3.2平面直角坐标系第2课时（导学案）数学北师大版2024八年级上册

3.2 平面直角坐标系第2课时 导学案 （1）能准确说出坐标轴上点的坐标特征、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，会应用点的坐标特征解决问题； （2）能根据点的坐标特征进行相关代数推理运算和几何推理。 新知探究（一） 探究坐标轴上点的坐标特征（自学） 例2.在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接。 ①D(-3, 5)，E(-7, 3)，C(1,3)，D(-3, 5)；②F(-6, 3)，G(-6, 0), A(0, 0), B(0, 3)。 观察所得的图形，它像什么？ 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上?它们的坐标有什么特点? (2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的纵坐标有什么关系?线段EC上其他点的坐标呢? (3)点F和点G的横坐标有什么关系？线段FG与y轴有怎样的位置关系? 思考·交流：在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有什么特点?与同伴进行交流。 总结：在x轴上的点， ；在y轴上的点， ；原点坐标为 。 新知探究（二） 探究各象限内点的坐标特征（讨论与思考） 尝试·思考：图3-12中有个“笑脸”。 （1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点。 （2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 （3）不描出点，分别判断A(1, 2)，B(-1, -3)，C(2, -1)，D(-3,4)所在的象限。 新知探究（三） 探究与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 P62.随堂练习：在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接。 ①(2, 5), (0, 3), (4, 3), (2, 5)； ②(1, 3).(-2,0).(6, 0), (3, 3)； ③(1, 0),(1,-6).(3，-6),(3, 0)。 (1)观察所得的图形，你觉得它像什么? (2)图形中哪些点在坐标轴上? (3)上面①②③中这些点分别位于哪个象限?你是如何判断的? (4)围形中一些点之间具有特殊的位置关系，找出几组，它们的坐标有何特点？说说你的发现。 归纳结论：与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 ①与x轴平行的直线上的点： ；②与y轴平行的直线上的点： 。 题型一.坐标系内（上）的点的坐标特征 1．平面直角坐标系中，下列坐标对应的点在第一象限的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点位于第 象限． 题型二. 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 3．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴、轴的距离相等． 题型三. 坐标的平移问题 4．若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 6．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． ·拓展提升 7.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 8.如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 平面直角坐标系第2课时 导学案 （1）能准确说出坐标轴上点的坐标特征、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，会应用点的坐标特征解决问题； （2）能根据点的坐标特征进行相关代数推理运算和几何推理。 新知探究（一） 探究坐标轴上点的坐标特征（自学） 例2.在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接。 ①D(-3, 5)，E(-7, 3)，C(1,3)，D(-3, 5)；②F(-6, 3)，G(-6, 0), A(0, 0), B(0, 3)。 观察所得的图形，它像什么？（房子） 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上?它们的坐标有什么特点? 答：线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都是0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上,它们的横坐标都是0。 (2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的纵坐标有什么关系?线段EC上其他点的坐标呢? 答：线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同;线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3。 (3)点F和点G的横坐标有什么关系？线段FG与y轴有怎样的位置关系? 答：点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行。 思考·交流：在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有什么特点?与同伴进行交流。 总结：在x轴上的点，纵坐标为0；在y轴上的点，横坐标为0；原点坐标为(0,0)。 新知探究（二） 探究各象限内点的坐标特征（讨论与思考） 尝试·思考：图3-12中有个“笑脸”。 （1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点。 答：第一象限里的点的坐标的横、纵坐标都是正的。 （2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 预设：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。 （3）不描出点，分别判断A(1, 2)，B(-1, -3)，C(2, -1)，D(-3,4)所在的象限。 (2, 3) (1, 1) (5, 2) 答：A(1, 2)第一象限，B(-1, -3)第三象限，C(2, -1)第四象限，D(-3,4)第二象限。 新知探究（三） 探究与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 P62.随堂练习：在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接。 ①(2, 5), (0, 3), (4, 3), (2, 5)； ②(1, 3).(-2,0).(6, 0), (3, 3)； ③(1, 0),(1,-6).(3，-6),(3, 0)。 (1)观察所得的图形，你觉得它像什么? 答：一棵树 (2)图形中哪些点在坐标轴上? 答：坐标轴上的点: (0, 3),(-2,0), (1, 0), (3, 0), (6,0)。其中(-2, 0), (1, 0), (3, 0), (6, 0)在x轴,(0, 3)在y轴。 (3)上面①②③中这些点分别位于哪个象限?你是如何判断的? 第①组除第二个点外都在第一象限， 他们的横纵坐标都为正，第②组的第一个点和第四个点在第一象限，他们的横纵坐标都为正，第③组的第二个点和第三个点在第四象限，他们的横坐标为正，纵坐标为负。 (4)围形中一些点之间具有特殊的位置关系，找出几组，它们的坐标有何特点？说说你的发现。 预设： (0, 3)、(3, 3)两点都在平行于x轴的直线上；(1,0)、(1,-6)两点都在平行于y轴的直线上。 归纳结论：与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 ①与x轴平行：纵坐标相等；②与y轴平行：横坐标相等。 题型一.坐标系内（上）的点的坐标特征 1．平面直角坐标系中，下列坐标对应的点在第一象限的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：、在第四象限，故本选项不符合题意； 、，在第三象限，故本选项不符合题意； 、，在第二象限，故本选项不符合题意； 、，在第一象限，故本选项符合题意， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，点位于第 象限． 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据不同象限内点的坐标的特征，得到点所在的象限，熟练掌握各象限内点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即可得到点P的横坐标恒为正数，纵坐标为负数， ∴该点在第四象限， 故答案为：四． （设计意图：应用勾股定理解直角三角形.） （教学建议：提醒学生，若给出直角三角形可直接在直角三角形中应用定理，若题干中没有直角三角形，可以通过辅助线构造直角三角形） 题型二. 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 3．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴、轴的距离相等． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，主要利用了y轴上的点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解； （2）根据平行于y轴的点的横坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解． （3）根据点到坐标轴的距离相等列式计算即可得解． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得． ． 点的坐标为； （2）解：轴， 点，的横坐标相同． ，解得． ． 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ． 或， 解得或． 当时，，， 点的坐标为； 当时，，， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 题型三. 坐标的平移问题 4．若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 【分析】本题考查坐标系中点的平移规律，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．利用点平移的坐标变化规律横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，分两种情形分别求解． 【详解】解：分以下两种情况： ①若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向下平移个单位， 点坐标平移后变为； ②若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向上平移个单位， 点坐标平移后变为． 综上所述：另一个点的坐标为或． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． ·拓展提升 7.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 【分析】（3）设线段的中点坐标为，根据，求出，即可得线段的中点坐标． 【详解】（1）解：如图，线段和即为所求； （2）解：观察图像可得： 的中点坐标为， 的中点坐标为， 的中点坐标为． （3）解：若点和，设线段的中点坐标为， 设，， 则， 解得， ， 解得， ∴线段的中点坐标为． 8.如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】分析每一象限点的坐标与下标的关系，据此判断在第几象限并求出其坐标即可．本题主要考查了点的变化规律，找到规律是解题关键． 【详解】每一象限的点的特点： 第一象限 ；； ；； 第二象限 ；；； 第三象限 ；；； 第四象限 ；；； ，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是． 故选：B． 1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，∴， ∵的面积为，∴，∴，∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环， ∵， 点与，，等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $