专题02 一元二次方程18题型（期中专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型10 配方法的应用（难点） 题型2 由定义求参数（常考点） 题型11 根据根的判别式判断根的情况（重点） 题型3 一元二次方程的解（重点） 题型12 根据根的情况求参数（常考点） 题型4 由方程的解求参数 题型13 根与系数的关系（难点） 题型5 直接开方法解一元二次方程 题型14 一元二次方程之图形应用（难点） 题型6 配方法解一元二次方程（重点） 题型15 一元二次方程之行程应用（常考点） 题型7 因式分解法解一元二次方程（重点） 题型16 一元二次方程之工程应用 题型8 求根公式法解一元二次方程（常考点） 题型17 一元二次方程之经济应用（常考点） 题型9 其它方法求解一元二次方程 题型18 一元二次方程之其它应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程，是一元二次方程的是（   ） ①，②，③，④，⑤． A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 3．一元二次方程中，二次项系数是 ，常数项是 ． 题型二 由定义求参数（共3小题） 4．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 5．已知是关于的一元二次方程，则代数式 ． 6．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为 ． 题型三 一元二次方程的解（共4小题） 7．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 8．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 9．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 10．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ． 题型四 由方程的解求参数（共4小题） 11．已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 12．将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 13．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 14．已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为 ． 题型五 直接开方法解一元二次方程（共3小题） 15．一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 16．对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则 ． 17．解方程： (1)； (2)． 题型六 配方法解一元二次方程（共3小题） 18．用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 19．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 20．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 题型七 因式分解法解一元二次方程（共3小题） 21．解方程的最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 22．已知，则 ． 23．解方程：（用因式分解法） 题型八 求根公式法解一元二次方程（共3小题） 24．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 25．解方程：（用公式法） 26．已知关于x的一元二次方程（），其中一个根为． (1)求的值． (2)解方程：． 题型九 其它方法求解一元二次方程（共6小题） 27．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 28．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 29．阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 30．阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为___________； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 31．阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 32．阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解法一：解方程得：，． ∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍， ∴所求方程的两根为：，， ∴所求方程为：． 故所求方程为：． 解法二：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：化简，得， 故所求方程为：． 请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 题型十 配方法的应用（共4小题） 33．若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 34．已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 35．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 36．我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 题型十一 根据根的判别式判断根的情况（共2小题） 37．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 38．已知关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 题型十二 根据根的情况求参数（共3小题） 39．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 40．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 41．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 题型十三 根与系数的关系（共4小题） 42．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 43．已知m，n是方程的两根，则 ． 44．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 45．已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 题型十四 一元二次方程之图形应用（共2小题） 46．如图，一块长方形绿地的长为100米．宽为50米，在绿地中修建两条道路后剩余的面积为4851平方米，根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 47．如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 题型十五 一元二次方程之行程应用（共3小题） 48．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 49．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 50．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 题型十六 一元二次方程之工程应用（共2小题） 51．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 52．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 题型十七 一元二次方程之经济应用（共3小题） 53．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 54．山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 55．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 题型十八 一元二次方程之其它应用（共5小题） 56．某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 57．九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． 58．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 59．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动．设它们的运动时间为．当的面积等于三角形的面积的时，的值为多少秒． 60．已知非负整数，，，满足，试求出符合条件的所有，，，的值． $专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型10 配方法的应用（难点） 题型2 由定义求参数（常考点） 题型11 根据根的判别式判断根的情况（重点） 题型3 一元二次方程的解（重点） 题型12 根据根的情况求参数（常考点） 题型4 由方程的解求参数 题型13 根与系数的关系（难点） 题型5 直接开方法解一元二次方程 题型14 一元二次方程之图形应用（难点） 题型6 配方法解一元二次方程（重点） 题型15 一元二次方程之行程应用（常考点） 题型7 因式分解法解一元二次方程（重点） 题型16 一元二次方程之工程应用 题型8 求根公式法解一元二次方程（常考点） 题型17 一元二次方程之经济应用（常考点） 题型9 其它方法求解一元二次方程 题型18 一元二次方程之其它应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A. 2．下列方程，是一元二次方程的是（   ） ①，②，③，④，⑤． A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析即可． 【详解】解：①是一元二次方程；②有2个未知数，不是一元二次方程；③有2个未知数，不是一元二次方程；④是一元二次方程；⑤是一元二次方程， 故选：D． 3．一元二次方程中，二次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中，二次项系数是2，常数项是1， 故答案为：2，1． 题型二 由定义求参数（共3小题） 4．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 5．已知是关于的一元二次方程，则代数式 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 6．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 题型三 一元二次方程的解（共4小题） 7．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 8．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B. 9．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 10．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 题型四 由方程的解求参数（共4小题） 11．已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代数进行计算，即可作答． 【详解】解：是方程的一个根， ， 即， ∴， 则 ． 故选：C． 12．将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的一般形式是解题的关键；方程利用单项式乘多项式法则展开，再移项、合并同类项即可化为一元二次方程的一般形式，最后比较二次项系数即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ∵化成一元二次方程的形式， ∴， 故选：C． 13．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 14．已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程看作是关于的方程，则关于的方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：把方程看作是关于的方程， ∵关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，， ∴关于的方程的解满足或， 解得或， 故答案为：． 题型五 直接开方法解一元二次方程（共3小题） 15．一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程—直接开平方法．利用直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选：D． 16．对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）方程利用直接开平方法求解即可； （2）方程利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，； （2）解：， ， ，即， ∴或， 解得，． 题型六 配方法解一元二次方程（共3小题） 18．用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 19．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先将方程中常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，即可求出． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：B． 20．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 题型七 因式分解法解一元二次方程（共3小题） 21．解方程的最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法很容易把方程转化为或． 【详解】解：， 或 解得． 所以此方程利用因式分解法最适当． 故选：D． 22．已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先将题中已知的方程通过因式分解转化为，进而求出的值，同时要注意根据和的非负性对解进行取舍． 【详解】解： ，， ，， ∵无论x，y为何值，不能为负数， ∴， 故答案为：6． 23．解方程：（用因式分解法） 【答案】， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用平方差公式进行因式分解计算即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 题型八 求根公式法解一元二次方程（共3小题） 24．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 25．解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 26．已知关于x的一元二次方程（），其中一个根为． (1)求的值． (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义及用公式法求一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的意义及用公式法求一元二次方程的根是解题的关键． （1）把代入求解，得到，再代入计算即可； （2）根据（1）的结果，可将方程化简为，再用公式法求一元二次方程的根即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ； （2）解：， ， ∵， 可化简为， ， 即，． 题型九 其它方法求解一元二次方程（共6小题） 27．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 28．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了换元法在解复杂方程中的应用及非负代数式的取值判断，解题的关键是通过设新元将含平方、多项式乘积的复杂方程转化为一元二次方程，同时结合代数式（如平方数、二次三项式）的实际取值范围舍去不合理的解． （1）设（），将方程转化为，解一元二次方程后根据的非负性舍去负解； （2）设，将方程转化为，解一元二次方程后，通过配方判断的取值范围，舍去不符合的解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴． 原方程变形为， 开方得或， 解得，． ∵， ∴舍去，即． 故答案为：． （2）解：设，原方程变形为， 整理得， 因式分解：， 解得，． 又∵， ∴不符合 条件， 故的值为． 29．阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 30．阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为___________； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程， （1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程； （2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：如果设，则原方程可化为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，原方程可变形为， 整理，得.解得，． 当时，方程可整理为． ， 方程无解． 当时，方程可整理为， 解得．经检验，是原方程的根． 原方程的根为． 31．阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 32．阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解法一：解方程得：，． ∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍， ∴所求方程的两根为：，， ∴所求方程为：． 故所求方程为：． 解法二：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：化简，得， 故所求方程为：． 请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得； （2）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得； （3）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得． 【详解】（1）解法一：解方程得：， ∵所求方程的根分别为已知方程根的相反数， ∴所求方程的两根为：， ∴所求方程为：， 故所求方程为：． 解法二：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：化简，得， 故所求方程为：． 故答案为：． （2）解法一：解方程得：， ∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数， ∴所求方程的两根为：，， ∴所求方程为：， 故所求方程为：． 解法二：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：化简，得， 故所求方程为：． （3）解法一：解方程得：， ∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数， ∴所求方程的两根为：， ∴所求方程为：， 故所求方程为：． 解法二：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：化简，得， 故所求方程为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“换根法”． 题型十 配方法的应用（共4小题） 33．若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键． 三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 34．已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 35．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或 (4)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）先对方程左边按完全平方公式进行因式分解，再根据乘方的意义将二次方程转化为一元一次方程进行解答； （2）用完全平方公式对方程左边进行因式分解，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （3）仿样例，先配方化成完全平方等于一个非负数的形式，再开方求解； （4）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴； （4）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 36．我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）当时，代数式有最小值，最小值为 【分析】此题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质． （1）由可得时，取得最小值0； （2）由知可得答案； （3）把原式配方，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）代数式有最小值时，， 故答案为：1； （2）代数式的最小值在时，最小值为3， 故答案为：3； （3）， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 题型十一 根据根的判别式判断根的情况（共2小题） 37．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 38．已知关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根 (2)写出一组满足条件的的值为，此时方程的根为 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，由此即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，则可得一组满足条件的的值，然后代入解方程即可得． 【详解】（1）解：由一元二次方程的定义可知，， ∵， ∴关于的一元二次方程根的判别式 ， 当时，这个方程根的判别式，方程有两个相等的实数根； 当，且时，这个方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：由一元二次方程的定义可知，， 关于的一元二次方程根的判别式， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴写出一组满足条件的的值为， 此时方程为，整理得：， 解得． 题型十二 根据根的情况求参数（共3小题） 39．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算和一元二次方程根的判别式．先理解题目给出的新定义运算，根据新定义运算将展开得到一个一元二次方程，再根据一元二次根的判别式得到一个一元一次不等式，解不等式即可求出结果，此时需要考虑． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选：D． 40．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选：C． 41．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围为， ∴符合条件的所有整数的值为，，， 故答案为：，，． 题型十三 根与系数的关系（共4小题） 42．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 43．已知m，n是方程的两根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系．根据m，n是方程的根可将表示出来，代入要计算的式子进行化简，再结合韦达定理即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴ ∴， 同理， ∴ ， 故答案为：2． 44．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 45．已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)7，1，7 (2)1 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 题型十四 一元二次方程之图形应用（共2小题） 46．如图，一块长方形绿地的长为100米．宽为50米，在绿地中修建两条道路后剩余的面积为4851平方米，根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4851平方米，即可得出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 47．如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为列出关于S的方程． （1）根据边减少，得到的矩形面积不变，得，可解得答案； （2）根据题意得，，变形得，可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得：． 答：b的值为6． （2）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴S的值为． 题型十五 一元二次方程之行程应用（共3小题） 48．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 49．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 50．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 题型十六 一元二次方程之工程应用（共2小题） 51．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 52．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 题型十七 一元二次方程之经济应用（共3小题） 53．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 54．山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知每千克酥梨的利润为，销售量为千克，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 55．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答； （）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； （2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 题型十八 一元二次方程之其它应用（共5小题） 56．某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 57．九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 58．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 59．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动．设它们的运动时间为．当的面积等于三角形的面积的时，的值为多少秒． 【答案】的值为秒 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据路程速度时间，表示出，，，根据的面积等于三角形的面积的时，列方程求解即可． 【详解】解：根据路程速度时间，可得：，， 则， 当的面积等于三角形的面积的时，则 即， 解得：． ∴当的面积等于三角形的面积的时，的值为秒． 60．已知非负整数，，，满足，试求出符合条件的所有，，，的值． 【答案】，，，或，，， 【分析】本题考查了完全平方公式，解二元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解本题的关键． 由题干得，进而可得，当时，分别求出符合条件的值即可． 【详解】解：由得， ， ， ，于是． （1）当时，，因为没有两个整数的平方和等于6，故不成立； （2）当时，，由此得，或，； ①若，，则，，代入②式得，该式右边须是3的倍数，故只有，解得，，． ②若，，同理可得，，． （3）当时，，由此得，，代入②式得，右边不可能是3的倍数，故不成立； 综上所述，，，，或，，，． $