6）， 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为. 【例2.2.】 求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】选用分离常数法和反表示法即可求解； 【详解】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 【例2.3.】 函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 【例2.4.】 函数的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】方法1：利用分离常数的方法，结合二次函数的值域求解； 方法2：转化为方程有实数根．讨论和，利用判别式法求函数值域. 【详解】解法1：，因为， 所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则． 综上所述，． 【例2.5.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、高次不等式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 【例2.6.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 题型3：求函数的解析式 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 代入法（直接法）：已知的解析式，求的表达式，可将的式子将式子中的自变量进行替换，再进行化简，即可得到的表达式. (3) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (4) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (5) 方程组法：已知与，与满足的表达式时，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． (6) 赋值法：在某些求函数解析式的问题中。通过给自变量赋予特殊值,展现内在联系或是减少变量个数，从而解决问题,这种方法叫做赋值法。赋值法常用于求解抽象函数的解析式。 【例3.1.】 求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【例3.2.】 （1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）将代入即可求解； （2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解； （3）设，利用待定系数法即可求解； （4）利用方程组法即可求解. 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4） 由题意可得，解方程组，可得． 【例3.3.】 （1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】求抽象函数的解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）直接对所求式子进行变形即可得解； （2）由方程组法对所求式子进行变形即可求解. 【详解】（1）； （2）. 【例3.4.】 若函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，则，换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以，故． 故答案为：. 【例3.5.】 若函数，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 【例3.6.】 若，则函数 ． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【例3.7.】 已知定义域为且的函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 【例3.8.】 已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 【例3.9.】 函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 题型4：已知函数定义域或值域求参数 方法提炼 已知函数定义域或值域求参数问题的解题思路 (1) 注意调整思维方向,根据定义域或值域的含义,将给出的定义域或值域转化为方程的解或不等式的解集的问题。 (2) 根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的取值或取值范围。 【例4.1.】 若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 【例4.2.】 若函数的值域为集合的子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据值域求参数的值或者范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】把问题转化成恒成立，即不等式恒成立，由求参数的取值范围. 【详解】令，由于， 所以，即不等式恒成立， 所以，解得． 故实数的取值范围为． 【例4.3.】 已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的值域求定义域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性列式求解即可. 【详解】解法一：因为在为减函数， 由解得，所以． 解法二：令，得；令，得， 又函数在定义域内单调递减，所以函数的定义域． 故选：B 【例4.4.】 若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的值域求定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 【例4.5.】 （多选）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 题型5：有关分段函数问题的求解 方法提炼 (1) 有关分段函数问题最好的求解方法是“图像法”。作分段函数的图像时,应按分段区间分别作出其图像,在作每一段图像时,先不考虑定义域的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可,即“分段作图”。 (2) 分段函数求值问题的解题思路： ①求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． (3) 分段函数解析式的求法:在定义域的不同段内,分别求其解析式,做到不重不漏,然后写成统一的分段解析式形式,注意要标明每段中自变量的取值范围。 【例5.1.】 已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 【例5.2.】 已知函数，若，则 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 【例5.3.】 已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 【例5.4.】 设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 【例5.5.】 已知函数且，则 ． 【答案】2或 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、已知函数值求自变量或参数 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 【例5.6.】 已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】应用分段函数计算结合解为整数计算求解. 【详解】设，则由解得或． 当时，，即． 当时，，则或， 又因为为整数，所以为0，1，3，4. 综上所述，整数的取值集合为． 故答案为：． 【例5.7.】 设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 【例5.8.】 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解分段函数不等式 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【例5.9.】 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【例5.10.】 已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. （2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 【例5.11.】 已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、画出具体函数图象、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【强化训练】 1. 函数的定义域为 ． 【答案】或． 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 3. 已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4. 设函数，若，则实数a的值为 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据可知，再结合即可求出a的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 5. 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 6. 已知，则的值为 . 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 7. 求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 8. 已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 【答案】(1) (2)，， 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、求函数值、求二次函数的解析式 【分析】（1）设出，将三点代入解出即可； （2）根据函数解析式直接代入求解即可. 【详解】（1）设函数， 因为经过，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以，， ，. 9. 已知函数，，则 【答案】，且 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据已知关系及解析式直接写出的解析式，并标注函数的定义域. 【详解】由，且，可得且， 所以，其定义域为且. 故答案为：，且 10. 已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 11. 已知函数满足，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 12. 设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 14. （多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的值域求定义域 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 15. 已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 16. 定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【难度】0.4 【知识点】画出具体函数图象、根据分段函数的值域（最值）求参数、分段函数的值域或最值 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1 函数的概念及其表示 目录 知识点一：函数的概念 2 知识点二：区间的概念与应用 3 知识点三：函数的表示法 4 知识点四：分段函数 4 题型1：求函数的定义域 5  求给出解析式的函数的定义域 5  求抽象函数和复合函数的定义域 5 题型2：求函数的值域 6 题型3：求函数的解析式 8 题型4：已知函数定义域或值域求参数 9 题型5：有关分段函数问题的求解 10 【强化训练】 13 知识点一：函数的概念 1. 函数的定义 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2. 函数三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. (1) 定义域 函数的定义域就是自变量x的取值范围。有时函数的定义域可以省略不写，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x的集合。在实际问题中,必须考虑自变量x所代表的具体量的实际取值范围。 (2) 对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”。按照这一“程序”,从定义域A中任取一个,可得到值域中唯一的y与之对应。同一“f”可以“操作”不同形式的变量，如是对实施“操作”，而是对实施“操作”，是对2实施“操作”。 (3) 值域 函数的值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也就随之确定。 3. 同一函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点二：区间的概念与应用 设是两个实数，而且.我们规定： 定义 名称 区间表示 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 注意：（1）区间的左端点必须小于右端点；（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（4）是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数，因此以和为区间的一端时，这一端必须用小括号;（5）实数集R可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”. 知识点三：函数的表示法 (1) 函数常用的三种表示方法为解析法、列表法、图像法。 ①解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 ②列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 ③图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 用三种方法表示函数时的注意点：①解析法必须注明函数的定义域;②列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系;③图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”. (2) 三种方法的优缺点 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是 利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图像法 能形象直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大 知识点四：分段函数 1. 分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 2. 分段函数常见的几种类型 (1) 取整函数：（表示不大于的最大整数）. (2) 含绝对值符号的函数:如 (3) (4) 自定义函数：如 题型1：求函数的定义域 · 求给出解析式的函数的定义域 方法提炼 (1) 整式型函数的定义域为； (2) 分式型函数，定义域为使分母不为零的实数的集合； (3) 偶次方根型函数，被开方式非负，即中； (4) 零次幂的底数不为零，即中； (5) 若函数是由一些简单函数通过四则运算组成的，则它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【例1.1.】 已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【例1.2.】 求下列函数的定义域： (1)； (2). 【例1.3.】 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例1.4.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． · 求抽象函数和复合函数的定义域 方法提炼 (1) 若的定义域为，则的定义域可由不等式求出. (2) 若的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例1.5.】 已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【例1.6.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型2：求函数的值域 方法提炼 求函数的值域时要明确两点:一是值域的概念；二是函数的定义域和对应关系。常用的方法有: (1) 观察法：利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． (2) 配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法。 (3) 换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。例如,形如(均为常数)的函数常用此法，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． (4) 判别式法:求形如 （不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出y的取值范围,即得到函数的值域。 (5) 数形结合法:有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域。 (6) 分离常数法：形如的函数，经常采用分离常数法，将变形为 再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域。 (7) 反表示法:如求函数的值域,由解出，得。而,所以,即,所以,故所求函数的值域为[-2,1)。 (8) 中间变量值域法:如求函数的值域，由得,而，所以,所以或。故所求函数的值域为。 (9) 均值不等式法：若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 【例2.1.】 求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例2.2.】 求下列函数的值域： (1)； (2)． 【例2.3.】 函数的值域为 . 【例2.4.】 函数的值域为 ． 【例2.5.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型3：求函数的解析式 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 代入法（直接法）：已知的解析式，求的表达式，可将的式子将式子中的自变量进行替换，再进行化简，即可得到的表达式. (3) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (4) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (5) 方程组法：已知与，与满足的表达式时，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． (6) 赋值法：在某些求函数解析式的问题中。通过给自变量赋予特殊值,展现内在联系或是减少变量个数，从而解决问题,这种方法叫做赋值法。赋值法常用于求解抽象函数的解析式。 【例3.1.】 求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【例3.2.】 （1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【例3.3.】 （1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【例3.4.】 若函数，则 ． 【例3.5.】 若函数，则 ． 【例3.6.】 若，则函数 ． 【例3.7.】 已知定义域为且的函数满足，则的解析式为 ． 【例3.8.】 已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【例3.9.】 函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 题型4：已知函数定义域或值域求参数 方法提炼 已知函数定义域或值域求参数问题的解题思路 (1) 注意调整思维方向,根据定义域或值域的含义,将给出的定义域或值域转化为方程的解或不等式的解集的问题。 (2) 根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的取值或取值范围。 【例4.1.】 若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【例4.2.】 若函数的值域为集合的子集，则实数的取值范围为 ． 【例4.3.】 已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 （多选）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 题型5：有关分段函数问题的求解 方法提炼 (1) 有关分段函数问题最好的求解方法是“图像法”。作分段函数的图像时,应按分段区间分别作出其图像,在作每一段图像时,先不考虑定义域的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可,即“分段作图”。 (2) 分段函数求值问题的解题思路： ①求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． (3) 分段函数解析式的求法:在定义域的不同段内,分别求其解析式,做到不重不漏,然后写成统一的分段解析式形式,注意要标明每段中自变量的取值范围。 【例5.1.】 已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【例5.2.】 已知函数，若，则 ． 【例5.3.】 已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【例5.4.】 设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【例5.5.】 已知函数且，则 ． 【例5.6.】 已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 【例5.7.】 设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例5.8.】 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.9.】 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例5.10.】 已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【例5.11.】 已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【强化训练】 1. 函数的定义域为 ． 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 3. 已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 4. 设函数，若，则实数a的值为 ． 5. 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知，则的值为 . 7. 求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 8. 已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 9. 已知函数，，则 10. 已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 11. 已知函数满足，则 . 12. 设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 14. （多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 15. 已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 16. 定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $