专题02 分数（必备知识+15题型+分层检测）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版

专题02 分数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数的意义 能准确区分“分数”和“分率” “平均谁”是考查核心，根据不同场景，灵活运用单位“1”÷份数”或者总量÷份数. 分数的基本性质 能利用分数的基本性质解决问题. 基本性质考题一般出现在填空和选择，易错处在求倍数变化规律和括号填数，题中出现加减关系切记要转化成乘除关系. 分数的运算 能准确计算不出错 重点必考，基本以计算大题定向考查为主，要掌握简便计算的常的方法. 分数的应用 能判别常见类型，并写出对应等量关系. 分数除法的应用是考试核心，关键在于找到“是”“比”“占”，一般后者是对应单位“1”，单位“1”已知一般用乘法，未知一般用方程或者除法。 知识点01 分数与除法 1.分数与正整数除法的关系 （1）定义 两个正整数，相除，可以用分数表示，即（其中为分子，为分母）。 （补充：被除数除数） 2. 分数的读法 读作“分之”。 特别地，当时，（可把正整数看成是特殊的分数）。 2.用数轴上的点表示分数 （1）步骤： 先在数轴上将“所有整数之间的单位长度”根据分数的分母值等分，再根据分子值从“0之后的第一个分点”开始，从左往右找到对应的点。 （2）规律 当分子小于分母时，对应点在的范围内； 当分子大于分母时，对应点在的右侧； 当分子等于分母时，对应点就是。 知识点02 分数的基本性质 1. 分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，即： （，，）。 同乘、同除的数不能为0. 知识点03 约分，将分数化为最简分数 1. 最简分数：分子和分母互素的分数（如、、等）。 2. 约分：把分数的分子与分母的公因数约去的过程。 3. 约分方法： 用公因数分步约分； 用最大公因数一次约分。 把化成最简分数。 解法一（分步约分，先分解素因数）： ； 或逐步约分：。 解法二（最大公因数一次约分）： （分子、分母直接除以最大公因数）。 （小提示：约分时，先找分子、分母的最大公因数，一次约分更简便；约分是“缩小分子、分母的倍数”，不是扩大。） 知识点04 求一个数是另一个数的几分之几 “求一个数是另一个数的几分之几”用除法运算，即“一个数”÷“另一个数”。 （拓展：常把“一个数”称“比较量”，“另一个数”称“标准量”，“标准量”为参照标准。） 用最简分数表示： (1) 36分钟等于多少小时？ (2) 六(1)班共50名同学，男同学30名，男同学占全班人数的几分之几？ 分析：(1) 1小时=60分钟，用转化单位；(2) 用男生人数÷班级人数。 解：(1) 因1小时=60分钟，故（小时），即36分钟等于小时。 (2) ，故男同学占全班人数的。 知识点04 分数的大小比较 1.通分 （1）概念：将异分母分数化成与原分数相等的同分母分数的过程叫通分。 （2）依据：分数的基本性质（通分后分数值不变）。 （3）方法：先求分母的最小公倍数，以此为公分母，分子扩大相应倍数。 通分下列各组数： (1)和；(2)和；(3)，和。 分析：（1）因为 5 和 7 互质，所以最小公倍数是 ； （2）因为 12 是 4 的倍数，所以最小公倍数是 12 ； （3）因为 ，所以 10,15 ， 20 的最小公倍数为 ． 解：（1） ． (2)，； (3)，，。 2.分数的大小比较 (1) 同分母：分子大的分数大； (2) 同分子：分母大的分数小； (3) 异分母：先通分化同分母（或同分子），再按上述规则比较。 比较分数大小： (1)和；(2)，和；(3)，和。 解：(1) 因，故； (2) 因，故； (3) 通分后，，，故。 知识点05 分数的运算 1.异分母分数的加减法 法则：异分母分数相加减，先通分，再按同分母分数加减法法则计算。 2.真分数、假分数和带分数 真分数：分子比分母小，且小于1； 假分数：分子大于或等于分母，且大于或等于1； 带分数：正整数与真分数相加的数，是假分数的另一种形式，可互化。 3.假分数与带分数的互化 （1）假分数化带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分数部分的分子，分母不变。 （2）带分数化假分数：分母不变，分子=整数部分×分母 + 原分数部分分子。 4.带分数的加减运算 方法一：整数部分、真分数部分分别相加减后合并； 方法二：化为假分数，通分后加减。 计算： (1)；(2)；(3)；(4)。 解法一： (1) ； (2) （不可写）； (3) ； (4) （被减数真分数部分小，整数部分退“1”）。 解法二： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 5.分数的乘法 （1）分数乘法的意义 一般地，由于分数的意义是将一个总体等分为份而取其中份，于是两个分数相乘的意义规定为：在分数的基础上，以为总体，“再”等分为份而取其中份，结果为。 （2）两个分数相乘 法则：两个分数相乘，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，即（，）。 意义：分数乘分数是求一个数的几分之几是多少（如是求的是多少）。 计算： (1) ；(2) 。 解法一： (1) ； (2) （带分数先化假分数）。 解法二： (1) （先约分再乘）； (2) （带分数化假分数后，约分相乘）。 （3）整数与分数相乘 法则：整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变；若为带分数，先化假分数再与整数相乘。 意义： ①整数乘分数：求整数的几分之几是多少（如是求3的是多少）。 ②分数乘整数：求几个相同加数和的简便运算（如表示）。 计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 解： (1) （分母与整数先约分）； (2) ； (3) ； (4) 。 （4）求一个数的几分之几 意义：求一个数的几分之几与求一个数的几倍类似，用乘法；关键是明确“谁的几分之几”（即单位“1”）。 方法：求一个数的几分之几，用乘法计算。 6.分数的除法 （1）倒数 定义：1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。 形式：（）的倒数是；（，）的倒数是。特殊情况：0没有倒数（因0不能作除数）；互为倒数的两个数乘积为1。 注意：“互为倒数”是两个数的关系，不能单独说某数是倒数；三个及以上数乘积为1，不构成互为倒数关系。 补充：1的倒数是1；0无倒数（分母不能为0，且0乘任何数≠1）。 （2）分数的除法 意义：与整数除法一致，已知积和一个因数，求另一个因数的运算。 法则：分数相除，等于被除数乘除数的倒数，即（）。 计算： (1) ； (2) 。 （3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数 方法：设这个数为，列方程求解；或直接用“已知量÷对应分率”计算。: 一个数的是，求这个数。 解法一（方程法）：设数为，则，解得； 解法二（除法法）：。 7.分数与小数的互化 （1）分数化成小数 转化方法：任何分数可通过分子除以分母化成小数或整数；分母是10、100、1000…的分数，可直接去掉分母，根据分母中“后零的个数”，在分子从末位起左数对应位数点小数点。 有限小数判定：最简分数的分母不含和以外的素因数，能化成有限小数；若含，则不能（如分母，最简分数可化；分母，最简分数不可化）。 分数化小数（不能化有限小数保留三位小数）： (1) ； (2) （或）； (3) ； (4) 。 （2）小数化成分数 小数分类： 有限小数：小数位数有限； 无限小数：小数位数无限（含循环小数、无限不循环小数）。 转化方法：小数直接写成分母为10、100、1000…的分数（几位小数，分母“”后写几个零），去掉小数点作分子，能约分的约成最简分数。 小数化分数： (1) ； (2) ； (3) 。 （3）分数与小数的大小比较 比较方法：先将数统一形式（同分母分数、同分子分数、小数），再比较。 8.分数、小数的四则混合运算 （1）分数和小数的混合运算 类型1：不含括号的混合运算 运算顺序：同级运算从左到右依次进行；不同级运算先乘除、后加减（与整数运算顺序一致）。 计算： (1) ： 将化为小数0.8，则。 (2) ： 将小数化分数，，，通分后计算：。 计算： (1) ： 除法转乘法（），再用乘法结合律简化：。 (2) ： 拆分并结合：，，，则。 (3) ： 带分数化假分数，除法转乘法：。 (4) ： 除法转乘法并约分：。 计算： (1) ： 先算除法（），再算加法：。 (2) ： 带分数化假分数，先乘除后加减：。 类型2：含有括号的混合运算 运算顺序：先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外。: 计算： (1) ： 小数化分数（），先算小括号内除法（），再算减法（），最后算括号外除法（）。 (2) ： 小数化分数（），先算小括号内加法（），再算中括号内乘法（），最后算括号外除法（）。 （2）运算律在四则混合运算中的应用 运算律 交换律：；。 结合律：；。 分配律：。 分数与小数互化：能化有限小数则化小数（简便）；不能则化分数。 优先考虑运算顺序与运算律，灵活简化计算（如“凑整”“分配律简化分母”等）。 计算： (1) ： 小数化分数（，），逆用分配律：。 (2) ： 方法一（商不变规律）：被除数和除数同除以2019，得； 方法二（带分数化假分数）：。 (3) ： 除法转乘法，用分配律：。 (4) ： 提取2.2，用分配律：。 知识点06 分数的应用 1.常见一般数量关系： 路程问题：； 买卖问题：。 2.两个数的倍数（或几分之几）关系 （1）已知整体数量及部分数量占比，求部分数量 一根铁丝长80米，用去全长的，求剩余长度。 分析：把“全长”看作单位“1”，剩余占全长的，根据“求一个数的几分之几用乘法”计算。 解：（米）。 答：还剩下32米。 （2）已知一个数的几分之几，求这个数 方程法：设单位“1”为，根据数量关系列方程； 算术法：（1）找出单位＂ 1 ＂；（2）找已知量和已知量占单位＂ 1 ＂的几分之几；（3）列出除法算式，即已知量 已知量占单位＂ 1 ＂的几分之凡＝单位＂ 1 ＂的量． ． 一袋大米，第一周用去，第二周用去，剩余7千克，求大米总质量。 解法一（方程法）： 设大米总质量为千克，剩余占比：，列方程： ，解得。 解法二（算术法）： 剩余量÷剩余占比：（千克）。 答：这袋大米共有20千克。 题型一、分数的平均分 例1.（24-25六年级上·上海长宁·期中）一本书共有页，小丽天看完．下列说法正确的是（   ） A．小丽平均每天看页 B．小丽平均每天看页 C．小丽平均每天看这本书的 D．小丽平均每天看这本书的 【变式1-1】两根同样长的铁丝，一根用去了，另一根用去了米，剩下的铁丝相比，（      ） A．第一根长； B．第二根长； C．一样长； D．无法比较哪根长． 【变式1-2】一段公路10千米，8天修完，平均每天修 千米， 每天修这段公路的 ． 题型二、求一个数是另一个数的几分之几问题 例2.（24-25六年级上·上海闵行·期中）六（1）班女生人数是男生人数的，那么男生人数是全班人数的（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】一段电线，用去5米，还剩3米，用去的是这段电线的（      ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）为了向消费者提供食品的营养信息，帮助他们做出更健康的食品选择，规定食品包装上必须标注营养成分表．现有一包意式番茄肉酱面，表示的是每克意面所含的能量和营养． (1)求这份意面的蛋白质含量占该意面重量的几分之几？（结果化为最简分数） (2)如果每克番茄肉酱所含的能量是每克意面所含能量的，那么一份克番茄肉酱的能量是多少千焦？ 题型三、求一个数的几分之几问题 例3.鹅的孵化期30天，鸭的孵化期是鹅的，鸡的孵化期是鸭的，则鸡的孵化期是（      ）天 A．21 B．24 C．26 D．28 【变式3-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）一根电缆长200米，如果用去了它的，那么还剩下 米． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一袋橘子千克，小明吃了这袋橘子的，他吃了 千克． 【变式3-3】一堆煤有15吨，先运走它的，再运走余下的，还剩下( )吨． 题型四、已知一个数，求比一个数多（少）几分之几的数 例4.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知某商品原价420元，现在比原来涨价了，那么现价 元. 【变式4-1】据资料显示，人的心脏跳动的次数随着年龄而变化．青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多．婴儿每分钟心跳约 次． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）将边长为10米的正方形的长增加，宽减少，所得长方形的面积为多少？ 题型五、比一个数多（少）几分之几 例5.（23-24六年级上·上海青浦·期中）学校养白鸽40只，比灰鸽少5只，问灰鸽的只数比白鸽的只数多 （填“几分之几”）． 【变式5-1】中国正引领全球“高铁”新时代，2012年“京沪高铁”开通后，从北京到上海将只需5小时，比之前从北京到上海的特快列车少用9小时，问“京沪高铁”开通后，从北京到上海所用的时间比开通前所用的时间节约了 （填几分之几）． 题型六、看图列式 例6.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，将一个面积为的长方形进行分割，先沿着长方形的一边将其平均分成个小长方形，取其中个小长方形画上阴影；再沿着另一边将其平均分成个小长方形，取其中个小长方形涂上阴影，此时如果想要求图中双阴影部分的小长方形面积占原来长方形面积的几分之几，可以列式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，两条线段把长方形分成了大、中、小三个三角形，小三角形的面积是大三角形面积，中三角形的面积是长方形面积的( )． 【变式6-2】如图，把一个长方形平均分成上、下两部分，上半部分再平均分成4块，下半部分平均分成5块，若图形A、B、C的面积和为2，则阴影部分的面积是 ． 【变式6-3】如图，长方形被分成4部分，A部分面积是部分面积的，部分面积是部分面积的2倍，则部分面积是部分面积的 ．（填几分之几） 题型七、带分数的运算 例7.（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式7-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 题型八、分数与小数的运算 例8.（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式8-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【变式8-4】（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）计算： 题型九、分数简便计算 例9.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【变式9-1】计算：． 【变式9-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：． 题型十、分数列式计算 例10.（24-25六年级上·上海松江·期中）一个数加上2，再减去等于，求这个数． 【变式10-1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一个数加上的和，再减去等于，求这个数． 【变式10-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）已知一个数的是的，求这个数． 题型十一、分数的基本性质 例11.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）在分数、、、、中，与相等的分数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期中）一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母扩大为原来的3倍，那么，新分数是原来分数的（    ） A．1倍 B．6倍 C． D． 【变式11-2】（24-25六年级上·上海·期中）一个分数，如果分子扩大到原来的4倍，分母扩大到原来2倍，那么这个数的大小（   ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来2的倍 C．缩小到原来的 D．不变 【变式11-3】（24-25六年级上·上海崇明·期中）在括号内填入适当的整数：，括号内应依次填入：( )、( )． 【变式11-4】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子和分母相差3，如果分子和分母同时加上13后，可约分为，原分数为 ． 【变式11-5】（24-25六年级上·上海·期中）若，且是最简分数，则 ．（写出所有符合条件的数） 【变式11-6】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如果，那么 ． 题型十二、统计图与分数乘除法 例12.（24-25六年级上·上海虹口·期中）某校为了解学生国庆期间参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭等．学校根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图．如果只参加1项家务劳动的学生人数是参与调查的学生人数的，那么请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次参与调查的学生人数是多少？ (2)参加家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数是只参加2项的学生人数的几分之几？ 【变式12-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某学校针对六年级学生每周常用手机软件使用时间的调查问卷结果如下图所示： (1)微信每周使用时间占四种软件每周使用时间总和的几分之几？ (2)抖音每周使用时间比腾讯的每周使用时间多几分之几？ (3)如果把微信和腾讯都归类为社交软件，社交软件使用时间占手机使用总时长的，学校建议六年级学生使用手机的总时长的最大值为每周小时，请问这个学校的学生平均手机使用总时长超过了学校建议的最大值的几分之几？ 【变式12-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）每四年举办一届的奥运会是全球最具盛名的综合性运动会，由国际奥林匹克委员会主办，2024年夏季奥运会在法国巴黎举行．该届奥运会的金牌数及部分国家的金牌数如下图所示： (1)中国的金牌数占该届奥运会金牌数的几分之几？ (2)已知澳大利亚的金牌数是中国金牌数的，那么澳大利亚获得多少枚金牌？ (3)已知意大利获得的奖牌中，铜牌数是该国奖牌总数的，金牌数是铜牌数的，银牌13枚，那么意大利获得的奖牌总数是多少？ 题型十三、分数的除法应用 例13.（23-24六年级上·上海青浦·期中）六年级的三个班学生帮助图书馆修补图书，一班修补了54本，是二班修补的本数的，二班修补的本数比三班少，三个班级一共修补了（    ）本图书． A．45 B．120 C．145 D．159 【变式13-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）小李去商店买东西花了80元，占了所带钱的，快到家时发现忘记买笔记本了，于是返回用剩余钱的买了笔记本，则这本笔记本的价格为 元． 【变式13-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）停车场上有小轿车45辆，占场地停车总数的，大客车占停车总数的，求停车场停大客车多少辆？ 【变式13-3】一桶油第一次用去它的，第二次用去了剩下的，此时还剩下25千克，则这桶油原来有 千克． 【变式13-4】（24-25六年级上·上海长宁·期中）某校六年级学生开展了古诗文大赛，设有三等奖、二等奖、一等奖和特等奖．其中获得特等奖的人数占获奖人数的，获得一等奖的人数占获奖人数的，获得二等奖的人数占获奖人数的，请问获得三等奖的人数占获奖人数的几分之几？若获得二等奖有100人，请问获奖人数共多少人？ 【变式13-5】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）小明用三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，问： (1)第三天小明看了全书的几分之几？ (2)如果小明第三天看了36页，那么这本书共有多少页？ 【变式13-6】（23-24六年级上·上海闵行·期中）六年级学生参加探究性课题的研究，每人只能参加一组，其中全年级的参加了课题组1，全年级的参加了课题组2，剩下的55人参加了课题组3．求： (1)该六年级总共有多少人？ (2)参加课题组3的人数是参加课题组1的几分之几？ 【变式13-7】为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类体育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的，购买的排球数量是篮球数量的，其余是足球． (1)如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？ (2)如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之几改去购买足球？ 题型十四、规律探究问题 例14.“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为 ． 【变式14-1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【变式14-2】[裂项相消法]（23-24六年级上·上海静安·期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 题型十五、工程问题 例15.（23-24六年级上·上海青浦·期中）某工程队修筑一条公路．第一周修了这段公路的，第二周修筑了这段公路的，第二周比第一周多修了2千米．这段公路全长多少千米？ 【变式15-1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 【变式15-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）一个水池安装了甲、乙两根进水管，为了灌满空着的水池，先单开甲管，4小时能把水池灌入一半的水，然后关闭甲管，打开乙管，3小时后可以把水池装满．如果甲、乙水管同时打开，几小时可以把空着的水池灌满？ 【变式15-3】（23-24六年级上·上海青浦·期中）有一个水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管放水．池空时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管10分钟可注满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完．如果在池空时将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，问：还需要多少分钟才能将水池注满水？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24六年级上·上海青浦·期中）一本书共60页，小李看了，则他看了 页． 2．（23-24六年级上·上海青浦·期中）某数的倍是180的，这个数是什么？ 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）小智用20分钟走了1千米路，平均每分钟走多少米？平均每分钟走了全程的几分之几？最后7分钟走了全程的几分之几？ 4．水果店运来一批水果，其中香蕉400千克，橘子的质量是香蕉的，苹果的质量是橘子的．水果店运来苹果多少千克？ 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）乐乐爸爸记录了国庆旅游期间家庭在饮食、住宿、门票、交通和购物五个方面的消费情况．其中饮食840元，住宿1260元，交通700元，且饮食占消费总额的，门票占消费总额的．请根据所给的数据，回答下列问题： (1)乐乐家这次旅游消费总额是多少元？ (2)购物占消费总额的几分之几？ 6． （24-25六年级上·上海浦东新·期中）在即将到来的校运会上，小海积极报名参加志愿者活动，志愿者其中一项工作就是巡逻，确保跑道不被非运动员占用，保证比赛的安全.小海用小时走完了千米，照此速度，他一刻钟可以巡逻多少千米？他在一刻钟里巡逻的路程占400米跑道的几分之几？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．[比大小]（24-25六年级上·上海长宁·期中）若，则正数A、B、C的大小关系是 （请用“”连接）． 2．[流程图]（23-24六年级上·上海青浦·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程． (1)输入分数． (2)输入分数． 3．[整除与分数综合]（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知是素数，其中，则 ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在一节数学课上，老师安排学生分组讨论用了0.1小时，老师讲解用了小时，老师总结用了0.1小时，其余时间学生独立完成课堂练习．已知每节课是40分钟，在这节课上学生独立完成课堂练习用了多少小时？ 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）用一根长米的竹竿垂直插入池塘，去测量一个池塘的水深，如果竹竿的长度插入淤泥中，露出水面米，那么池塘水深多少米？ 6．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数的意义 能准确区分“分数”和“分率” “平均谁”是考查核心，根据不同场景，灵活运用单位“1”÷份数”或者总量÷份数. 分数的基本性质 能利用分数的基本性质解决问题. 基本性质考题一般出现在填空和选择，易错处在求倍数变化规律和括号填数，题中出现加减关系切记要转化成乘除关系. 分数的运算 能准确计算不出错 重点必考，基本以计算大题定向考查为主，要掌握简便计算的常的方法. 分数的应用 能判别常见类型，并写出对应等量关系. 分数除法的应用是考试核心，关键在于找到“是”“比”“占”，一般后者是对应单位“1”，单位“1”已知一般用乘法，未知一般用方程或者除法。 知识点01 分数与除法 1.分数与正整数除法的关系 （1）定义 两个正整数，相除，可以用分数表示，即（其中为分子，为分母）。 （补充：被除数除数） 2. 分数的读法 读作“分之”。 特别地，当时，（可把正整数看成是特殊的分数）。 2.用数轴上的点表示分数 （1）步骤： 先在数轴上将“所有整数之间的单位长度”根据分数的分母值等分，再根据分子值从“0之后的第一个分点”开始，从左往右找到对应的点。 （2）规律 当分子小于分母时，对应点在的范围内； 当分子大于分母时，对应点在的右侧； 当分子等于分母时，对应点就是。 知识点02 分数的基本性质 1. 分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，即： （，，）。 同乘、同除的数不能为0. 知识点03 约分，将分数化为最简分数 1. 最简分数：分子和分母互素的分数（如、、等）。 2. 约分：把分数的分子与分母的公因数约去的过程。 3. 约分方法： 用公因数分步约分； 用最大公因数一次约分。 把化成最简分数。 解法一（分步约分，先分解素因数）： ； 或逐步约分：。 解法二（最大公因数一次约分）： （分子、分母直接除以最大公因数）。 （小提示：约分时，先找分子、分母的最大公因数，一次约分更简便；约分是“缩小分子、分母的倍数”，不是扩大。） 知识点04 求一个数是另一个数的几分之几 “求一个数是另一个数的几分之几”用除法运算，即“一个数”÷“另一个数”。 （拓展：常把“一个数”称“比较量”，“另一个数”称“标准量”，“标准量”为参照标准。） 用最简分数表示： (1) 36分钟等于多少小时？ (2) 六(1)班共50名同学，男同学30名，男同学占全班人数的几分之几？ 分析：(1) 1小时=60分钟，用转化单位；(2) 用男生人数÷班级人数。 解：(1) 因1小时=60分钟，故（小时），即36分钟等于小时。 (2) ，故男同学占全班人数的。 知识点04 分数的大小比较 1.通分 （1）概念：将异分母分数化成与原分数相等的同分母分数的过程叫通分。 （2）依据：分数的基本性质（通分后分数值不变）。 （3）方法：先求分母的最小公倍数，以此为公分母，分子扩大相应倍数。 通分下列各组数： (1)和；(2)和；(3)，和。 分析：（1）因为 5 和 7 互质，所以最小公倍数是 ； （2）因为 12 是 4 的倍数，所以最小公倍数是 12 ； （3）因为 ，所以 10,15 ， 20 的最小公倍数为 ． 解：（1） ． (2)，； (3)，，。 2.分数的大小比较 (1) 同分母：分子大的分数大； (2) 同分子：分母大的分数小； (3) 异分母：先通分化同分母（或同分子），再按上述规则比较。 比较分数大小： (1)和；(2)，和；(3)，和。 解：(1) 因，故； (2) 因，故； (3) 通分后，，，故。 知识点05 分数的运算 1.异分母分数的加减法 法则：异分母分数相加减，先通分，再按同分母分数加减法法则计算。 2.真分数、假分数和带分数 真分数：分子比分母小，且小于1； 假分数：分子大于或等于分母，且大于或等于1； 带分数：正整数与真分数相加的数，是假分数的另一种形式，可互化。 3.假分数与带分数的互化 （1）假分数化带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分数部分的分子，分母不变。 （2）带分数化假分数：分母不变，分子=整数部分×分母 + 原分数部分分子。 4.带分数的加减运算 方法一：整数部分、真分数部分分别相加减后合并； 方法二：化为假分数，通分后加减。 计算： (1)；(2)；(3)；(4)。 解法一： (1) ； (2) （不可写）； (3) ； (4) （被减数真分数部分小，整数部分退“1”）。 解法二： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 5.分数的乘法 （1）分数乘法的意义 一般地，由于分数的意义是将一个总体等分为份而取其中份，于是两个分数相乘的意义规定为：在分数的基础上，以为总体，“再”等分为份而取其中份，结果为。 （2）两个分数相乘 法则：两个分数相乘，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，即（，）。 意义：分数乘分数是求一个数的几分之几是多少（如是求的是多少）。 计算： (1) ；(2) 。 解法一： (1) ； (2) （带分数先化假分数）。 解法二： (1) （先约分再乘）； (2) （带分数化假分数后，约分相乘）。 （3）整数与分数相乘 法则：整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变；若为带分数，先化假分数再与整数相乘。 意义： ①整数乘分数：求整数的几分之几是多少（如是求3的是多少）。 ②分数乘整数：求几个相同加数和的简便运算（如表示）。 计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 解： (1) （分母与整数先约分）； (2) ； (3) ； (4) 。 （4）求一个数的几分之几 意义：求一个数的几分之几与求一个数的几倍类似，用乘法；关键是明确“谁的几分之几”（即单位“1”）。 方法：求一个数的几分之几，用乘法计算。 6.分数的除法 （1）倒数 定义：1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。 形式：（）的倒数是；（，）的倒数是。特殊情况：0没有倒数（因0不能作除数）；互为倒数的两个数乘积为1。 注意：“互为倒数”是两个数的关系，不能单独说某数是倒数；三个及以上数乘积为1，不构成互为倒数关系。 补充：1的倒数是1；0无倒数（分母不能为0，且0乘任何数≠1）。 （2）分数的除法 意义：与整数除法一致，已知积和一个因数，求另一个因数的运算。 法则：分数相除，等于被除数乘除数的倒数，即（）。 计算： (1) ； (2) 。 （3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数 方法：设这个数为，列方程求解；或直接用“已知量÷对应分率”计算。: 一个数的是，求这个数。 解法一（方程法）：设数为，则，解得； 解法二（除法法）：。 7.分数与小数的互化 （1）分数化成小数 转化方法：任何分数可通过分子除以分母化成小数或整数；分母是10、100、1000…的分数，可直接去掉分母，根据分母中“后零的个数”，在分子从末位起左数对应位数点小数点。 有限小数判定：最简分数的分母不含和以外的素因数，能化成有限小数；若含，则不能（如分母，最简分数可化；分母，最简分数不可化）。 分数化小数（不能化有限小数保留三位小数）： (1) ； (2) （或）； (3) ； (4) 。 （2）小数化成分数 小数分类： 有限小数：小数位数有限； 无限小数：小数位数无限（含循环小数、无限不循环小数）。 转化方法：小数直接写成分母为10、100、1000…的分数（几位小数，分母“”后写几个零），去掉小数点作分子，能约分的约成最简分数。 小数化分数： (1) ； (2) ； (3) 。 （3）分数与小数的大小比较 比较方法：先将数统一形式（同分母分数、同分子分数、小数），再比较。 8.分数、小数的四则混合运算 （1）分数和小数的混合运算 类型1：不含括号的混合运算 运算顺序：同级运算从左到右依次进行；不同级运算先乘除、后加减（与整数运算顺序一致）。 计算： (1) ： 将化为小数0.8，则。 (2) ： 将小数化分数，，，通分后计算：。 计算： (1) ： 除法转乘法（），再用乘法结合律简化：。 (2) ： 拆分并结合：，，，则。 (3) ： 带分数化假分数，除法转乘法：。 (4) ： 除法转乘法并约分：。 计算： (1) ： 先算除法（），再算加法：。 (2) ： 带分数化假分数，先乘除后加减：。 类型2：含有括号的混合运算 运算顺序：先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外。: 计算： (1) ： 小数化分数（），先算小括号内除法（），再算减法（），最后算括号外除法（）。 (2) ： 小数化分数（），先算小括号内加法（），再算中括号内乘法（），最后算括号外除法（）。 （2）运算律在四则混合运算中的应用 运算律 交换律：；。 结合律：；。 分配律：。 分数与小数互化：能化有限小数则化小数（简便）；不能则化分数。 优先考虑运算顺序与运算律，灵活简化计算（如“凑整”“分配律简化分母”等）。 计算： (1) ： 小数化分数（，），逆用分配律：。 (2) ： 方法一（商不变规律）：被除数和除数同除以2019，得； 方法二（带分数化假分数）：。 (3) ： 除法转乘法，用分配律：。 (4) ： 提取2.2，用分配律：。 知识点06 分数的应用 1.常见一般数量关系： 路程问题：； 买卖问题：。 2.两个数的倍数（或几分之几）关系 （1）已知整体数量及部分数量占比，求部分数量 一根铁丝长80米，用去全长的，求剩余长度。 分析：把“全长”看作单位“1”，剩余占全长的，根据“求一个数的几分之几用乘法”计算。 解：（米）。 答：还剩下32米。 （2）已知一个数的几分之几，求这个数 方程法：设单位“1”为，根据数量关系列方程； 算术法：（1）找出单位＂ 1 ＂；（2）找已知量和已知量占单位＂ 1 ＂的几分之几；（3）列出除法算式，即已知量 已知量占单位＂ 1 ＂的几分之凡＝单位＂ 1 ＂的量． ． 一袋大米，第一周用去，第二周用去，剩余7千克，求大米总质量。 解法一（方程法）： 设大米总质量为千克，剩余占比：，列方程： ，解得。 解法二（算术法）： 剩余量÷剩余占比：（千克）。 答：这袋大米共有20千克。 题型一、分数的平均分 例1.（24-25六年级上·上海长宁·期中）一本书共有页，小丽天看完．下列说法正确的是（   ） A．小丽平均每天看页 B．小丽平均每天看页 C．小丽平均每天看这本书的 D．小丽平均每天看这本书的 【答案】A 【分析】本题考查了分数的意义，用除以，得到平均每天看几页，把总页数看作“”，因为天看完，相当于平均分成份，每份是总页数的． 【详解】解：一本书共有页，小丽天看完， 小丽平均每天看页，平均每天看这本书的， 故A正确，B、C、D错误， 故选：A． 【变式1-1】两根同样长的铁丝，一根用去了，另一根用去了米，剩下的铁丝相比，（      ） A．第一根长； B．第二根长； C．一样长； D．无法比较哪根长． 【答案】D 【分析】可以分三种情况考虑：（1）总长小于1米时；（2）总长等于1米时；（3）大于1米时． 【详解】解：分三种情况： （1）总长小于1米时，假设全长为米，则第一根剩：（米），第二根剩的：（米），，第一根剩的长； （2）总长等于1米时，第一根剩的长度为： （米）；第二根剩的是：（米），两根一样长； （3）总长大于1米时，假设为3米时，第一根剩的长度为：（米）；第二根剩的：（米），，第二根剩的长． 所以无法比较． 故选：D． 【点睛】本题考查了分数的实际应用，解决实际问题时要分情况考虑，最后综合下结论． 【变式1-2】一段公路10千米，8天修完，平均每天修 千米， 每天修这段公路的 ． 【答案】 【分析】用总长度除以修的天数，就是平均每天修多少千米； 把总长度看成单位“1”，8天修完，那么每天就修总长度的． 【详解】解：（千米）； ； 答：平均每天修千米，每天修这段公路的． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了有理数除法，注意区分每天修的长度，与每天修的长度是总长度的几分之几之间的区别：前者是一个具体的数量，用除法的意义求解；后者是一个分率，根据分数的意义求解． 题型二、求一个数是另一个数的几分之几问题 例2.（24-25六年级上·上海闵行·期中）六（1）班女生人数是男生人数的，那么男生人数是全班人数的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分数的意义，根据女生人数是男生人数的求出男女生的比，即可求解． 【详解】根据题意可知，六（1）班女生与男生人数的比为， 所以男生占全班人数的. 故选：D． 【变式2-1】一段电线，用去5米，还剩3米，用去的是这段电线的（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列式求解即可． 【详解】解：∵一段电线，用去5米，还剩3米， ∴这段电线总长为米， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了分数的实际应用，解题的关键是根据题意正确列式求解． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）为了向消费者提供食品的营养信息，帮助他们做出更健康的食品选择，规定食品包装上必须标注营养成分表．现有一包意式番茄肉酱面，表示的是每克意面所含的能量和营养． (1)求这份意面的蛋白质含量占该意面重量的几分之几？（结果化为最简分数） (2)如果每克番茄肉酱所含的能量是每克意面所含能量的，那么一份克番茄肉酱的能量是多少千焦？ 【答案】(1)； (2)千焦 【分析】本题考查了分数乘法的应用，解题的关键是掌握求一个数是另一个数的几分之几用除法；求一个数的几分之几是多少用乘法． （1）求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算即可； （2）先求出每克番茄酱所含的能量，然后再乘即可得到答案． 【详解】（1）每克意面所含为克， ， 这份意面的蛋白质含量占该意面重量的． （2）每克意面所含的能量为千焦， 每克番茄肉酱所含的能量为（千焦）， 一份克番茄肉酱的能量为（千焦）， 一份克番茄肉酱的能量是千焦． 题型三、求一个数的几分之几问题 例3.鹅的孵化期30天，鸭的孵化期是鹅的，鸡的孵化期是鸭的，则鸡的孵化期是（      ）天 A．21 B．24 C．26 D．28 【答案】A 【分析】根据一个数的几分之几进行计算即可． 【详解】解：鸡的孵化期是， 故选：A． 【点睛】本题考查一个数的几分之几，根据题意正确的列出算式是解题的关键． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）一根电缆长200米，如果用去了它的，那么还剩下 米． 【答案】50 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解决本题关键是理解把全长看成单位“1”； 把这根电缆的全长看成单位“1”，截去了那么还剩下全长的，即可求解， 【详解】解：， （米）， 故答案为：50． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一袋橘子千克，小明吃了这袋橘子的，他吃了 千克． 【答案】 【分析】本题考查分数的乘法的实际应用，用橘子的总重量乘以吃去的份数即可得到答案． 【详解】解：（千克）， ∴他吃了千克． 故答案为：． 【变式3-3】一堆煤有15吨，先运走它的，再运走余下的，还剩下( )吨． 【答案】/ 【分析】该题主要考查了分数的应用，解答此题的关键是正确区分数量之间属于加减关系，还是倍比关系，进一步选择合适的算法解决问题． 把这堆煤看作单位“1”，先运走它的，则还剩下吨，再运走余下的，此时还剩，解决问题． 【详解】解： (吨． 答：还剩下吨． 故答案为：． 题型四、已知一个数，求比一个数多（少）几分之几的数 例4.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知某商品原价420元，现在比原来涨价了，那么现价 元. 【答案】490 【分析】本题考查分数混合运算的应用，理解题意是解题的关键．把原价看作单位“1”，则现价是原价的，根据分数乘法的意义，现价是元． 【详解】解：（元． 答：现价490元． 故答案为：490． 【变式4-1】据资料显示，人的心脏跳动的次数随着年龄而变化．青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多．婴儿每分钟心跳约 次． 【答案】135 【分析】用75乘以即可． 【详解】解：（次）． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了分数运算的应用，解答此题的关键是，找准单位“1”． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）将边长为10米的正方形的长增加，宽减少，所得长方形的面积为多少？ 【答案】所得长方形的面积为150平方米． 【分析】本题考查分数混合运算的应用，一边增加，变为米；另一边减少，变为米；根据草地面积长宽即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意，得所得长方形的面积为： （平方米）． 答：所得长方形的面积为150平方米． 题型五、比一个数多（少）几分之几 例5.（23-24六年级上·上海青浦·期中）学校养白鸽40只，比灰鸽少5只，问灰鸽的只数比白鸽的只数多 （填“几分之几”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】解：∵学校养白鸽40只，比灰鸽少5只， ∴灰鸽的只数比白鸽的只数多． 故答案为：． 【变式5-1】中国正引领全球“高铁”新时代，2012年“京沪高铁”开通后，从北京到上海将只需5小时，比之前从北京到上海的特快列车少用9小时，问“京沪高铁”开通后，从北京到上海所用的时间比开通前所用的时间节约了 （填几分之几）． 【答案】 【分析】求出开通前的时间，再用节约的时间除以开通前的时间算即可． 【详解】解：因为从北京到上海将只需5小时，比之前从北京到上海的特快列车少用9小时， 所以开通前所用的时间为：9+5=14（小时）， 从北京到上海所用的时间比开通前所用的时间节约了， 故答案是：． 【点睛】本题考查一个数是另一个数的几分之几，掌握计算方法是解题的关键． 题型六、看图列式 例6.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，将一个面积为的长方形进行分割，先沿着长方形的一边将其平均分成个小长方形，取其中个小长方形画上阴影；再沿着另一边将其平均分成个小长方形，取其中个小长方形涂上阴影，此时如果想要求图中双阴影部分的小长方形面积占原来长方形面积的几分之几，可以列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分割图形的比例问题，关键是对于分数意义的理解与应用．分数的意义为：将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数． 【详解】解：将一个边长为1的正方形等分，取其中的份涂上阴影，则阴影部分占这个正方形的，又把所得到的阴影部分看成一个总体，再将其等分并取其中的份，则这两份占原来阴影部分的，根据分数乘法的意义，这两份占原来正方形的． 故选D． 【变式6-1】如图，两条线段把长方形分成了大、中、小三个三角形，小三角形的面积是大三角形面积，中三角形的面积是长方形面积的( )． 【答案】 【分析】本题考查了分数除法的应用．从图上根据三角形与长方形的面积公式可以看出：大三角形的面积占长方形的，把长方形的面积看作单位“1”，则大三角形的面积是；由小三角形的面积是大三角形面积的可知，小三角形的面积为：；再用长方形的面积减去大小两个三角形的面积即可得到中三角形的面积，最后用中三角形的面积除以长方形的面积即可解决． 【详解】解：把长方形的面积看作单位“1”，则大三角形的面积是； 小三角形的面积是：； 所以中三角形的面积是：； 中三角形的面积占长方形面积的比例为：； 所以中三角形的面积是长方形面积的． 故答案为：． 【变式6-2】如图，把一个长方形平均分成上、下两部分，上半部分再平均分成4块，下半部分平均分成5块，若图形A、B、C的面积和为2，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先求出下半部分的面积，再根据上下两部分面积相等即可求解． 【详解】解：∵图形A、B、C的面积和为2 ∴图形A、B、C的每一块的面积为， ∴下半部分的面积为， ∴上半部分的面积为， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查分数的运算，理解上下部分的一份不一样是解题的关键． 【变式6-3】如图，长方形被分成4部分，A部分面积是部分面积的，部分面积是部分面积的2倍，则部分面积是部分面积的 ．（填几分之几） 【答案】 【分析】假设部分面积为单位“1”，则，，再求出，进一步可求出部分面积是部分面积的． 【详解】解：假设部分面积为单位“1”，则，， ∵，即， ∴， ∵， ∴部分面积是部分面积的， 故答案为： 【点睛】本题考查求一个数的几分之几的问题，以及一个数占另一个数的几分之几，解题的关键是理解题意，求出． 题型七、带分数的运算 例7.（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减运算，解题的关键是掌握分数的加减运算法则．先将带分数化为假分数，再通分即可求解． 【详解】解： 【变式7-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分数混合运算，先变除法为乘法，然后计算乘法，最后相加即可． 【详解】解： ． 题型八、分数与小数的运算 例8.（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数混合运算，熟练掌握分数混合运算法则是解题的关键； 根据分数混合运算法则，先算去括号，然后计算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ， ． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的混合运算，解题的关键是掌握分数的混合运算法则．先算括号，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： 【变式8-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律展开，并把除法转化为乘法，然后约分，最后进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【答案】2104 【分析】本题考查了分数的乘法，利用乘法分配律进行简便运算，熟练掌握该知识点是解题的关键．将看成是，然后利用乘法分配律进行简便运算即可得到答案． 【详解】解： 【变式8-4】（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查分数的混合运算，先算小括号，再算中括号，最后计算括号外面的． 【详解】解： 题型九、分数简便计算 例9.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将括号里的两个乘法运算根据乘法分配律化为一个乘法运算，然后先算括号里的，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ． 【变式9-1】计算：． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律合并计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分数的四则运算，解题的关键是掌握相应的化简方法，注意运算律的应用． 【变式9-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数乘法运算，先将分数变形为，然后再约分即可． 【详解】解： ． 题型十、分数列式计算 例10.（24-25六年级上·上海松江·期中）一个数加上2，再减去等于，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减法，掌握分数加减运算法则是解题的关键． 根据题意，列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意， 所求数为． 所以这个数为：． 【变式10-1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一个数加上的和，再减去等于，求这个数． 【答案】 【分析】本题主要考查分数的加减运算，熟练掌握分数的加减运算是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： ； 答：这个数是． 【变式10-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）已知一个数的是的，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查分数的乘除法运算，先把除法转化为乘法，然后约分即可解题． 【详解】解： ． 答：这个数是． 题型十一、分数的基本性质 例11.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）在分数、、、、中，与相等的分数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了通分，有理数的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用分数的基本性质和有理数的乘法将分数进行通分，再分别与作比较即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴综上，与相等的分数共有个， 故选：A． 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期中）一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母扩大为原来的3倍，那么，新分数是原来分数的（    ） A．1倍 B．6倍 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分数的基本性质，分子扩大为原来的2倍，则相当于把原分数的值扩大2倍，分母扩大为原来的3倍，则相当于把原分数的值缩小为原来的3倍，据此可得答案． 【详解】解：一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母扩大为原来的3倍，那么新分数是原来分数的， 故选：D． 【变式11-2】（24-25六年级上·上海·期中）一个分数，如果分子扩大到原来的4倍，分母扩大到原来2倍，那么这个数的大小（   ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来2的倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】B 【分析】首先设出这个分数，然后根据分子扩大4倍、分母扩大2倍，得到的新分数与原分数比较即可． 【详解】解：设原来的分数为 分子扩大4倍、分母扩大2倍后为： 所以，这个分数扩大到原来2的倍， 故选：B． 【变式11-3】（24-25六年级上·上海崇明·期中）在括号内填入适当的整数：，括号内应依次填入：( )、( )． 【答案】 27 4 【分析】本题考查分数的性质、分数与除法的关系，根据分数的性质和分数与除法的关系即可解答．掌握分数的性质和分数与除法的关系是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： 27，4． 【变式11-4】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子和分母相差3，如果分子和分母同时加上13后，可约分为，原分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数，比例的性质．设原分数的分母为，则分子为，再根据题意列方程，根据比例的性质即可求解． 【详解】解：设原分数的分母为，则分子为， 根据题意得，， 根据比例的性质可得，， 解得， ∴原分数为， 故答案为：． 【变式11-5】（24-25六年级上·上海·期中）若，且是最简分数，则 ．（写出所有符合条件的数） 【答案】或 【分析】本题考查的是分数的大小比较，最简分数的含义，由条件得到，再结合最简分数的含义可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是最简分数， ∴或； 故答案为：或 【变式11-6】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如果，那么 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了分数的性质，熟练掌握分数的性质是解决本题的关键，运用分数的性质求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：12 题型十二、统计图与分数乘除法 例12.（24-25六年级上·上海虹口·期中）某校为了解学生国庆期间参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭等．学校根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图．如果只参加1项家务劳动的学生人数是参与调查的学生人数的，那么请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次参与调查的学生人数是多少？ (2)参加家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数是只参加2项的学生人数的几分之几？ 【答案】(1)人 (2) 【分析】本题考查了条形统计图，求一个数占另一个数的几分之几； （1）根据统计图可得参加1项家务劳动的学生人数为人，根据题意列出算式，即可求解． （2）根据总人数减去其他项目的人数得到参加3项及以上的学生人数，除以只参加2项的学生人数，即可求解． 【详解】（1）统计图可得参加1项家务劳动的学生人数为人，只参加1项家务劳动的学生人数是参与调查的学生人数的， 答：本次参与调查的学生人数是人； （2）解：只参加3项的人数为：（人）， 答：参加家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数是只参加2项的学生人数的． 【变式12-1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某学校针对六年级学生每周常用手机软件使用时间的调查问卷结果如下图所示： (1)微信每周使用时间占四种软件每周使用时间总和的几分之几？ (2)抖音每周使用时间比腾讯的每周使用时间多几分之几？ (3)如果把微信和腾讯都归类为社交软件，社交软件使用时间占手机使用总时长的，学校建议六年级学生使用手机的总时长的最大值为每周小时，请问这个学校的学生平均手机使用总时长超过了学校建议的最大值的几分之几？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图，分数除法的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）先求出四种软件每周使用时间总和，再用其除以微信每周使用的时间，即可求解； （2）用抖音和腾讯的每周使用时间的差除以腾讯的每周使用时间，即可求解； （3）先求出社交软件使用时间，进而求出学校学生平均手机使用总时长，再用学生平均手机使用总时长与学校建议的时间的最大值相减，最后用得到的差除以的学校建议的时间的最大值． 【详解】（1）解：四种软件每周使用时间总和为：（分钟）， 微信每周使用时间占四种软件每周使用时间总和的； （2）， 抖音每周使用时间比腾讯的每周使用时间多； （3）社交软件使用时间为（分钟）， 学生平均手机使用总时长为（分钟）， 小时分钟， ， 这个学校的学生平均手机使用总时长超过了学校建议的最大值的． 【变式12-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）每四年举办一届的奥运会是全球最具盛名的综合性运动会，由国际奥林匹克委员会主办，2024年夏季奥运会在法国巴黎举行．该届奥运会的金牌数及部分国家的金牌数如下图所示： (1)中国的金牌数占该届奥运会金牌数的几分之几？ (2)已知澳大利亚的金牌数是中国金牌数的，那么澳大利亚获得多少枚金牌？ (3)已知意大利获得的奖牌中，铜牌数是该国奖牌总数的，金牌数是铜牌数的，银牌13枚，那么意大利获得的奖牌总数是多少？ 【答案】(1) (2)18枚金牌 (3)40枚 【分析】此题考查了条形图及分数的运算，解决本题的关键是能从条形统计图中读出有关信息，并能熟练掌握分数的运算． （1）用中国金牌数除以总金牌数即可得出答案； （2）用中国金牌数乘以即可得出答案； （3）将奖牌总数看作整体“1”，则银牌数占的比例是，再用13除以其所占比例即可得出答案． 【详解】（1）解：由条形统计图可得，中国的金牌数占该届奥运会金牌数的； （2）解：由题意可得，澳大利亚获得枚金牌； （3）解：意大利获得的奖牌总数是（枚）． 题型十三、分数的除法应用 例13.（23-24六年级上·上海青浦·期中）六年级的三个班学生帮助图书馆修补图书，一班修补了54本，是二班修补的本数的，二班修补的本数比三班少，三个班级一共修补了（    ）本图书． A．45 B．120 C．145 D．159 【答案】D 【分析】本题考查了已知一个数的几分之几是多少，求这个数，先分别求出二班和三班修补的本数即可得解． 【详解】解：二班修补的本数：本． 三班修补的本数：本， 三个班级一共修补的本书：本， 故选D． 【变式13-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）小李去商店买东西花了80元，占了所带钱的，快到家时发现忘记买笔记本了，于是返回用剩余钱的买了笔记本，则这本笔记本的价格为 元． 【答案】12 【分析】本题主要考查了分数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．先根据题意求出总钱数，再求出剩余的钱数，最后求出笔记本的价格即可． 【详解】解： （元）， ∴这本笔记本的价格为12元． 故答案为：12． 【变式13-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）停车场上有小轿车45辆，占场地停车总数的，大客车占停车总数的，求停车场停大客车多少辆？ 【答案】20 【分析】本题考查了分数乘法和除法的应用，本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量的几分之几是多少用除法可以求出单位“1”是多少，知道单位“1”求它的几分之几是多少用乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据分数的除法，可以求出停车总数，利用分数的乘法，可以算出大客车的数量． 【详解】解：（辆） （辆） 答：停车场停大客车20辆． 【变式13-3】一桶油第一次用去它的，第二次用去了剩下的，此时还剩下25千克，则这桶油原来有 千克． 【答案】50 【分析】根据题意第一次剩下，第二用去后剩下，根据求单位2用除法列式求解即可． 【详解】解： （千克） 故答案为：50． 【点睛】本题考查分数除法的应用，正确的理解题意关表示出第二用去后剩下的占全部的几分之几是解题的关键． 【变式13-4】（24-25六年级上·上海长宁·期中）某校六年级学生开展了古诗文大赛，设有三等奖、二等奖、一等奖和特等奖．其中获得特等奖的人数占获奖人数的，获得一等奖的人数占获奖人数的，获得二等奖的人数占获奖人数的，请问获得三等奖的人数占获奖人数的几分之几？若获得二等奖有100人，请问获奖人数共多少人？ 【答案】获得三等奖的人数占获奖人数的；获奖人数共250人． 【分析】此题考查了分数的应用，用单位1减去二等奖、一等奖和特等奖占获奖人数的几分之几即可求出获得三等奖的人数占获奖人数的几分之几；用获得二等奖的人数除以占获奖人数的几分之几即可求出获奖总人数． 【详解】解： ∴获得三等奖的人数占获奖人数的； （人） ∴获奖人数共250人． 【变式13-5】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）小明用三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，问： (1)第三天小明看了全书的几分之几？ (2)如果小明第三天看了36页，那么这本书共有多少页？ 【答案】(1)第三天小明看了全书的 (2)这本书共有页 【分析】（1）根据三天所看分数之和为列式求解可得； （2）用36除以对应的百分比可得答案． 本题考查分数的应用题，关键是明确本题中单位“”的量． 【详解】（1）解：， 答：第三天小明看了全书的； （2）解：页， 答：这本书共有页． 【变式13-6】（23-24六年级上·上海闵行·期中）六年级学生参加探究性课题的研究，每人只能参加一组，其中全年级的参加了课题组1，全年级的参加了课题组2，剩下的55人参加了课题组3．求： (1)该六年级总共有多少人？ (2)参加课题组3的人数是参加课题组1的几分之几？ 【答案】(1)264人； (2)． 【分析】本题考查分数混合运算的应用，能够根据题意列出式子是解题的关键． （1）用剩下的55人除以55人所占的百分比即可； （2）先根据题意求出课题组3所占的比例，再根据题意列式进行计算即可． 【详解】（1） （人）， 答：六年级总共有264人． （2）， 答：参加课题组3的人数是参加课题组1的． 【变式13-7】为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类体育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的，购买的排球数量是篮球数量的，其余是足球． (1)如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？ (2)如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之几改去购买足球？ 【答案】(1)购买球类体育用品的总数量为40个． (2)将计划购买的排球数量的改去购买足球． 【分析】（1）假设球类体育用品的总数量是单位“1”，则篮球数量占，排球数量占，求出足球数量占，再利用即可求出总数量； （2）利用即可解答． 【详解】（1）解：假设球类体育用品的总数量是单位“1”，则篮球数量占，排球数量占， ∴足球数量占， ∴（个），即球类体育用品的总数量为40个． 答：购买球类体育用品的总数量为40个． （2）解：由（1）可得：排球数量占，足球数量占， ∴， ∴将计划购买的排球数量的改去购买足球， 答：将计划购买的排球数量的改去购买足球． 【点睛】本题考查分数的混合运算，求一个数的几分之几，解题的关键是理解题意，表示出篮球，排球和足球所占的数量． 题型十四、规律探究问题 例14.“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为 ． 【答案】 【分析】根据图形观察，把这个正方形看作单位“1”，算式可以转化为，从而求解． 【详解】根据图2，可得 故答案为： 【点睛】本题考查了分数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 【变式14-1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【答案】(1)， (2) (3)+，+ 【分析】本题主要考查分数的加减运算及因数，弄清阅读材料中的方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意即可得出答案； （3）根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 【变式14-2】[裂项相消法]（23-24六年级上·上海静安·期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)①9；②991 【分析】（1）①等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积，据此可得；②根据以上规律求解即可； （2）①一个分数，如果分子是1，分母是相邻的自然数的积，就可以拆成分子是1，分母是相邻的自然数差的单位分数的差的分数，据此即可判断；②结合①的方法，求出能按上述要求拆分的有31个时的n值，即可得到最大值． 【详解】（1）解：①； ②由题意可得：； （2）①在单位分数中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其分母有，，，，，，，，共9个， ∴能按上述要求拆分的有9个； ②∵能按上述要求拆分的有30个， ∴其分母有，，，…，， 又， ∴n的最大值为． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据已知等式得出等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积的规律． 题型十五、工程问题 例15.（23-24六年级上·上海青浦·期中）某工程队修筑一条公路．第一周修了这段公路的，第二周修筑了这段公路的，第二周比第一周多修了2千米．这段公路全长多少千米？ 【答案】这段公路全长56千米 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题．把这段公路看成单位“1”，要求全长就是求单位“1”，只要找到分数和他对应的量就可以用除法求出单位“1”；第二周比第一周多修了2千米，只要求出第二周比第一周多修了全长的几分之几就可以了． 【详解】解： （千米）， 答：这段公路全长56千米． 【变式15-1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 【答案】(1)前两个阶段共完成整个工程的； (2)这条公路全长有4800千米． 【分析】本题考查了分数的混合运算，掌握分数混合运算法则，根据题意列出式子是解题关键． （1）第一阶段修了这条公路的，第二阶段又完成了剩下工程的即，进一步列算式即可； （2）用单位“1”减去前两段完成的占全部的比例，再用第三阶段修的除以没修的占全部的比例即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 答：前两个阶段共完成整个工程的； （2）解： （千米）， 答：这条公路全长有4800千米． 【变式15-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）一个水池安装了甲、乙两根进水管，为了灌满空着的水池，先单开甲管，4小时能把水池灌入一半的水，然后关闭甲管，打开乙管，3小时后可以把水池装满．如果甲、乙水管同时打开，几小时可以把空着的水池灌满？ 【答案】小时可以把空着的水池灌满． 【分析】本题主要考查了分数除法的实际应用，当把总任务看做单位“1”时，根据题意可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，据此根据工作时间等于工作总量除以工作效率求解即可． 【详解】解：小时， 答：小时可以把空着的水池灌满． 【变式15-3】（23-24六年级上·上海青浦·期中）有一个水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管放水．池空时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管10分钟可注满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完．如果在池空时将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，问：还需要多少分钟才能将水池注满水？ 【答案】4分钟 【分析】此题主要考查工程问题的解题思路，关键用剩下的工作量除以工效和即可得合作时间．用甲、乙两个进水管的工作效率减去丙管的工作效率，就是三个水管同时开时可的工作效率，再乘2，就是2小时可注水占水池的几分之几，然后再用1去减，求出剩下几分之几未注满水池，这时，甲、丙管同开，用剩下未注满水池的几分之几除以甲管的效率减去乙管的效率，就是还要注满水池的时间． 【详解】解∶2分钟内池内有水∶ 乙管关闭，注满水池还需要的时间为∶ （分钟) 答∶还要4分钟可注满水池． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24六年级上·上海青浦·期中）一本书共60页，小李看了，则他看了 页． 【答案】20 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用，解题的关键是根据题意列出算式准确计算． 【详解】解：（页）， 即他看了20页． 故答案为：20． 2．（23-24六年级上·上海青浦·期中）某数的倍是180的，这个数是什么？ 【答案】 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，先求出180的是多少，再除以即可得解． 【详解】解： ． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）小智用20分钟走了1千米路，平均每分钟走多少米？平均每分钟走了全程的几分之几？最后7分钟走了全程的几分之几？ 【答案】50；； 【分析】本题考查了分数除法的应用，路程，时间，速度的基本关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据速度路程时间，可以知道速度的答案，将全程看成单位“1”，可以知道每分钟走了几分之几，从而推出最后7分钟走了全程的几分之几． 【详解】解：（米） 答：平均每分钟走50米，平均每分钟走了全程的，最后7分钟走了全程的． 4．水果店运来一批水果，其中香蕉400千克，橘子的质量是香蕉的，苹果的质量是橘子的．水果店运来苹果多少千克？ 【答案】320千克 【分析】先把香蕉的质量看成单位“1”，橘子的质量是香蕉的，用香蕉的质量乘即可求出橘子的质量，再把橘子的质量看成单位“1”，苹果的质量是橘子的，再用橘子的质量乘即可求出水果店运来苹果多少千克． 【详解】解： （千克）； 答：水果店运来苹果320千克． 【点睛】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少用乘法求解． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）乐乐爸爸记录了国庆旅游期间家庭在饮食、住宿、门票、交通和购物五个方面的消费情况．其中饮食840元，住宿1260元，交通700元，且饮食占消费总额的，门票占消费总额的．请根据所给的数据，回答下列问题： (1)乐乐家这次旅游消费总额是多少元？ (2)购物占消费总额的几分之几？ 【答案】(1)消费总额是4480元 (2) 【分析】本题考查了分数运算的应用． （1）用饮食费用除以即可； （2）先求出门票的费用，用消费总额减去饮食，住宿，交通，饮食的费用求出购物的费用，再有购物费用除以总费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：乐乐家这次旅游消费总额是4480元． （2）解：门票的费用为元， 购物费用为（元）， 购物占消费总额的． 答：购物占消费总额的． 6．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）在即将到来的校运会上，小海积极报名参加志愿者活动，志愿者其中一项工作就是巡逻，确保跑道不被非运动员占用，保证比赛的安全.小海用小时走完了千米，照此速度，他一刻钟可以巡逻多少千米？他在一刻钟里巡逻的路程占400米跑道的几分之几？ 【答案】他一刻钟可以巡逻千米，他在一刻钟里巡逻的路程占400米跑道的． 【分析】根据一刻钟等于15分钟，利用“速度路程时间”解答即可． 本题考查了分数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． 【详解】解：小海的速度为：（千米/时）， （千米）， ， 答：他一刻钟可以巡逻千米，他在一刻钟里巡逻的路程占400米跑道的． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．[比大小]（24-25六年级上·上海长宁·期中）若，则正数A、B、C的大小关系是 （请用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的大小比较，设，根据倒数的定义分别求出A、B、C的值，再比较大小即可． 【详解】解：设， 可得，，， ∴， 故答案为：． 2．[流程图]（23-24六年级上·上海青浦·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程． (1)输入分数． (2)输入分数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分数的加法及乘法，首先要理解这两种不同的计算方法，理解了计算方法问题不难解决． （1）当输入的分数大于时，求这个分数与的和，用加法计算； （2）先理解本题的计算方法，当输入的分数小于时，求出这个分数的是多少，用乘法． 【详解】（1）解：因为不小于， 所以 （2）解：因为小于， 所以； 3．[整除与分数综合]（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知是素数，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了素数，异分母分数加法，根据是素数且可得或，进而可解． 【详解】解：是素数，， 或， ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在一节数学课上，老师安排学生分组讨论用了0.1小时，老师讲解用了小时，老师总结用了0.1小时，其余时间学生独立完成课堂练习．已知每节课是40分钟，在这节课上学生独立完成课堂练习用了多少小时？ 【答案】在这节课上学生独立完成作业用了小时． 【分析】本题考查了分数加减法应用题．根据题意，用一节课的总时间减去分组讨论，老师讲解和老师总结用的时间，剩下的就是学生做作业用的时间． 【详解】解：40分钟小时小时， （小时）． 答：在这节课上学生独立完成作业用了小时． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）用一根长米的竹竿垂直插入池塘，去测量一个池塘的水深，如果竹竿的长度插入淤泥中，露出水面米，那么池塘水深多少米？ 【答案】池塘水深米． 【分析】本题考查了分数乘法和分数减法的应用，解题的关键是理解题意．先求出插入淤泥中的竹竿长度，再用竹竿的总长度减去插入淤泥中的长度和露出水面的长度，即可求解． 【详解】解：插入淤泥中的竹竿长度为（米）， （米） 答：池塘水深米． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【答案】(1)， (2) (3)+，+ 【分析】本题主要考查分数的加减运算及因数，弄清阅读材料中的方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意即可得出答案； （3）根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $