专题04 期中真题百练通关（15大常考题型）（期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题04 期中真题百练通关（81题15大常考题型） 题型一 二次函数的定义 题型九 二次函数与坐标轴交点问题 题型二 二次函数的性质 题型十 二次函数与不等式 题型三 利用二次函数的性质求参数 题型十一 二次函数与实际问题 题型四 待定系数法求二次函数解析式 题型十二 事件的分类 题型五 函数图像的综合判断 题型十三 概率的计算 题型六 根据二次函数图像判断式子符号 题型十四 用频率计算概率 题型七 二次函数最值问题 题型十五 游戏的公平性 题型八 二次函数的平移问题 题型一 二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义判断即可得解， 【详解】解：A．，圆的周长与半径之间是一次函数的关系； B．弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系； C． 正三角形的面积，正三角形的面积与边长之间是二次函数关系； D． ， 故匀速行驶的汽车，路程与时间之间是一次函数关系； 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 解得：． 故选：A． 题型二 二次函数的性质（共6小题） 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（22-23九年级上·山东东营·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 7．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴间隔越大，对应的函数值越大，进而求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴水平距离越大，对应的函数值越大，而点，，和对称轴的水平距离分别为：5、4、2， 故， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C．当时，随的增大而增大 D．若点在抛物上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律． 【详解】解： ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，故A正确，不符合题意； 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到抛物线，故B正确，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 点在抛物上， 且， 点比点更靠近对称轴， ，故D不正确，符合题意． 故选：D． 9．（20-21九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点 【答案】C 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 题型三 利用二次函数的性质求参数（共5小题） 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 12．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴点到直线的距离小于点到直线的距离， ， ． 故选：B． 13．（24-25九年级上·浙江台州·期中）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．依据题意，根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴，再对开口方向分类讨论即可解决问题． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，当时， ，且，，，四个数中有且只有一个大于零， ． ． 当时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越大， 而点和到直线的距离相等，且距离最近， 此情况下不存在，，，四个数中有且只有一个大于零． 故选：D． 14．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数，在上最大值为4，最小值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值问题以及解一元二次方程等知识，解题关键是运用数形结合思想分析问题．首先确定该抛物线开口方向，顶点坐标以及对称轴，然后结合“在上最大值为4，最小值为”，分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，其顶点坐标为，对称轴为， 可画出函数图象，如下图， ∵在上最大值为4， ∴， 又∵在上最小值为， 令， 解得，， ∴． 综上所述，的取值范围是． 故选：C． 15．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得抛物线开口向上，与x轴没有交点，即没有实数根，即，根据的图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的值恒大于0，， ∴抛物线开口向上，与x轴没有交点， 即没有实数根， ∴， 当时，，解得， 由二次函数的图象可知，， 故答案为： 题型四 待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 16．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，先根据表中的数据求出二次函数解析式，再把各选项中的值代入到所得函数解析式求出的值进行判断即可求解，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表可知，，；，；，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 故选：． 17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）与抛物线的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是的抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线解析式，根据形状相同，但开口方向不同得到，将点代入求解即可得到答案 【详解】解：设抛物线解析式为：， ∵新抛物线与抛物线的形状相同，但开口方向不同， ∴， ∵顶点坐标是， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式． 【详解】解：（1）． ∵图象的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）∵， ∴二次函数的表达式为， ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． 19．（20-21九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不在，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法写出函数顶点式，然后代入(0，0)即可求解； （2）将x=3代入函数解析式，判断y是否等于5即可． 【详解】（1）∵顶点坐标是(1，-2) ∴设函数表达式为 当x=0，y=0时，有，解得a=2 ∴函数表达式为 （2）当x=3时，有 ∵ ∴点(3，5)不在这个二次函数的图像上 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，问题的关键是熟练掌握二次函数的三种表达形式：一般式，双根式（两点式）和顶点式，根据题意选择合适的表达式是本部分的重点． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过， (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴顶点坐标为． 题型五 函数图像的综合判断（共5小题） 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(    ) A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的减小而增大，继而求得答案． 【详解】解：点，， 与关于轴对称，故选项A，B不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断，分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； B、由图可得，函数经过一、二、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，故，，即，故不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，故，，即，故符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； 故选：C． 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 24．（21-22九年级上·浙江金华·期中）已知反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】反比例函数的图象在二四象限，可得 从而可得： 结合二次函数的性质可得答案. 【详解】解： 反比例函数的图象在二四象限， 而二次函数， 抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， 而抛物线的对称轴为： 所以抛物线的对称轴在轴的左侧， 故ABC不符合题意，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，二次函数的图象与性质，掌握“由二次函数的各项系数的符号确定二次函数的大致图象”是解题的关键. 25．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 题型六 根据二次函数图像判断式子符号（共6小题） 26．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴，故①正确， ∴，， ∴在正半轴，在第二象限 ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，故②正确， 由，当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，正确，故③正确， 若方程有四个根，设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，故④错误， 故选：C． 28．（23-24九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a，b，c的符号和它们之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，选项A正确． ∵时，， ∴，选项B正确． 由图象可得时， ∴，选项C正确． ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，选项D错误． 故选：D． 29．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ，即， ， ，故②错误； ③ ，对称轴为直线， 当时， ， ，即（为任意实数）， ， ， ，故③错误； ④由②得，，， ，， ， ， ， ，故④正确； 故正确的结论有：①④， 故选：B． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 31．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在轴右侧，故，交点在轴正半轴，故，从而可判断①；根据对称轴和点坐标为，可得出抛物线与轴的另一交点坐标为，从而得故当时，，从而可判断②；找到点的对称点为，利用增减性可判断③；对称轴为直线，从而，当时，，即，即，又由，可得，即可判断④． 【详解】解：观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在轴右侧，故， 交点在轴正半轴，故， ，故①正确； 对称轴为直线．点坐标为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 故当时，，即， 故②正确； 点的对称点为， 且，抛物线开口向下， ，故③错误； 对称轴为直线， ， 当时，， 即，即， 又由， ，即． 故④正确． 故答案为：①②④． 题型七 二次函数最值问题（共8小题） 32．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 33．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，函数的最小值为时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 34．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的最值问题，解题的关键是求得对称轴方程． 先将函数解析式整理为：， 因，故开口向上，故有最小值，对称轴为，分与两种情况,分别计算最小值为与，故只有B选项正确． 【详解】 ∵， ∴二次函数开口向上，且有最小值，且在对称轴上取得最小值． ①对于选项A与选项B： 当时，对称轴是，代入原函数得：，故选项A错误，选项B正确； ②对于选项C与选项D： 当时，对称轴，代入原函数得：，故选项C、D均错误； 故选：B． 35．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，当时，函数有最小值，得到关于的方程，解方程求得的值． 【详解】解： ， 此函数的顶点坐标是， 若，当时，函数有最小值， 时，， ， 故答案为：，． 37．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是， (2)9 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式，即可得解； （2）根据二次函数的性质可得当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，即可得解； （3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标，对称轴是直线，    由，得，解得：， 故与x轴的交点坐标是，； （2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上， ∴当时，当时，y取得最小值，此时； 当时，y取得最大值，此时； ∵， ∴当时，求y的最大值与最小值之差为9； （3）解：∵， 当时，则在时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， ∴当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 39．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（，为常数），经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． （1）用待定系数法，将两个点的坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求得函数表达式； （2）根据的取值范围，求得抛物线的最大值和最小值，再根据抛物线的最大值与最小值的和为3，即可求得的值； 【详解】（1）解：将和分别代入解析式得：， 解得， ∴； （2）解：当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 当时，，，，， ∴（舍）， 当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 综上所述：，． 题型八 二次函数的平移问题（共5小题） 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选D． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）由二次函数图象平移得到二次函数图象，下列哪种平移方式可以实现(    ) A．向右平移个单位，再向上平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：二次函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故选：A． 42．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 44．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为：，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得： 则 解得：，， 平移后抛物线解析式为：或． 故答案为：或． 题型九 二次函数与坐标轴交点问题（共6小题） 45．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即． 【详解】解：∵无论x为何值，函数值y永远为负， ∴函数图象都在轴下方，与轴无交点， ∴，， 故选：D． 47．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴有 个交点． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确把求二次函数 (是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数是解题关键． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：， 二次函数的图象与轴有2个交点． 故答案为：2． 48．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 49．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数 (1)若点在抛物线上 ①求抛物线的对称轴； ②若该二次函数与坐标轴有三个交点，则的取值范围； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)①；②且； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． （1）①由点在抛物线上，可得，从而得出，可得抛物线的对称轴为直线；②由抛物线的图象与坐标轴有三个交点，可得，结合得出c的取值范围； （2）当时，，可得点A在抛物线图象的下方，根据抛物线与线段有一个公共点，得到点的纵坐标大于等于时的函数值，求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：① ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； ②∵抛物线的图象与坐标轴有三个交点， 当时，，即抛物线的图象与y轴交于点， ∴抛物线的图象与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得：且； （2）当时，， ∵， ∴点A在抛物线图象的下方， ∵抛物线与线段有一个公共点， ∴点的纵坐标大于等于时的函数值， ∵当时，， ∴， ∴， 令， 当时，或， ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，， ∴的解集为：或， ∴当或时，抛物线与线段只有一个公共点． 50．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据待定系数法求出函数解析式，再求出点B，C的坐标，根据三角形面积公式可求出答案． （2）令，求出的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 令，得， 解得，， ∴, 如图， ∴, ∴； （2）解：当时，， 该方程总有实数根， 无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 题型十 二次函数与不等式（共4小题） 51．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称 设与交点为，则 ， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键． 52．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 53．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． （1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式； （2）描点连线即可作出函数图象，根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：描点作图如下： 由图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是 或； 题型十一 二次函数与实际问题（共9小题） 55．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 56．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ∴，即， ∴， 解得：， ∴平移后的直线为：， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得：，， ∴，， ∴碗中液体最大深度为． 故答案为：． 57．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 58．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数应用，建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．待定系数法求出函数表达式：；当时，；而点F、G的坐标分别为：，将点F的坐标代入得：，解得：；将点G的坐标代入，同理可解． 【详解】解：以点B为原点，建立如下直角坐标系， 由题意得，点，函数的顶点为：， 设抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，即上述抛物线向上平移1个单位，则抛物线的表达式为：， 当时，， 设抛物线的表达式为：， 而点F、G的坐标分别为：， 将点F的坐标代入得：， 解得：； 将点G的坐标代入得：， 解得：， 即， 故答案为：0.599，． 59．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 60．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 61．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 62．（2021·浙江金华·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 63．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 题型十二 事件的分类（共4小题） 64．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．圆内接四边形对角和是 B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 圆内接四边形对角和是，是必然事件，故此选项符合题意； B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； C. 抛掷一枚硬币，正面朝上, 是随机事件，故此选项不符合题意； D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 65．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意； B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心是随机事件，符合题意； D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； 故选：C． 66．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（    ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯． B．在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． C．打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况． D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级． 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； B、在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意； C、打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况，是随机事件，不符合题意； D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 67．（22-23九年级上·吉林白山·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．一匹马奔跑的速度是100米/秒 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．班里有两名同学的生日在同一天 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】A 【分析】根据随机事件的相关概念可进行求解． 【详解】解：A、一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，故符合题意； B、射击运动员射击一次，命中10环；是随机事件，故不符合题意； C、班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件；故不符合题意； D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键． 题型十三 概率的计算（共6小题） 68．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 69．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ， 故选：C 70．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了树状图法求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，发现共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，然后用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种， 则甲被选中的概率为． 故选：C． 71．（22-23九年级上·浙江温州·期中）数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了求简单事件的概率， （1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率； （2）由红球的概率可得拿出白球后盒子中球的总数，进而求解即可． 【详解】（1）解：球的总数（个）， 黑球个数（个）  ，       ∴任意摸出一个球是黑球的概率为； （2）球的总数为（个），    ，    ∴m的值为3． 72．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种． (1)乙同学恰好选中B的概率是______； (2)求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是概率． （1）直接运用概率公式解答即可． （2）画树状图共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种，则乙同学恰好选中B的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 73．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________； (2)如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）根据概率公式得出只用1个电子元件①，得出该电路为断路的概率； （2）先列表得到用2个电子元件①，②组成一个电路系统时，所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为； 故答案为：； （2）解：每个元件正常工作分别记为：，，每个元件不能正常工作分别记为：，， 用2个电子元件①，②组成一个电路系统，所有情况如下表：      ∵从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为正常状态的有1种， ∴该电路为正常状态的概率为． 题型十四 用频率计算概率（共4小题） 74．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，频数（率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为 ，则， 解得：， 估计不规则图案的面积约为． 故选：B． 75．（24-25九年级上·浙江温州·期中）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 76．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； （3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 77．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频率与频数和样本容量的关系、概率的应用等知识点，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）根据频率、频数、样本容量的关系求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近，据此即可解答； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：． （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 题型十五 游戏的公平性（共4小题） 78．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种， ，因此游戏不公平． 79．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】(1)见解析 (2)原来有红球个，白球有个 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 80．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率 ． （1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中树状图，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图得：    由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字都为奇数的结果有4种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； （2）不公平；理由： 取出的两张卡片上的数字和为奇数的有4种，数字和为偶数的有5种， 则取出的两张卡片上的数字数字和为奇数的概率是，和为偶数的概率是， ∵， 因此，这个游戏不公平． 81．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人卡片数字和为5的结果数，然后根据概率公式计算； （2）找出和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种，再计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较两概率大小可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：（1）画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两人卡片数字和为5的结果数为2， 所以两人卡片数字和为5的概率； （2）不公平． 理由如下： 和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 因为， 所以该游戏对双方不公平． 1．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)该函数为二次函数，； (2)小龙滑完整个赛道需要耗时10秒 (3)能，此时小游的滑雪时间为 【分析】本题考查了描点法画函数图象，二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； （2）根据列方程求解； （3）根据题意列方程求解． 【详解】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为 2．已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)最小值为； (2)小滨的想法正确．理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可； （2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ∴当时，y取最小值为； （2）解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 故小滨的想法正确． 4．已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． (1)不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． (2)若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； (3)当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数与方程的关系． （1），则当代数式不含项时求出和的值，此时即过定点； （2）将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点为，再代入，进而求解． （3）当时，直线的解析式为，联立得，解得，再抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，此时与无关，解得， ∴不论a取何值，抛物线G必过两个定点，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴抛物线G的顶点为， ∵抛物线G的顶点在直线l上，直线的解析式为， ∴把代入得， 整理得； （3）解：当时，直线的解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∵抛物线G在时的图象与直线有两个公共点， ∴， 解得． 5．根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答； 任务4：当时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据列方程求得R，进而求得直径即可． 【详解】解：（1）如图：圆心为 ，连接 ， 设 ，则 ， ， ， ∵，过圆心， ∴， 在 中， 由勾股定理可得： ， 即 ，解得：， ∴ 的半径为． （2）由题意知抛物线的顶点为，且过 ， ∴设抛物线解析式为： ， ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， ∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， 当时，，解得：， ∴水面宽度为． （3）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， 对于，如图所示： ∵， ， ， ， ， ∵ ∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． （4）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， ∵底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内， ∴ 设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 6．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 【答案】(1)长4米或8米 (2)矩形花圃的最大面积为36平方米 (3)矩形花圃的面积最大值为70平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设米，根据矩形面积可得，求解即可获得答案； （2）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意可得关于的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可获得答案； （3）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意确定的取值范围，然后建立关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设米， 根据题意可得， 解得，， 答：长4米或8米； （2）设米，矩形花圃面积为平方米， 根据题意，可知 ， 当时，此时，，有最大值36， 所以，矩形花圃的最大面积为36平方米； （3）设米，矩形花圃面积为平方米， 则有， ∴， ∴ ， ∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米． 7．手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作） (1)小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________． (2)小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种，根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种， 小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 8．2026年美加墨世界杯预选赛激战正酣，中国队这次打出了令人惊喜的表现，虽在亚洲区18强赛C组中暂时排名垫底，但与直接晋级区仅1分之差，与附加赛区同分，这样接下来2025年中国队的比赛场场都是决战．2025年3月20和25日，中国客场对沙特，主场对澳大利亚的两场比赛如果能拿到4分及以上，晋级美加墨世界杯的前景将一片光明． (1)中国队和沙特，澳大利亚的水平处于伯仲之间，假设出现任一结果（胜、平、负）的可能性相同，请你用画树状图或者列表法的方式表示出中国队与沙特，澳大利亚两场比赛出现的所有比赛结果； (2)足球比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．请你计算出中国队在与沙特，澳大利亚两场比赛中拿到4分及以上的概率． 【答案】(1)共9种不同的结果 (2) 【分析】本题考查了用画树状图或者列表法求概率，正确画出树状图或画出表格是解答本题的关键． （1）根据题意画树状图即可； （2）根据树状图即得分方法求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∴共9种不同的结果； （2）解：共3种情况使得积分不低于4分，故． 9．用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 【答案】(1)①② (2)是，理由见解析 【分析】本题考查的是函数的定义，利用频率估计概率．利用列表法求解随机事件的概率； （1）利用概率公式或列表法分别求解①②③④的概率，再与题干事件的概率进行比较即可得到结论； （2）根据函数的定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，从而可得答案． 【详解】（1）解：由图可得：某项试验的频率稳定在附近， ①掷一次骰子点数大于2的频率是，故符合题意； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女的概率是，符合题意； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃的概率是，故不符合题意； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球的概率是，故不符合题意； 故答案为：①② （2）解：这幅图中的频率是关于试验次数的函数，理由如下： ∵对于每1个不同的试验次数，都有唯一的一个频率与之对应， ∴这幅图中的频率是关于试验次数的函数． 10．小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． （1）求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率； （3）根据（2）中列表法，分别求出指针落在黄色区域和指针都落在蓝色区域的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， 指针落在红色区域； （2）解：列表法， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种， 指针都落在蓝色区域； （3）解：指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域． 公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中真题百练通关（81题15大常考题型） 题型一 二次函数的定义 题型九 二次函数与坐标轴交点问题 题型二 二次函数的性质 题型十 二次函数与不等式 题型三 利用二次函数的性质求参数 题型十一 二次函数与实际问题 题型四 待定系数法求二次函数解析式 题型十二 事件的分类 题型五 函数图像的综合判断 题型十三 概率的计算 题型六 根据二次函数图像判断式子符号 题型十四 用频率计算概率 题型七 二次函数最值问题 题型十五 游戏的公平性 题型八 二次函数的平移问题 题型一 二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（   ） A． B．2 C． D．0 题型二 二次函数的性质（共6小题） 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 6．（22-23九年级上·山东东营·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C．当时，随的增大而增大 D．若点在抛物上，则 9．（20-21九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点 10．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三 利用二次函数的性质求参数（共5小题） 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·浙江台州·期中）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数，在上最大值为4，最小值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 题型四 待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 16．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）与抛物线的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是的抛物线的函数表达式是 ． 18．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 19．（20-21九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过， (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 题型五 函数图像的综合判断（共5小题） 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(    ) A．B．C． D． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A．B．C． D． 24．（21-22九年级上·浙江金华·期中）已知反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致是（ ） A．B． C． D． 25．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 题型六 根据二次函数图像判断式子符号（共6小题） 26．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论：①②经过两点的直线一定不经过第三象限③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为，其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 28．（23-24九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 31．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有 （填序号） 题型七 二次函数最值问题（共8小题） 32．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 33．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 34．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 35．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 36．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 37．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 39．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（，为常数），经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 题型八 二次函数的平移问题（共5小题） 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）由二次函数图象平移得到二次函数图象，下列哪种平移方式可以实现(    ) A．向右平移个单位，再向上平移个单位 B．向右平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向左平移个单位，再向下平移个单位 42．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 44．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 题型九 二次函数与坐标轴交点问题（共6小题） 45．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 47．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴有 个交点． 48．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 49．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数 (1)若点在抛物线上 ①求抛物线的对称轴； ②若该二次函数与坐标轴有三个交点，则的取值范围； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 50．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 题型十 二次函数与不等式（共4小题） 51．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 52．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 53．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 题型十一 二次函数与实际问题（共9小题） 55．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 56．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为 ． 57．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 58．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 59．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 60．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 61．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 62．（2021·浙江金华·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 63．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 题型十二 事件的分类（共4小题） 64．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．圆内接四边形对角和是 B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况 65．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 66．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（    ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯． B．在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． C．打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况． D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级． 67．（22-23九年级上·吉林白山·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．一匹马奔跑的速度是100米/秒 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．班里有两名同学的生日在同一天 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 题型十三 概率的计算（共6小题） 68．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 69．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（   ） A． B． C． D． 70．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（  ） A． B． C． D． 71．（22-23九年级上·浙江温州·期中）数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m的值． 72．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种． (1)乙同学恰好选中B的概率是______； (2)求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 73．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________； (2)如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 题型十四 用频率计算概率（共4小题） 74．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（    ） A． B． C． D． 75．（24-25九年级上·浙江温州·期中）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 76．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 77．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 题型十五 游戏的公平性（共4小题） 78．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 79．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 80．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 81．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 1．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 2．已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 3．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 4．已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． (1)不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． (2)若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； (3)当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 5．根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 6．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 7．手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作） (1)小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________． (2)小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率． 8．2026年美加墨世界杯预选赛激战正酣，中国队这次打出了令人惊喜的表现，虽在亚洲区18强赛C组中暂时排名垫底，但与直接晋级区仅1分之差，与附加赛区同分，这样接下来2025年中国队的比赛场场都是决战．2025年3月20和25日，中国客场对沙特，主场对澳大利亚的两场比赛如果能拿到4分及以上，晋级美加墨世界杯的前景将一片光明． (1)中国队和沙特，澳大利亚的水平处于伯仲之间，假设出现任一结果（胜、平、负）的可能性相同，请你用画树状图或者列表法的方式表示出中国队与沙特，澳大利亚两场比赛出现的所有比赛结果； (2)足球比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．请你计算出中国队在与沙特，澳大利亚两场比赛中拿到4分及以上的概率． 9．用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 10．小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $