专题05 期中真题百练通关（16大压轴题型）（期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题05 期中真题百练通关（56题16大压轴题型） 题型一 与二次函数有关的整点问题 题型九 面积最值问题 题型二 与二次函数有关的定值问题 题型十 二次函数与将军饮马综合 题型三 根据二次函数图象判断其性质 题型十一 阿氏圆问题（选做） 题型四 线段最值问题 题型十二 角度存在性问题 题型五 线段存在倍数关系问题 题型十三 特殊三角形存在性问题 题型六 等线段问题 题型十四 特殊四边形存在性问题 题型七 二次函数与倍角问题 题型十五 相似三角形存在性问题（选做） 题型八 周长最值问题 题型十六 其他存在性问题 题型一 与二次函数有关的整点问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 3．（21-22九年级上·浙江台州·期中）我们把横坐标、纵坐标均为整数的点叫做整点， 如 等等． 若抛物线与x轴围成的封闭区域（含边界）恰好含有8个整点，则实数的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M． (1)顶点M的坐标为　　． (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若轴且． ①点N的坐标为　　； ②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 题型二 与二次函数有关的定值问题（共4小题） 5．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）关于x的方程，当（）时，方程的解分别为，若，则的值的情况为（    ） A．是定值，为9 B．是定值，为4 C．不是定值，随的增大而增大 D．不是定值，随的增大而减小 6．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该拋物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； (3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知中，A是的中点，弦与交于点E．    (1)求证：． (2)如图2，若M为上的动点，（不与B、C重合），交于N，弦，． ①当M在上运动时，问和中有没有值保持不变？若保持不变，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值． ②若F是延长线上一点，交于G，当时，求的长． 题型三 根据二次函数图象判断其性质（共4小题） 9．（22-23九年级上·浙江金华·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________． x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… y …… 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …… (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． (3)结合函数图象，解决下列问题： ①解不等式：； ②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围． 10．（24-25九年级上·山东日照·期中）探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； (2)如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ (4)解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 11．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； (3)对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知函数的图象过原点和点． (1)直接写出)的解析式； (2)如图，请画出分段函数的图象（不要求．列表），并回答以下问题： ①写出此分段函数的一条性质：___________； ②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标． 题型四 线段最值问题（共3小题） 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出直线的解析式； (3)P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作，交直线于点Q，作轴交于M．求线段的最大值及此时点P的坐标． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 15．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 线段存在倍数关系问题（共4小题） 16．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)确定该抛物线的函数表达式； (2)连接，交抛物线的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 17．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 等线段问题（共3小题） 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知抛物线表示的二次函数的最大值是5． (1)抛物线的对称轴是______，a的值是______． (2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值； (3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 题型七 二次函数与倍角问题（共3小题） 23．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级下·甘肃甘南·期中）已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)求二次函数解析式； (2)求点A的坐标及的值； (3)如图1，当时，求点P的坐标； (4)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．． 25．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型八 周长最值问题（共2小题） 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 27．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点． (1)填空： ； ． (2)若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时： ①求点M的坐标； ②求外接圆圆心F的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标． 题型九 面积最值问题（共3小题） 28．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标； (3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，则x的取值范围为________；若有一直线经过点A、C，则不等式的解集为_______； (3)若抛物线上有一动点P，使三角形的面积为6，求P点的坐标． 30．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； (3)若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 题型十 二次函数与将军饮马综合（共3小题） 32．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 33．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值及点P的坐标． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为27，求a的值． 34．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 题型十一 阿氏圆问题（选做）（共2小题） 35．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 36．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 题型十二 角度存在性问题（共3小题） 37．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 39．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三 特殊三角形存在性问题（共3小题） 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（22-23九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 特殊四边形存在性问题（共3小题） 43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 44．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积； (3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十五 相似三角形存在性问题（选做）（共3小题） 46．（2022·青海西宁·二模）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标； (3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 47．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线经过点和原点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)过抛物线上的点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线交x轴于点A，与直线交于点B（非原点），过点B作轴交抛物线于点C，． (1)求a的值． (2)若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值． (3)若P是射线上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线与抛物线于E，F，作点F关于直线的对称点G，连结，．是否存在与相似，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点G的坐标． 题型十六 其他存在性问题（共9小题） 49．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 50．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 51．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数．例如：一次函数，它的“伴随”函数为． (1)已知点在一次函数的“伴随”函数的图象上，求m的值． (2)已知二次函数． ①当点在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值． ②当时，函数的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 52．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M．求证：． ②如图2，当点N在运动过程中，点M总存在两个不同的位置使，求出t的范围． ③当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 53．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 54．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 55．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 56．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． (1)用含的代数式表示的值； (2)若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．P是线段上的动点（点P不与点B，C重合），连接并延长交抛物线于另一点Q，连接，设点Q的横坐标为x． (1)求证：是直角三角形． (2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式． (3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值． 2．已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 3．如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 4．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 5．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由； （3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 7．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 8．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 9．已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 10．如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且． (1)求A、B两点的坐标及a的值； (2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围； (3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（56题16大压轴题型） 题型一 与二次函数有关的整点问题 题型九 面积最值问题 题型二 与二次函数有关的定值问题 题型十 二次函数与将军饮马综合 题型三 根据二次函数图象判断其性质 题型十一 阿氏圆问题（选做） 题型四 线段最值问题 题型十二 角度存在性问题 题型五 线段存在倍数关系问题 题型十三 特殊三角形存在性问题 题型六 等线段问题 题型十四 特殊四边形存在性问题 题型七 二次函数与倍角问题 题型十五 相似三角形存在性问题（选做） 题型八 周长最值问题 题型十六 其他存在性问题 题型一 与二次函数有关的整点问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．将抛物线解析式配方得到顶点坐标，根据顶点到直线之间整点数分类讨论，从而得到有四个和两个整点时的a值，根据讨论可以得到围成区域内整点数与a的关系，从而进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴顶点所在直线为：， ①当时，顶点坐标为：， 此时，抛物线对称轴与的交点为：， 联立抛物线与直线得：， 解得：或， ∵， ∴对称轴左侧没有整点， ∵， 当时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点， ∴直线与抛物线围成区域内没有整点； ②当时，顶点坐标为：， 此时，抛物线对称轴与的交点为：， ∴对称轴上有一个整点， 联立抛物线与直线：，解得：或2， 如图： 当时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4， 此时，抛物线与直线围成区域内的整点有：和，共两个， ③当时，顶点坐标为：， 联立抛物线与直线方程：，解得：， 如图： 此时，围成区域内的整点有，，，，共四个整点； 结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多， ∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式，图象和性质及分类讨论的方法是解题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域(包括边界)恰有4个整点的边界，易知抛物线的顶点坐标为，当时，过点， ， ，显然，“整点”，，符合题意，再将和代入即可，当时，过点， ，，，显然，“整点”，，符合题意，再将，代入即可得a的取值范围． 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是； Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是； 故答案为：或 ． 3．（21-22九年级上·浙江台州·期中）我们把横坐标、纵坐标均为整数的点叫做整点， 如 等等． 若抛物线与x轴围成的封闭区域（含边界）恰好含有8个整点，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意易得该二次函数与x轴的交点始终为，则有该函数图象与x轴围成的封闭区域已经有五个整点，即为，然后分恰好有7个整点，恰好有8个整点和恰好有9个整点进行分析即可． 【详解】解：由可得：， ∴当y=0时，则有或3， ∴该二次函数与x轴的交点始终为， ∴该函数图象与x轴围成的封闭区域已经有五个整点，即为， ①当封闭区域内有7个整点时，即函数经过点， ∴，解得：， ②当封闭区域内恰有9个整点，则函数图象经过点， ∴，解得：， ∴综上所述：当抛物线与x轴围成的封闭区域（含边界）恰好含有8个整点，则实数的取值范围是； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M． (1)顶点M的坐标为　　． (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若轴且． ①点N的坐标为　　； ②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）利用配方法即可解决问题． （2）①代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题． ②根据题意画出图形，结合图形列出关于m的不等式，解之确定m的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴抛物线顶点M的坐标． 故答案为：； （2）①由题意可知：或， 故答案为：或； ②分两种情况： ①当N在点M的上方时，此时N在x轴上，即直线l与x轴重合，如图所示，抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点， ∴当时，，当时，， 则 ， 解得：； ②当N在点M的下方时，如图所示，抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点， ∴当时，，当时，， 则 ， 解得：； 综上，m的取值范围是：或． 【点睛】本题考查抛物线与不等式的关系、配方法确定顶点坐标，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，并注意数形结合的应用，属于中考常考题型． 题型二 与二次函数有关的定值问题（共4小题） 5．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）关于x的方程，当（）时，方程的解分别为，若，则的值的情况为（    ） A．是定值，为9 B．是定值，为4 C．不是定值，随的增大而增大 D．不是定值，随的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系以及二次函数的对称轴问题，根据，得出，且，代入，化简即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，当（）时，方程的解分别为， ∴当时，方程的解是 当时，方程的解是 ∴函数的对称轴为， ∴， 即如图所示： ， ， 则 把代入上式， 整理得 解得， 即， ∴的值的情况为是定值，为9， 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该拋物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； (3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识，会利用待定系数法求函数解析式；关键是根据已知条件讨论点P的位置． （1）把点，代入计算后可得该抛物线的解析式； （2）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （3）分三种情况讨论满足时，m的取值范围． 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线与x轴的另一交点为点D，如图所示， ∴点与点D关于直线对称，顶点， ∴点D为， ∵点为该拋物线上一点，其横坐标为， ∴点纵坐标， ①当点在点左边时，即时，最高点为点，最低点点， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为，不是定值，不符合题意； ②当点在点和点之间时，即时，最高点为点，最低点点， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为，不是定值，不符合题意； ③当点P在点C和点D之间时，即，最高点为点，最低点点， 点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， ∴此时m的取值范围为：； ④当点在点右边时，即时，最高点为点，最低点点， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为，不是定值，不符合题意； 综上所述，当时，该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，这个定值为； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，最高点为点，最低点点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，最高点为点，最低点点， ，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E下方时，即时，最高点为点，最低点点， ，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可求出答案； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线对应的函数表达式为， ∵为中点， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴直线对应的函数表达式为． ∵点在抛物线上，所以， ∴ 解得，或． 又∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴满足直线对应的函数表达式， ∴点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2．理由如下： 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线． 设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， ∴的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， ∴的面积小于的面积，则的面积不为定值． 又∵中存在面积为定值的三角形， ∴的面积为定值， 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为2， 综上所述，的面积为定值，其面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知中，A是的中点，弦与交于点E．    (1)求证：． (2)如图2，若M为上的动点，（不与B、C重合），交于N，弦，． ①当M在上运动时，问和中有没有值保持不变？若保持不变，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值． ②若F是延长线上一点，交于G，当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，的最大值为；② 【分析】（1）连接，由等弧对等角得，故可得，有，从而可得结论； （2）①连接，，同（1）可证，可得，而，可得为定值．证明，可得，结合二次函数的性质知，有最大值为16； ②作直径交于K，连接，由勾股定理可求得的值，再证明求得的值，由同角的余角相等知，，从而有，再求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵A是的中点， ∴，    ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）①连接，同（1）可证， ∴， ∴． ∵，， ∴，    即为定值， 设，而，则， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，有最大值为16． ②过点A作直径交于K，记与圆的交点为，连接， ∵A是的中点， ∴，且． ∵， ∴．    ∴． 由①同理可得： ∴． ∴． 又∵为直径， ∴，且， ∴． ∴． ∴，即． 【点睛】本题利用了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 题型三 根据二次函数图象判断其性质（共4小题） 9．（22-23九年级上·浙江金华·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________． x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… y …… 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …… (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． (3)结合函数图象，解决下列问题： ①解不等式：； ②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①或；②或． 【分析】（1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①观察函数图象得到当时，，当时，，令，得，解得（舍去），，由图象得到不等式的解为或； ②根据图象即可求得． 【详解】（1）把代入得，， ∴； 故答案为：； （2）描点、连线画出函数的图象如图， （3）①由图象知，当时，x1=－2，x2=0，x3=4 当时， 当时， 令，得，解得（舍去）， 结合图象得，当时，或 ∴原不等式的解为或． ②当时， 由得 ，解得． 把代入的， ∴ t的取值范围为：或 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山东日照·期中）探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； (2)如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ (4)解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，随的增大而增大（答案不唯一） (4) 【分析】此题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数图象是解题关键． （1）求出和时的函数值，即可； （2）描点，连线画出图象即可； （3）直接根据图象，写出一条性质即可； （4）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）画图如下： （3）由图象可知：当时，随的增大而增大； （4） 有三个解为，，，且，则与图象有三个交点， 当时，， ∴当时，函数有最大值为， ∴当与图象有三个交点时，， ，且，， 令时， 解得 关于对称， ． 11．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； (3)对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】(1)任意实数 (2)见解析 (3)①③ (4) 【分析】本题考查了自变量的取值范围，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握自变量的取值范围，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数； （2）由题意知，，然后作图象即可； （3）由图象可知，函数图象关于y轴对称；可判断①的正误；函数有最小值，没有最大值；可判断②的正误；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；可判断③的正误；函数图象与x轴有4个公共点，可判断④的正误． （4）结合图象作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：由题意知，， 作图象如下； （3）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求； 函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求； 函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求， 故答案为：①③． （4）解：由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知函数的图象过原点和点． (1)直接写出)的解析式； (2)如图，请画出分段函数的图象（不要求．列表），并回答以下问题： ①写出此分段函数的一条性质：___________； ②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标． 【答案】(1) (2)函数图象见解析；①性质见解析；② (3)，， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先画出对应的函数图象，①结合图象即可求解；②分别两个抛物线的顶点坐标，观察图象即可求解； （3）画出图象，观察图象即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点原点和点． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：补全分段函数的图象如图所示，    ①此分段函数的一条性质：当时，函数值y随着x的增大而增大； ②函数，顶点坐标为， 函数，顶点坐标为， ∴由函数图象可知当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点； （3）解：如图，    观察图象，区域内所有整点的坐标为，，． 题型四 线段最值问题（共3小题） 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出直线的解析式； (3)P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作，交直线于点Q，作轴交于M．求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)线段的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】（1）设二次函数的解析式为，把代入得：，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得到当最大时， 最大，然后设点，则点，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得： ， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最大时， 最大， 设点，则点， ∴， ∴当时，最大，最大值为4，此时最大， ∴线段的最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 15．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)当时，的最大值为 (3)存在，横坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，然后将代入即可求出点的坐标； （2）首先求出直线的解析式为，设，点，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设点的坐标为，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点 代入解析式，得 解得， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为1， 把代入，得， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为，由题意得： 解得 直线的解析式为． 设， 点的纵坐标为， 把代入得， 点， 点为直线下方的抛物线上一动点， 当时，的最大值为； （3）解：设点的坐标为， ， ． ， ． 点的坐标为，点， ， ， 解方程得， 点的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形等知识，会利用数形结合思想是解答的关键． 题型五 线段存在倍数关系问题（共4小题） 16．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)确定该抛物线的函数表达式； (2)连接，交抛物线的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）由（）可得二次函数解析式，即得抛物线的对称轴为直线，，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）根据平移可得的解析式为，进而可求出点的坐标，最后根据列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ②∵， ∴将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的值为． 17．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 19．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；2； (2)； (3)，或，或，或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，解一元二次方程，三角形面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型六 等线段问题（共3小题） 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知抛物线表示的二次函数的最大值是5． (1)抛物线的对称轴是______，a的值是______． (2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值； (3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1)直线， (2) (3)或或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）由（1）可知当时，y随x的增大而增大，则，；，，进而求解； （3）根据两点距离公式求出，，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：， 故答案为：直线，； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 则， 解得：（正值已舍去）； （3）解：， 则， 设点，则点，则点、， 则，， ∵， ∴ 解得：或， 即点P的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）令，得，得到，，由待定系数法即可求函数表达式； （2）当时，此时，点是的中点，即可求解； （3）当点在轴正半轴上时，则，得到进而求解；当点在轴负半轴上时，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：令，得：， 解得，， ，， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为：； （2）解：如图，设点的坐标为（其中）， 则，． 当时，此时，点是的中点， 则， 解得：（负值已舍去）， 即点； 当时， 此时，不符合题意，舍去， 综上，； （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为． 在中，， 在中，， ，， ， ． 又，， ， ， ． 连接，点，点为抛物线上的对称点， 轴， ，，， ． ． 点的坐标为； ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为， 在中，， 在中，， ，， ． 又，， ， ， ． 由①可知，． ，， ． ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 【答案】(1)见解析 (2)（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由见解析 (3)证明见解析，y的最小值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，画二次函数图象，一元二次方程与二次函数之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先分别求出当时，当时，对应的函数解析式，再描点，连线，画出对应的函数图象即可； （2）分别求出两个函数的顶点坐标为，，由点和点都在直线图象上可得结论； （3）联立两函数解析式得到，进而推出，要想恒成立，则，即是与无关的常数，再由，，可得； （4）联立得，设，则，，利用勾股定理得到 ，同理可得，再由，推出，由此可得． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， 函数图象如下所示： （2）解：（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由如下： ∵， ∴函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， ∵点和点都在直线图象上， ∴（1）中所画函数图象的顶点均在直线上； （3）证明：联立得， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 符合题意； 当，则，即， ∴要想恒成立，则， ∴是与无关的常数， ∵，， ∴， ∴y的最小值为； （4）解：联立得， 整理得， 设，则，， ∴ ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当时，，，此时线段重合，不符合题意， ∴， ∴． 题型七 二次函数与倍角问题（共3小题） 23．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； （3）解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（24-25九年级下·甘肃甘南·期中）已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)求二次函数解析式； (2)求点A的坐标及的值； (3)如图1，当时，求点P的坐标； (4)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．． 【答案】(1) (2)， (3)点P坐标为 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为； （2）由可得，根据正切定义可求出； （3）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解； （4）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； （3）如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点， ，，， ， 由（1）可得，，即， ， ， ， 轴，轴， ，， ∴ ， 又， ， ， 设点坐标为，则，， ， 解得（舍去）或， 将代入得， 点坐标为； （4）如图2，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 题型八 周长最值问题（共2小题） 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识． （1）利用配方法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用图象法判断即可； （3）利用轴对称解决最短问题即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 解得或， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知，当时，； （3）如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接． 抛物线的对称轴是直线 又，关于直线对称， ，此时，此时的值最小，即的周长最小， ，， 设的解析式为， 则 解得： 直线的解析式为， 当时，， ． 27．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点． (1)填空： ； ． (2)若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时： ①求点M的坐标； ②求外接圆圆心F的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)1， (2)①；② (3)或 【分析】（1）先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，如图所示，连接，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线对称，得到，进一步推出当三点共线时，最小，即此时的周长最小，先求出，进而证明，得到，则；②利用勾股定理和勾股定理得逆定理证明时直角三角形，即，则外接圆圆心F即为的中点，据此求解即可； （3）先由（2）得，再证明，求出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴； ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 把，代入到抛物线解析式中得：， 解得， 故答案为：1，； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T， ∵，， ∴A、B关于直线对称， ∴， ∴的周长， ∵B、E都是定点，即是定值， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，，， ∴， ∴时直角三角形，即， ∴外接圆圆心F即为的中点， ∴外接圆圆心F的坐标为． （3）解：由（2）得， ∵点P在x轴上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形外接圆等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型九 面积最值问题（共3小题） 28．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标； (3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)存在点Q，t的值为或 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，面积问题及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点，作出相应图形进行分类讨论是解题关键． （1）根据待定系数法代入求解即可确定函数解析式； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，过点P作轴，交于点H，则，结合图形得出，然后计算面积求解即可； （3）根据题意得出，且，再由相似三角形的判定得出，利用性质确定，，继续利用待定系数法确定直线的解析式为，联立两个函数确定交点，，再由两点之间的距离得出，，分两种情况，当时，当时，作出图形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设直线的解析式为， ∴，解得：， 直线的解析式为， 设，过点P作轴，交于点H，则， 如图所示： ∴， ∵， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）∵直线分别交轴、轴于点． ∴当时，，当时，， ∴，且， ， ， ， ， ， ∴即， ∴， ∴， 同理得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：，， ∴，， ∴， 同理：， 在中，， 当时，如图所示： ∴， ∴即， 解得：或， 经检验：或均是原方程的解， ∵， ∴； 当时， ∴， ∴即， 解得：， 经检验：是原方程的解， 综上可得：存在点Q，t的值为或． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，则x的取值范围为________；若有一直线经过点A、C，则不等式的解集为_______； (3)若抛物线上有一动点P，使三角形的面积为6，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出函数值为时自变量的值，再根据二次函数的图象和性质，判断出时自变量的取值范围即可；根据函数图象可知，抛物线在直线下方时自变量的取值范围即为不等式的解集； （3）根据三角形面积公式，以为底，以为高，表示出的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象与x轴交于、，与y轴交于点， ∴代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵的图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，或， ∴时，或； ∵直线经过点、，且， ∴抛物线在直线的下方， ∴的解集为． 故答案为：或；； （3）设， ∵三角形的面积为6， ∴， ∴， 解得或或， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，函数图象与不等式的关系，三角形的面积等知识点，掌握数形结合以及二次函数的图象和性质是解题的关键． 30．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数的解析式，令可求出B的坐标； （2）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：，解得． 二次函数解析式为：． 当时，， 解得：． 点B的坐标为． （2）解：和有公共底，所以只需要高相等，面积就相等． 当时，， ∴， 解得：． 点D的坐标为． 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； (3)若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)， 【分析】（1）用待定系数法直接求解即可； （2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可； （3）先由勾股定理的逆定理得出，从而由三角形面积公式得，再用待定系数法求得直线解析式：，然后设，则，，所以，根据，得，求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得 解得：， ． （2）解：， 当抛物线向左平移个单位时，， 把代入得 ， 解得：（舍），， ． （3）解：如图，过点作轴，交于点， ，，， ， ， ， 设直线解析式解析式为， 把分别代入，得 ，解得：， 直线解析式：， 设，则， ， ， ， ， 解得：，， ，． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象的平移，抛物线与一次函数的图象性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理．此题属二次函数面积类综合题目，是中考试常考题目． 题型十 二次函数与将军饮马综合（共3小题） 32．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 33．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值及点P的坐标． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为27，求a的值． 【答案】(1)①；②的最小值为，点P坐标为； (2) 【分析】（1）①将点代入抛物线表达式即可求解； ②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点，则点为所求，进而求解； （2）当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）①将点代入抛物线表达式得：， 解得； ②设抛物线与轴的另外一个交点为A，   由①知，抛物线的表达式为， 令， 解得或1， ∴点，的坐标分别为，， ∴， 令则， ∴，则， 由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， ∴点在函数的对称轴上， 点关于函数对称轴的对称点为点，连接交于点， ∴点为所求， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴点P坐标为， ∴为最小， ∴的最小值； （2）解：∵关于x的二次函数 ∴函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值， ， 解得； ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、点的对称性等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 34．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 题型十一 阿氏圆问题（选做）（共2小题） 35．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 36．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 题型十二 角度存在性问题（共3小题） 37．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，    由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，   ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 38．