1.3正方形的性质与判定 同步提升训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步提升训练 一．选择题（共10小题） 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 2．如图，正方形ABCD的边长为8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于Q． 结论1：四边形PMQC是矩形； 结论2：当PQ的长最小时，四边形PMQC的面积为12． 关于结论1和2，下列判断正确的是（　　） A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1和2都正确 D．结论1和2都不正确 3．如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．则GH的长为（　　） A．4 B．5 C．3 D．4.5 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC长的最大值是（　　） A． B． C． D．8 5．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．无法求出 7．如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，∠PBC＝∠PCB＝60°，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B．（﹣1， C． D． 9．如图，四边形ABCD、EFGH均为正方形，其中AQ＝5，PC＝3，DQ＝QH，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分EPDQ的面积为28，则图中阴影部分的面积为（　　） A．116 B．88 C．90 D．92 10．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），连接OM，作ON⊥OM交AB于N，连接DM，CN．下列四个结论：①OM＝ON；②DM⊥CN；③AN2+CM2＝2ON2；④∠MDN＝36°．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，若EC＝30cm，EB＝10cm，则该正方形的对角线长为 　 　 cm． 12．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为　 　 ． 13．在正方形ABCD中，AB＝5，点E为直线BC上的一点，过点B作BH⊥DE交直线DE于点H．若BH＝1，则BE＝ 　 　 ． 14．如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为　 　 ． 15．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，则点C的坐标是　 　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝45°，连接MN，作AH⊥MN于点H，延长CB至点G，使BG＝DN，连接AG，则下列结论正确的有 　 　 ． ①MN＝BM+DN；②△BAM≌△DAN；③∠BAG＝∠NAH；④；⑤若MC＝3，NC＝4，则AB＝6． 三．解答题（共4小题） 17．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，交OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）若OC＝3，求OD+OE的长． 18．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． （1）试说明OE＝OF； （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由． 19．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 20．（1）如图1，E，F分别为正方形CD边和BC边上的点，连接AE、DF，且AE⊥DF，则　 　 ． （2）如图2，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB、CD上，连接BD、EF，且BD⊥EF，AB＝3，BD＝5．求． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B D B D A B C 二．填空 11．40． 12．16． 13．BE的长度是或． 14．12． 15．． 16．①③⑤． 三．解答 17．（1）证明：如图，作CH⊥OB于点H，CG⊥OA于点G，则∠CGD＝∠CHE＝∠CHO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴四边形OGCH为矩形， ∴∠GCH＝90°， ∵∠DCE＝90°＝∠GCH， ∴∠DCG＝∠HCE＝90°﹣∠DCH， ∵OC平分∠AOB，CH⊥OB，CG⊥OA， ∴CH＝CG， 在△CGD和△CHE中， ， ∴△CGD≌△CHE（ASA）， ∴CD＝CE； （2）解：由（1）知：四边形OGCH为矩形，CH＝CG，△CGD≌△CHE， ∴四边形OGCH为正方形，DG＝HE， ∴OG＝OH＝CH＝CG，∠OHC＝90°， ∴OD+OE＝OG﹣DG+OH+HE＝2OH， ∵OC＝3，OH＝CH，∠OHC＝90°， ∴OH2+CH2＝2OH2＝OC2， 解得， ∴． 18．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BOE＝∠AOF＝90°， OB＝OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA＝∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE＝OF； （2）OE＝OF成立； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF＝90°＝∠B+∠OBE， 又∵∠MBF＝∠OBE， ∴∠F＝∠E， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE＝OF． 19．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠EDA＝∠FCD＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠AGD＝90°， ∴∠ADF+∠DAE＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠CDF＝∠DAE， 在△DAE和△CDF中， ， ∴△DAE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴， 故答案为：1； （2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/9 10:19:37；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $