2.2 基本不等式课件（第2课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第2课时）     延时符 授课人： 日期：2025年10月9日 1 学习目标 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 明确基本不等式的“一正、二定、三相等” 03 02 01 2 复习巩固 当且仅当时，等号成立。 几何平均数 算术平均数 几何平均数算术平均数 基本不等式 和定积最大 积定和最小 当且仅当时，等号成立. 重要不等式 有. 例题精讲 4 例1：（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. 【解】 (1)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，篱笆的长度为2(). 由 可得 ≥2 所以 ， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为. 积定和最小 4 例题精讲 5 例1：（2） 用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 【解】 (2)已知得，矩形菜园的面积为 . 由 可得 当且仅当，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时,菜园面积最大,最大面积是. 和定积最大 5 例题精讲 6 例2：(教材P47例4)容积为4800,深为3 池底造价150元/，池壁造价为120元/，如何能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，水池的总造价为元. . 由容积为,可得 =， 因此 =. 所以 当时，上式等号成立， 所以池底设计成边长为的正方形时总造价最低， , 此时. ) 根据题意,有 最低总造价是元. 6 例题精讲 7 例3：已知，求的最小值. 分析：要让题目中的条件符合公式定理 若 时等号成立 已知，故符合定理条件. 为使=常数，进行恒等变形 解： 因为 当且仅当，即时等号成立，原式有最小值3. 7 课堂练习 8 1. 已知且 求的最小值. 分析：由条件不能直接求出的最小值，只能对进行恒等变形——乘1，即乘上 解： 有两个互为倒数的分式，乘积为常数. 则乘上 若 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为定值的形式. 常数代换法 8 课堂练习 9 解：(1)因为均为正实数，且. 所以 当且仅当 2. 已知均为正实数，且. (1)求证： (2)求证： 时等号成立. 9 课堂练习 10 解：因为均为正实数，且. 所以 2. 已知均为正实数，且. (2)求证： (1)求证： 10 课堂练习 11 3.用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 解: 设矩形平行于墙面的一边长为,, 与之相邻的邻边长为, 则菜园的面积为,, 所以 当且仅当,即,时， 菜园面积最大，最大面积为 11 课堂小结 12 当且仅当时，等号成立。 基本不等式 和定积最大 积定和最小 拆项或配凑 拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形. 1 代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 2 3 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 4 注意“1”的妙用. 12 本课作业 必做 二 必做 一 选做 一 教材 48 页 练习 3~4 教材 48页 习题 1~5 2 01 02 03 13 微信： 手机： 感谢您的观看 授课人：梅河口市朝鲜族中学 14 $