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 39．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点P的坐标为 (3)存在，点P的横坐标为或7． 【分析】（1）根据一次函数求出A、C两点坐标，代入解析式求解即可得到答案； （2）根据A、B、C点坐标即可得到，求出的面积，分点P在下方或上方两类列方程即可得到答案； （3）由（2）得，作的垂直平分线交于一点F，求得，即，过点作，过点作交于点，得到，即点在直线上，求得直线的解析式，根据一次函数与二次函数交点问题联立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，故， 当时，，，故， 将，代入解析式得， ，解得：， ∴； （2）解：①点P在下方时，如图所示，连接，设， ∴ ， 当，解得：，， 故， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∵，无解， ②当点P在上方时，如图所示，连接，设， ∴ ， ∵的面积与的面积相等， ∴ ∴（与B重合，舍去），， 当时，， ∴； （3）解：∵,，， ∴ ∴， ∴是直角三角形， ∴， 如图所示，作的垂直平分线交于一点F，连接，则， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则， ∵， 在中，， 即， 解得：，则 ∴ ∴ 如图所示，过点作，过点作交于点， 则 即，即点在直线上， ∵ ∴， 在中，, ∴ 过点作轴， 则 ∴， ∴,， ∴ 设直线的解析式为 即 ∴ 即， 联立 解得：（舍去）， 同理可得 设直线的解析式为 则 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）， 综上，点P的横坐标为或7． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型十三 特殊三角形存在性问题（共3小题） 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 41．（22-23九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解； (3)求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线解析式得 ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线对称， ∴与对称轴的交点即为点，如下图， 则此时为最小， 设直线经过，两点， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为； 当时，， ∴点； （3）解：∵， ∴， ∴， 当为顶角的顶点时， 则， ∴点的坐标为或； 当为顶角的顶点时， 则， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 当为底边时， 则，即点在线段的垂直平分线上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度． 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 题型十四 特殊四边形存在性问题（共3小题） 43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 44．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积； (3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大值为8，此时D； (3)P或． 【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可； （2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论； （3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵点，点， ∴直线的解析式为：； 设D， ∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上， ∴， ∴， ∴的面积， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时D； （3）解：存在，如图，过点M作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴． 根据题意，需要分两种情况讨论： ①时，如图， 此时，   解得或t=0（舍）， ∴， ∴， ∵， ∴点P在y轴上， ∴， ∴P； ②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴P． 综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论． 45．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，根据点A，B，C的坐标判断三角形为直角三角形，再根据作图可得四边形为矩形，根据直线平移的性质可求得直线和直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，则M即为所求． 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴点M坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的判定，解题的关键是判断为直角． 题型十五 相似三角形存在性问题（选做）（共3小题） 46．（2022·青海西宁·二模）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标； (3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似， 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式计算即可； （2）根据点C在BM的垂直平分线上得CM=CB，用距离公式列方程计算即可； （3）分别求出B、E、F、H的坐标，再利用相似三角形的性质计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1）， ∴设抛物线解析式为 把C（0，3）代入得： 解得 ∴抛物线解析式为 （2）令y=0得 解得 ∴A点坐标为（2,0），B点坐标为（6,0） ∵抛物线对称轴为 ∴设M点坐标为 ∵点C在BM的垂直平分线上， ∴CB=CM ∴ 解得： ∵M在第一象限 ∴ ∴M点坐标为 （3）∵B（6,0），C（0,3） ∴直线BC的解析式为 ∵对称轴与直线BC交于点E， ∴E点坐标为（4,1） ∵过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H， ∴H坐标为 ∵F点坐标为（4,0） ∴EF=1,BF=2,EH= 设x轴上方的对称轴上的P点坐标为（4，n），n>0 ∴PE=n-1 当时 ∴ 解得： 此时P点坐标为： 当时 ∴ 解得： 此时P点坐标为： 综上所述，存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求二次函数的解析式、垂直平分线的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点P． 47．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线经过点和原点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)过抛物线上的点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把点、和原点代入，即可得到函数解析式； （2）求点C和点D的坐标，设点P的坐标为，则点E的坐标为，得到和，分点P在第一象限和第四象限两种情况，结合相似三角形的性质即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把点、和原点代入， 得， 解得， 抛物线的函数关系式为； （2）把代入， 解得， 点的坐标为， 由题可得点的坐标为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 若点在第一象限，此时 ， ， 即， 解得， 点的坐标为； 若点在第四象限，此时 ， ， 即， 解得， 点的坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，使得与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，结合分类讨论思想解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，． 48．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线交x轴于点A，与直线交于点B（非原点），过点B作轴交抛物线于点C，． (1)求a的值． (2)若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值． (3)若P是射线上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线与抛物线于E，F，作点F关于直线的对称点G，连结，．是否存在与相似，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）由解析式求出抛物线对称轴，根据求出点横坐标，通过一次函数解析式求出点坐标，进而求解． （2）设点横坐标为，用含代数式表示长度，进而求解． （3）根据的两直角边长比可得与的长度比为或，分类讨论点在上或在延长线上，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，， 点横坐标为， 把代入得． 点坐标为， 将代入得， 解得． （2）， ， 设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为， ， 时，为最大值． （3）存在，理由如下： 设与轴交点为，则，， 轴， ， 当与相似时，或， 设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为， 点坐标为， ①当时，点在下方， 则，， 当时，， 解得或（舍）． 点坐标为． 当时，， 解得或（舍）， 点坐标为． ②当时，点在上方， 则， 当时，， 解得或（舍）． 点坐标为． 当时，， 解得（舍）或， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与图形的综合问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握相似三角形的判定及性质，通过分类讨论求解． 题型十六 其他存在性问题（共9小题） 49．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的横坐标为：或3或或或5 【分析】（1）点A坐标为代入，得，即可作答． （2）令，得或，再令，则，根据，利用两点距离公式列式计算，即可作答． （3）分类讨论：、和，注意结合图象性质以及灵活作出正确的辅助线，勾股定理、相似三角形、全等三角形的性质与判定等，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点A坐标为， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴令，即 解得或， 令，则， ∴， 设点D的坐标为，由题可知，， ∴ 解得， ∴ （3）解：存在，理由如下：在中，， 根据题意，中是否存在一个内角，使其等于，需要分以下三种情况： ①当时，如图3-1，过点C作于点E，过点E作轴于点F，过点B作轴交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得， ∴直线的解析式为：， 令 解得（舍）或； ②当时， 当点P在上方时，如图3-2，此时轴， ∴令 解得； 当点P在x轴下方时，如图3-3，设与x轴交于点H， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即， 解得 ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 令 解得（舍）或 ③当时，如图3-4，过点B作交的延长线于点M，过点B作轴，分别过点M，P作x轴的平行线，交于点N，G， ∴ ∴ ∴， ∴ 设点P的横坐标为，则 ∴，， ∴ ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 将点M的坐标代入上述解析式，可得 整理得， 即， ∴或（因为，舍去）或 综上，符合题意，P的横坐标为：或3或或或5 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合：涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质与判定、勾股定理，全等三角形的性质与判定等内容，难度大，综合性强，学会正确作辅助线以及分类讨论是解决（3）的关键． 50．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，，； (3)存在，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：①以为一边的平行四边形，有2个；②以为对角线的平行四边形，有1个，此时点和点必关于点成中心对称． （3）画出图形，先证明为等腰直角三角形，求出，的长，再分两类共4种情况，结合，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得： ； （2）点在抛物线上，点在直线上， 设点的坐标为，点的坐标为． 如图1，点， ． ①当为一边时， ，且， ， 解得：，． ，； ②当为对角线时，则点和点必关于点成中心对称，故． ， 解得：， ． 当，，时，，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）存在． 如图2所示，连接，过点作于点． 由题意得，，， ，，， 为等腰直角三角形． ． ， ． ①， 过点且平行于的直线满足条件． 作直线于点，直线于点，设交直线于点． ，即：． 则，，即， ， ． ，即； ②如图2，在外作直线，延长交于点，使， ； ③如图3，过，作直线，作于点，于点，于点． 由①可知，，则，即：． ， ． 作轴于点， ， ， ． 的面积， ； ④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，同理可得： ，． 综上所述，存在直线，使．的值为：，，． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图像与性质、待定系数法、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识点，难度较大．第（2）问考查平行四边形的判定及分类讨论的数学思想，第（3）问是存在型问题，存在4条符合条件的直线，需要分类讨论，避免漏解． 51．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数．例如：一次函数，它的“伴随”函数为． (1)已知点在一次函数的“伴随”函数的图象上，求m的值． (2)已知二次函数． ①当点在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值． ②当时，函数的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或或；②当时，函数的“伴随”函数的最大值为，最小值为． 【分析】（1）写出的“伴随”函数，代入计算； （2）①写出二次函数的“伴随”函数，代入计算； ②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答． 【详解】（1）解：的“伴随”函数， 将代入得：， 解得； （2）解：二次函数的“伴随”函数为， ①当时，将代入， 得， 解得：(舍去)，或， 当时，将代入得： ， 解得：或． 综上所述：或或； ②当时， ，抛物线的对称轴为， 此时y随x的增大而减小， ∴此时y的最大值为， 当时，函数，抛物线的对称轴为， 当有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值， 综上所述，当时，函数的“伴随”函数的最大值为，最小值为． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点代入解析式. 52．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M．求证：． ②如图2，当点N在运动过程中，点M总存在两个不同的位置使，求出t的范围． ③当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①见解析，②，③存在，，点G的坐标为 【分析】（1）把点A的坐标代入，求出m即可的抛物线的解析式，把代入解析式，即可求出点C的坐标，把代入解析式，即可求出点B的坐标； （2）先求出直线的解析式，再求出点M的坐标，最后求证，，根据等边对等角，即可求证；②延长，过点B作于点P，过点M作轴，分析题目可得，点B、M、N、四点共圆，当轴时，M存在一个位置使，当点M和重合时，M存在一个位置使，即可求解；③设，将各条边的长度表示出来，过点G作轴于点H，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴； （2）①如图： 设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则 ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②延长，过点B作于点P，过点M作轴， 由①可知， ∵点M总存在两个不同的位置使， 令点M的两个位置分别为M和， ∴点B、M、N、四点共圆，   当点N运动到的中点时，点M和重合，此时， 当点和点C重合时， ∵和都为弦所对的圆心角， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， ∴， 在和中，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，整理得：， 根据勾股定理可得：， 即，解得：，（舍）， 综上：； ③过点G作轴于点H， 由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确画出辅助线，构造相似三角形和全等三角形求解． 53．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 54．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 55．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数，三角函数，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键： （1）待定系数法即可得出答案； （2）先得出，，过点Q作，垂足为H，则，得出，．根据，得出，进而可得出答案； （3）过Q作于点H，交OA于点E．得出，，连接QO，延长QO交PB延长线于点F，连接OP，证明，得出，延长BQ交DC延长线于点G，证明，得出，根据，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 解 ∴抛物线的解析式为． （2）∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ∴，． 过点Q作，垂足为H，则，，． ∵， ∴， ∴． （3）过Q作于点H，交OA于点E． ∵轴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． 连接，延长交延长线于点F，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设BQ交OC于点M． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长交延长线于点G． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 56．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． (1)用含的代数式表示的值； (2)若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①  ②存在；或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，点，将点的坐标代入一次函数解析式即可； （2）①，抛物线的对称轴为直线，则，可求点，将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解方程即可求出m值，即可求出抛物线的表达式； ②将共高三角形面积的比化为高的比，即，即，解得，则，解得或，所以点或． 【详解】（1）解：由题意得，点，抛物线的对称轴为直线， 将点的坐标代入一次函数解析式得：； （2）解：①，抛物线的对称轴为直线，则， 当时，，即点， 将点的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得或． 当时，，不合题意，舍去，则，，即点， 所以抛物线的解析式为． ②因为的面积和的面积比是，且和的底均为， 所以面积的比等于高的比，即，即，解得， 所以，解得或，所以点或． 57．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．P是线段上的动点（点P不与点B，C重合），连接并延长交抛物线于另一点Q，连接，设点Q的横坐标为x． (1)求证：是直角三角形． (2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式． (3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）分别求出二次函数与坐标轴的交点坐标，由两点之间的距离公式即可求出的长度，再运用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形； （2）连接，设点Q的坐标为，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）过点Q作于点H，则，根据相似三角形的性质得出，再结合得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）由图可知，A、B点是二次函数与x轴的交点 ∴ 解得： ∴， ∵C点是二次函数与y轴的交点， ∴当时， ∴， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形． （2）连接，如图所示， 设点Q的坐标为， ； （3）存在； 过点Q作于点H，如图所示， ∵由（1）可知，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活掌握以上性质解决问题是本题的关键． 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 2．已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 3．如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能，或或或． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 4．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． （1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可； ②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是． 【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是． 5．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由； （3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为． 【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得； （2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”； （3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称， ， ， ， 将点代入得：， 故答案为：； （2）由题意，分以下两种情况： ①当时， 假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”， 则， 解得，与相矛盾，假设不成立， 所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”； ②当时， 函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”； 综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”； （3）由题意，将代入得：， ， 设点与点是“函数”图象上的一对“点”， 则，解得， ， 联立得：， “函数”与直线交于点，， 是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ， ，即， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵ ， ∴顶点坐标为， （2）解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； （3）①如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；② (2)（0≤m≤3）； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3， ∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)； ②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c， 得，解得； （2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCM， ∴，即． 整理，得，即（0≤m≤3）． ∴当时，n的值最大，最大值是． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键． 8．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，顶点为 (2) (3)或 【分析】（1）将A点代入，可求函数的解析式及顶点坐标； （2）当时，y的最大值为，最小值为0，即可求解； （3）由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出a的值． 【详解】（1）解：将A点代入， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点为； （2）解：当时，， ∴当时，y的最大值为，最小值为0， ∴y的最大值与最小值的差为； （3）解：∵线段向上平移个单位得到线段， ∴，， 当在抛物线上时，， 解得：， ∴时，线段与抛物线只有一个交点； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，解得， 当时，， 解得：， 此时直线与抛物线交点的横坐标为，正好在线段上， ∴当时，线段与抛物线也只有一个交点； 综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键． 9．已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)或，0 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值； （2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论； （3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可． 【详解】（1）根据题意，得 解之，得，所以 函数的表达式或，当时，的最小值是-8． （2）根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以． （3）函数的图象 图1： 即， 所以，的值不存在． 图2： 即的值. 图3： 即 所以的值不存在 图4：即 所以的值不存在． 图5： 即 所以的值为 图6：函数与轴的交点为 所以的值为0成立． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观． 10．如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且． (1)求A、B两点的坐标及a的值； (2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围； (3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)点A、B的坐标分别为：， (2)或； (3)有，S的最大值为 【分析】（1）根据题意得点A、B的坐标分别为：，点，由正切函数得出，确定，即可求解； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：，平移后的抛物线表达式为：，根据题意得出，然后得出点，代入函数解析式求解即可； （3）设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，根据等边三角形确定，由题意得：，则，再结合图形求面积确定函数解析式即可得出结果． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 则点A、B的坐标分别为：，点， 则， ∵，则t， 则， 则， 解得：（经检验是方程的根）； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 则平移后的抛物线表达式为：， 则点，则， 则， 则，即点， 将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：， 解得：， 而， 则或； （3）连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作， 由（2）知，则， 则为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，则， 则，， 则 ， ∴S的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $