专题02 简单事件的概率（6知识&11题型&3易错&3方法）（期中知识清单）九年级数学上学期浙教版

专题02 简单事件的概率（6知识&11题型&3易错&3 方法清单） 【清单01】 确定性事件与随机事件 确定性事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 【清单02】 事件发生的可能性的大小 ★1. 随机事件发生的可能性是有大小的； ★2. 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同. ★3.要比较随机事件的可能性大小，可以按如下步骤进行： (1) 确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； (2) 计算：计算每一个要素的数量； (3) 结论：比较数量的多少，判断可能性的大小. 【清单03】 简单事件的概率的定义与计算方法 ★1、概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． ★2、概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． ★3、概率的范围 当事件A 是必然事件时，P(A)=1； 当事件A是不可能事件时，P(A)=0； 当事件 A 随机事件时，0＜P(A)＜1 总结：（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1 （2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0. 时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 【清单04】 用列举法求概率 ★1、用列举法（枚举法）求事件的概率 当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率. 【注意】 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. ★2、用列表法求事件的概率 (1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. (2)用列表法求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 【清单05】 用画树状图法求概率 ★3、用画树状图求事件的概率 (1) 当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 【注意】用画树状图法计算概率时，必须保证每两步之间的相互独立性，以及试验结果出现的等可能性，且结果是有限个 (2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . 【清单06】 用频率估计概率 ★1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. ★2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. ★3、适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ★4、频率与概率的关系： 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值. 与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、时间、地点无关. 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率. 【题型一】判断事件的类型 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A．朝上的数字小于7 B．朝上的数字是奇数C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3 【变式1-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列事件为不可能事件的是（   ） A．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B．在装有黑球的袋中摸出红球 C．是实数， D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 【题型二】可能性的大小 【例2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【变式2-1】一个盒子里装有10个除了颜色不同其他都相同的小球，其中红球1个，蓝球2个，白球3个，黄球4个，如果从中任意摸出一个小球，摸到（   ）色小球的可能性最大． A．红 B．白 C．蓝 D．黄 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（    ） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 【变式2-3】从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A． 卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【题型三】用公式法计算概率 【例3】（25-26九年级上·全国·期中）从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式3-1】杭州第届亚运会的吉祥物包括三个机器人造型，分别是“琮琮”“莲莲”和“宸宸”．现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】现有5张卡片，正面分别写着“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字，这些卡片除正面的字外其余均相同，将5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好写着“强”字的概率是 ． 【变式3-3】小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间，黄灯，绿灯，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【题型四】由概率求数量 【例4】在不透明盒子中装有6个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有（   ）个球 A．6 B．10 C．9 D．15 【变式4-1】在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式4-2】（24-25七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 【变式4-3】一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【题型五】用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 【例5】如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】某兴趣小组做光学实验，实验前，他们准备了A，B，C，D，E五张卡片，卡片上对应写有平面镜、凹面镜、凸面镜、凹透镜、凸透镜，这些卡片除文字外无其他差别，兴趣小组通过抽取卡片的形式选取对应的实验仪器． (1)小徐随机抽取一张，则抽中的仪器可以直接当作放大镜使用的概率是__________； (2)小州和小彭两位同学同时从五张卡片中各抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他们所抽取的光学仪器对光都有会聚作用的概率． 【题型五】用列举法或画树状图法求概率---摸球问题 【例5】不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放加搅匀，再从袋中任意摸一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】将分别标有“文”、“明”、“宁”、“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁、安”的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率． （2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率． （3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值． 【题型六】用列举法或画树状图法求概率--转盘问题 【例6】如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的数字之和大于8的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示的转盘，被分为6个面积相等的扇形，分别标有数字2、3、3、4、5、5．任意转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所指数字之和为7的倍数的概率是 ． 【变式6-3】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两种抽奖方案． 方案一：转动转盘A一次，指针指向红的部分可领取一份奖品． 方案二：转动转盘B两次，两次指针都指向红的部分可领取一份奖品． （两个转盘都被平均分成3份，若指针指向分界线，则重转） （1）转动一次转盘A，获得奖品的概率是 　 　； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪种方案？请用列表法或画树状图法说明理由． 【题型七】用列举法或画树状图法求概率--数字问题 【例7】在数字1、、、中，任选两个数字，其中至少有一个是无理数的概率是 （   ） A． B． C． D． 【变式7-1】两个不透明的塑料袋中，分别装着标有8，0，3和1，9，2的只有数字不同的3个小球，夏夏和鑫鑫约定，他们分别从其中一个袋中摸出一个小球，若数字之和为奇数，鑫鑫胜；若数字之和为偶数，则夏夏胜．则夏夏获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 　 ． 【题型八】用列举法或画树状图法求概率-实际问题 【例8】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某校安排三辆车，组织九年级学生外出参加研学活动，其中小王和小飞都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小飞同车的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】小明和小亮为了缓解紧张的学习，准备利用五一假期和家人一起参加“渭源一日游”活动，两家都从“．鹿鸣谷”、“．天井峡”、“．渭河源”、“．首阳山”四处景点中选择了一处景点． (1)小亮家选择到“渭河源”游玩的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法求小明和小亮两家都选择到“首阳山”游玩的概率． 【变式8-3】小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索． (1)小亮选中的箱子均来自B组是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率． 【题型九】用频率估计概率 【例9】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【变式9-1】如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【题型十】游戏公平性问题 【例10】小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 【变式10-1】某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【变式10-2】新素材：杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【变式10-3】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【题型一】对概率的意义理解不透 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江舟山·期中）以下说法合理的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 【变式1-3】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天一定会下雨 B．某种彩票中奖的概率是，买100张这种彩票一定会中奖 C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为 D．在只放有红、黄小球的袋子中有可能摸出白球 【题型二】计算概率列举不全面或忽视等可能性 【例2】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型三】“放回”与“不放回” 【例3】一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　　）． A． B． C． D． 【变式3-1】不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（　　） A． B． C． D． 【题型一】概率与物理知识的综合 【例1】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江·期中）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【变式1-3】如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【题型二】概率与几何知识的综合 【例2】一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示的正方形纸片由若干个大小完全相同的黑色和白色小正方形组成，在它上面做随机扎针实验，针头扎在黑色区域内的概率为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是(   ) A． B． C． D． 【题型三】概率与统计知识的综合 【例3】为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为：                                                    (1)该数据的平均数为___________，中位数为___________． (2)2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． (3)该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 【变式3-1】2020年元旦前夕“新型冠状病毒”爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起抗击疫情的钢铁长城．下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．请解答下列问题： (1)①下述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 ． ②请将条形统计图补充完整． (2)请求出扇形统计图中“山西”所对应的圆心角的度数 ． (3)本次山西驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，李医生和王医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人去，请用树状图或表格求同时安排到李医生和王医生的概率． 【变式3-2】学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． (1)参加比赛的学生人数共有 名； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； (3)补全条形统计图； (4)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【变式3-3】2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策），某校为了落实“双减”政策，安排教师参与课后服务工作，在某个星期内，统计他们参与课后服务的次数，并将结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）． (1)参与课后服务的教师共有______人，并补全条形统计图； (2)学校准备从两名男教师，三名女教师共5名辅导教师中，随机调查两名教师课后服务效果，则选中一男一女的概率是______； (3)学校积极响应“双减”，并为加强学生体育锻炼，现决定购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元．求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单事件的概率（6知识&11题型&3易错&3 方法清单） 【清单01】 确定性事件与随机事件 确定性事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 【清单02】 事件发生的可能性的大小 ★1. 随机事件发生的可能性是有大小的； ★2. 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同. ★3.要比较随机事件的可能性大小，可以按如下步骤进行： (1) 确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； (2) 计算：计算每一个要素的数量； (3) 结论：比较数量的多少，判断可能性的大小. 【清单03】 简单事件的概率的定义与计算方法 ★1、概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． ★2、概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． ★3、概率的范围 当事件A 是必然事件时，P(A)=1； 当事件A是不可能事件时，P(A)=0； 当事件 A 随机事件时，0＜P(A)＜1 总结：（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1 （2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0. 时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 【清单04】 用列举法求概率 ★1、用列举法（枚举法）求事件的概率 当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率. 【注意】 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. ★2、用列表法求事件的概率 (1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. (2)用列表法求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 【清单05】 用画树状图法求概率 ★3、用画树状图求事件的概率 (1) 当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 【注意】用画树状图法计算概率时，必须保证每两步之间的相互独立性，以及试验结果出现的等可能性，且结果是有限个 (2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . 【清单06】 用频率估计概率 ★1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. ★2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. ★3、适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ★4、频率与概率的关系： 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值. 与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、时间、地点无关. 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率. 【题型一】判断事件的类型 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，根据各选项描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，逐一分析是否为必然事件． 【详解】解：选项A：“竹篮打水”因竹篮有缝隙无法存水，属于不可能事件； 选项B：“水涨船高”中，船浮于水面，水位上升时船体必然随之上浮，符合浮力原理，是必然事件； 选项C：“百步穿杨”依赖射箭者的技巧和偶然性，属于随机事件； 选项D：“守株待兔”是极小概率事件，属于不可能事件或随机事件； 综上，只有B是必然事件， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是事件的分类，解题关键是熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项，任意画一个四边形，其内角和是是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃是不可能事件，不符合题意，选项错误； 选项，掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，拨打一个电话号码，电话正被占线中是随机事件，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A．朝上的数字小于7 B．朝上的数字是奇数C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可解答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字小于7是必然事件，即确定事件，故A符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是奇数是随机事件，故B不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是6是随机事件，故C不符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字大于3是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列事件为不可能事件的是（   ） A．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B．在装有黑球的袋中摸出红球 C．是实数， D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A、任意抛图钉，可能是针尖先着地，也可能是其他部位先着地，为随机事件，故该选项不符合题意； B、在一个只装有黑球的袋中，摸出黑球是不可能事件，故该选项符合题意； C、a是实数，，这是必然事件，故该选项不符合题意； D、在一张纸上任意画两条线段，一条线段有两个端点，而线段不能无限延长，任意画两条线段可能相交也可能不相交，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型二】可能性的大小 【例2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 【变式2-1】一个盒子里装有10个除了颜色不同其他都相同的小球，其中红球1个，蓝球2个，白球3个，黄球4个，如果从中任意摸出一个小球，摸到（   ）色小球的可能性最大． A．红 B．白 C．蓝 D．黄 【答案】D 【分析】本题考查了判断可能性的大小．可以直接根据球的数量的多少来判断，数量多的摸到的可能性就大，数量少的摸到的可能性就小．因为盒子里黄球的个数最多，所以摸到黄球的可能性最大；盒子里红球的个数最少，所以摸到红球的可能性就最小；据此解答即可． 【详解】解：盒子里装有大小相同的10个球：红球1个，蓝球2个，白球3个，黄球4个，从盒子中任意摸出一个球，，黄球的个数最多，所以摸到黄球可能性最大； 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（    ） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白球， ∴白球个数最多， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性最大， 故选：C． 【变式2-3】从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A． 卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 【题型三】用公式法计算概率 【例3】（25-26九年级上·全国·期中）从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 【变式3-1】杭州第届亚运会的吉祥物包括三个机器人造型，分别是“琮琮”“莲莲”和“宸宸”．现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握利用概率公式求概率． 直接利用概率公式求解． 【详解】解：∵现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置， ∴打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是， 故选：C． 【变式3-2】现有5张卡片，正面分别写着“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字，这些卡片除正面的字外其余均相同，将5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好写着“强”字的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． 由在“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“强”字，利用概率公式计算可得． 【详解】解：这张卡片上面恰好写着“强”字的概率是：， 故答案为： 【变式3-3】小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间，黄灯，绿灯，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【题型四】由概率求数量 【例4】在不透明盒子中装有6个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有（   ）个球 A．6 B．10 C．9 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了概率的应用，根据摸出一个球是白球的概率是，可知白球占小球总数的，可求盒子里小球的总数． 【详解】解：∵摸出一个球是白球的概率是， ∴白球占小球总数的， ∴这个盒子里一共有个小球． 故选：D． 【变式4-1】在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式的应用，首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ∴袋中白球的个数为9个． 故选：B． 【变式4-3】一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式的应用，理解求概率的公式是解题的关键． 根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：袋子中写有“泉”字的卡片有：（张）． 故选： A． 【题型五】用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 【例5】如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故选：D． 【变式5-1】如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】把两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A、B，两张正面印有雪容融图案的卡片分别记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片图案都是冰墩墩的有2种， 则两张卡片上的图案都是会徽的概率是． 故选：C 【点睛】此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式5-2】如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：分别用表示哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁张卡片， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 【变式4-3】某兴趣小组做光学实验，实验前，他们准备了A，B，C，D，E五张卡片，卡片上对应写有平面镜、凹面镜、凸面镜、凹透镜、凸透镜，这些卡片除文字外无其他差别，兴趣小组通过抽取卡片的形式选取对应的实验仪器． (1)小徐随机抽取一张，则抽中的仪器可以直接当作放大镜使用的概率是__________； (2)小州和小彭两位同学同时从五张卡片中各抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他们所抽取的光学仪器对光都有会聚作用的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合要求的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：五张卡片中，可以直接当作放大镜使用的为凸透镜， ∴所求概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图知，可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相同．其中他们所抽取的光学仪器对光有会聚作用（凹面镜和凸透镜）的结果有2种，所以P（他们所抽取的光学仪器对光都有会聚作用）． 【题型五】用列举法或画树状图法求概率---摸球问题 【例5】不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 【变式5-1】在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放加搅匀，再从袋中任意摸一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用树状图或列表法，列出所有等可能的情况数量n，找出符合题意的情况数量m，则概率为P= ． 【详解】解：如下表： 第一次 第二次 黄球 黄球 红球 红球 黄球 （黄球，黄球） （黄球，黄球） （红球，黄球） （红球，黄球） 黄球 （黄球，黄球） （黄球，黄球） （红球，黄球） （红球，黄球） 红球 （黄球，红球） （黄球，红球） （红球，红球） （红球，红球） 红球 （黄球，红球） （黄球，红球） （红球，红球） （红球，红球） 一共有16种等可能的情况， （黄球，黄球）的一共有4种，则两次都摸到黄球的概率P= ； 故选：C． 【点睛】考查列表法解决概率问题；找到两次都摸到黄球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【变式5-2】将分别标有“文”、“明”、“宁”、“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁、安”的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果有种，再由概率公式求解即可．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果有种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率为． 故选：B． 【变式5-3】已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率． （2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率． （3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得； （3）根据已知列出关于m的方程，解之可得． 【解答】解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个， ∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为； 表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为； （2）列表如下： 白 红 红 红 白 （白，白） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为； （3）根据题意，得： ， 解得m＝3； ∴m的值为3． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【题型六】用列举法或画树状图法求概率--转盘问题 【例6】如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的数字之和大于8的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】列举出所有等可能的结果，看看转盘停止后，两次指针指向的数字之和大于8的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 8 9 10 11 12 13 9 10 11 12 13 14 由表格知：本题一共有20种等可能的结果，其中两次指针指向的数字之和大于8的结果共有11种，因此P（两次指针指向的数字之和大于8）． 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【变式6-1】如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 （2，3） （0，3） （，3） 2 （2，2） （0，2） （，2） （2，） （0，） （，） （2，） （0，） （，） 由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种， 所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 【变式6-2】如图所示的转盘，被分为6个面积相等的扇形，分别标有数字2、3、3、4、5、5．任意转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所指数字之和为7的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是列出表格，求出相应的概率． 根据题意可以画出相应的表格，然后即可求出两次所指数字之和为7的倍数的概率． 【详解】解∶列表如下 2 3 3 4 5 5 2 （2，2） （2，3） （2，3） （2，4） （2，5） （2，5） 3 （3，2） （3，3） （3，3） （3，4） （3，5） （3，5） 3 （3，2） （3，3） （3，3） （3，4） （3，5） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，3） （4，4） （4，5） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，3） （5，4） （5，5） （5，5） 5 （5，2） （5，3） （5，3） （5，4） （5，5） （5，5） 存在种可能性，其中两次所指数字之和为7的倍数有，，，，，，，共8种可能性， 故两次所指数字之和为7的倍数的概率是． 故答案为∶． 【变式6-3】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两种抽奖方案． 方案一：转动转盘A一次，指针指向红的部分可领取一份奖品． 方案二：转动转盘B两次，两次指针都指向红的部分可领取一份奖品． （两个转盘都被平均分成3份，若指针指向分界线，则重转） （1）转动一次转盘A，获得奖品的概率是 　 　； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪种方案？请用列表法或画树状图法说明理由． 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）利用树状图法求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【解答】解：（1）若转动一次A转盘，求领取一份奖品的概率为， 故答案为：； （2）选择方案二． 理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次都转出红色的结果数为4， 所以转动转盘B两次，两次都转出红色可领取一份奖品的概率为． 所以选择方案二． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【题型七】用列举法或画树状图法求概率--数字问题 【例7】在数字1、、、中，任选两个数字，其中至少有一个是无理数的概率是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，列表法求概率， 先确定无理数，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 1 1 ，1 ，1 ，1 1， ， ， 1， ， ， 1， ， ， 一共有12种可能出现的结果，其中有一个数是无理数的有10种，所以至少有一个是无理数的概率是. 故选：B. 【变式7-1】两个不透明的塑料袋中，分别装着标有8，0，3和1，9，2的只有数字不同的3个小球，夏夏和鑫鑫约定，他们分别从其中一个袋中摸出一个小球，若数字之和为奇数，鑫鑫胜；若数字之和为偶数，则夏夏胜．则夏夏获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列表法列出所有情况，再求解． 【详解】解：分别从两个袋中各随机摸出一个小球，两球数字之和所有可能出现的结果如下： 第2个数第1个数 8 0 3 1 9 2 共有9种可能出现的结果，其中两个数字之和为奇数的有5种，是偶数的4种， 所以鑫鑫胜，即和为奇数的概率为， 夏夏胜，即和为偶数的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法求概率，解题的关键是不重不漏的列出所有的情况． 【变式7-2】将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算求解，熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键． 首先确定所有可能的点的总数，再找出满足条件的点的数量，最后计算概率即可． 【详解】解：横坐标和纵坐标分别从1、2、3中随机选取（有放回）， 列表可知 横坐标 纵坐标 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ∴由表格可知，有9种不同的点， 在函数 图像上的点满足横坐标等于纵坐标， 即 ，，，共3个点， ∴概率为 ． 故选：B ． 【变式7-3】若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 　 ． 【答案】． 【分析】利用树状图得出所有的情况，从中找到使点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下 由树状图知，共有6个等可能的结果，在直线y＝﹣x﹣1上有（﹣2，1）和（1，﹣2）， ∴点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是． 故答案为：． 【题型八】用列举法或画树状图法求概率-实际问题 【例8】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某校安排三辆车，组织九年级学生外出参加研学活动，其中小王和小飞都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小飞同车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及小王与小飞同车的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将三辆车分别记为，，， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小王与小飞同车的结果有3种， 小王与小飞同车的概率为． 故选：． 【变式8-1】通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用树状图或表格法求概率，利用树状图法或表格法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．利用树状图法求出一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：设经过这个十字路口的两辆汽车分别为A，B，画树状图如下： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种， 至少有一辆车向左转的概率是． 故选：D． 【变式8-2】小明和小亮为了缓解紧张的学习，准备利用五一假期和家人一起参加“渭源一日游”活动，两家都从“．鹿鸣谷”、“．天井峡”、“．渭河源”、“．首阳山”四处景点中选择了一处景点． (1)小亮家选择到“渭河源”游玩的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法求小明和小亮两家都选择到“首阳山”游玩的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，利用列表或画树状图的方法求概率，解题的关键是熟练掌握列表或画树状图的方法． （1）利用简单概率计算公式进行求解即可； （2）利用列表或画树状图的方法进行求概率即可． 【详解】（1）解：选择到“渭河源”游玩的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 等可能出现的情况有16种，符合条件的情况有1种， 所以，小明和小亮两家都选择到“首阳山”游玩的概率为． 【变式8-3】小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索． (1)小亮选中的箱子均来自B组是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用树状图或者列表法进行求概率，解题的关键是熟练掌握以上定义和方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）利用列表法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索 ∴小亮选中的箱子均来自B组是不可能事件． 故答案为：不可能； （2）解：将A组的3个箱子分别记为A₁，A₂，A₃(假设A₁中有线索)，B组的2个箱子分别记为B₁，B₂(假设B₁中有线索)，列表如下： A₁ A₂ A₃ B₁ (A₁，B₁) (A₂，B₁) (A₃，B₁) B₂ (A₁，B₂) (A₂，B₂) (A₃，B₂) 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中小亮一条线索都没有得到的情况有2种，故所求概率为． 【题型九】用频率估计概率 【例9】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，本选项符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 【变式9-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； （4）解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 【题型十】游戏公平性问题 【例10】小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小英获胜的概率为小康获胜的概率为 (3)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据概率公式计算即可得解； （3）求出小亮获胜的概率，比较即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下 （2）解：由图可知，共有8种等可能情况，其中三个正面或三个反面的有2种情况：两次正面，一次反面的有3种情况；一次正面，两次反面的有3种情况， ∴小英获胜的概率为，小康获胜的概率为； （3）解：这个规则对三位同学是不公平的． 理由：∵P(小英获胜)，（小康获胜)， (小亮获胜) ，且， ∴这个规则对三位同学是不公平的． 【变式10-1】某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【变式10-2】新素材：杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【详解】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 【变式10-3】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 【题型一】对概率的意义理解不透 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式，根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：掷一枚硬币会出现正面朝上和反面朝上两种等可能的情况， 第100次出现正面向上的概率为． 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江舟山·期中）以下说法合理的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．根据概率表示可能性大小，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，实验次数过少，不能得到钉尖朝上的概率是，不合理； B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定有5张中奖，不合理； C、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，合理； D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是，中靶与不中靶不是等可能事件，不合理； 故选C． 【变式1-3】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天一定会下雨 B．某种彩票中奖的概率是，买100张这种彩票一定会中奖 C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为 D．在只放有红、黄小球的袋子中有可能摸出白球 【答案】C 【分析】根据概率的意义、随机事件的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．天气预报说明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性是，不代表明天一定会下雨，因此该选项不符合题意； B．彩票中奖的机会是，买100张彩票也不一定会中奖，因此该选项不符合题意； C．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为，因此该选项符合题意； D．在只放有红、黄小球的袋子中摸出白球，是不可能事件，因此该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 【题型二】计算概率列举不全面或忽视等可能性 【例2】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及一个转出红色，另一个转出蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：∵转盘A红色区域的扇形圆心角度数为， ∴转盘A蓝色区域是红色区域的2倍， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），共5种， ∴可配成紫色的概率是 故选：B． 【变式2-1】用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键． 将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下； 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果， ∴配成紫色的概率是， 故选：C． 【变式2-2】用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率；右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中一个是红色，另一个是蓝色的结果有种， ∴游戏者获胜的概率为， 故选：． 【题型三】“放回”与“不放回” 【例3】一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况 ∴两次都摸到白球的概率是： 故选A． 【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键． 【变式3-1】不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 【变式3-2】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式3-3】小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率． 【解答】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种， ∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【题型一】概率与物理知识的综合 【例1】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江衢州·期中）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表求出所有的等可能性的结果数，再找到能让两个小灯泡同时发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：记开关，，分别为A、B、C 列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B、C） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两个小灯泡同时发光的结果数为2（闭合开关，即选A、C）， ∴能让两个小灯泡同时发光的概率是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，正确列出表格是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江·期中）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求某事件发生的，画树状图，得到所有等可能的结果，找出其中能够让灯泡发光的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和，和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种， ∴能够让灯泡发光的概率． 故答案为：． 【变式1-3】如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 【题型二】概率与几何知识的综合 【例2】一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 【变式2-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示的正方形纸片由若干个大小完全相同的黑色和白色小正方形组成，在它上面做随机扎针实验，针头扎在黑色区域内的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】刚好落在黑色区域上的概率就是黑色区域面积与总面积的比值，从而得出答案． 【详解】解：∵黑色区域的面积占总面积的， ∴刚好落在黑色区域的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【变式2-2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可. 【详解】因为⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为平方分米； 正方形的边长为分米，面积为1平方分米； 因为豆子落在圆内每一个地方是均等的， 所以P（豆子落在正方形ABCD内）． 故答案为A． 【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=，熟记概率公式是解题的关键． 【变式2-3】如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， 因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为． 故选：C． 【题型三】概率与统计知识的综合 【例3】为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为：                                                    (1)该数据的平均数为___________，中位数为___________． (2)2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． (3)该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查平均数、中位数、一元二次方程的应用、列表或树状图求概率，熟练掌握相关概念与方法是解题的关键． （1）利用平均数和中位数的计算方法即可解决； （2）设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为，由题意得，求解即可； （3）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：平均数为， 数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 其中中间的两个数是和， 故中位数为， 故答案为：，； （2）解：设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为, 由题意得， 解得：，（舍）， 答：该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为； （3）解：根据题意列表为： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 由表可知共有20种等可能的情况，其中恰好为1位男生和1位女生的有12种， 则刚好符合报名要求的概率为． 【变式3-1】2020年元旦前夕“新型冠状病毒”爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起抗击疫情的钢铁长城．下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．请解答下列问题： (1)①下述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 ． ②请将条形统计图补充完整． (2)请求出扇形统计图中“山西”所对应的圆心角的度数 ． (3)本次山西驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，李医生和王医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人去，请用树状图或表格求同时安排到李医生和王医生的概率． 【答案】(1)①5000；②见解析 (2) (3) 【分析】本题考查扇形图与条形统计图，列表或画树状图求概率，读懂扇形图与条形图相关信息是解题的关键。 （1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数； ②先求出江苏、浙江和山东所占的百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图； （2）用山西所占的百分比乘以即可得出答案； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为（人）， ②江苏所占的百分比是：； 浙江所占的百分比是：； 山东所占的百分比是：； 则山西所占的百分比是：， 山西的人数是（人），补图如下： 故答案为：5000； （2）解：“山西”所对应扇形的圆心角的度数是； 故答案为： （3）解：这5名医护工作者分别用1，2，3，4，5表示，其中李医生用1表示，王医生用2表示，根据题意画图如下： 共有20种等可能情况，其中同时安排李医生和王医生的有2种， 则同时安排王医生和李医生的概率是＝． 【变式3-2】学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． (1)参加比赛的学生人数共有 名； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； (3)补全条形统计图； (4)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)72；40 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，列举法求概率等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用A等级的人数及百分比求出总人数； （2）根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；根据C等级的人数除以总人数得到C等级所占百分比，从而求得的值； （3）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可； （4）先利用列表法求出总数，再利用概率公式求概率． 【详解】（1）由表可知，A等级的人数为3人，占比， 参加比赛的学生人数共有名． 故答案为：20． （2）． 在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为． C等级占比，所以． 故答案为：72；40． （3）B等级人数为人． 补全条形统计图如图所示： （4）由题知，A等级中男生有1名，女生有2名，根据题意，列出表格如下： 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰好是一男一女的概率为． 【变式3-3】2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策），某校为了落实“双减”政策，安排教师参与课后服务工作，在某个星期内，统计他们参与课后服务的次数，并将结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）． (1)参与课后服务的教师共有______人，并补全条形统计图； (2)学校准备从两名男教师，三名女教师共5名辅导教师中，随机调查两名教师课后服务效果，则选中一男一女的概率是______； (3)学校积极响应“双减”，并为加强学生体育锻炼，现决定购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元．求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？ 【答案】(1)40，见解析 (2) (3)购买一个品牌足球需要50元，购买一个品牌足球需要80元． 【分析】（1）由课后服务4次的人数16人除以占比，可得总人数，再求解参加课后服务3次的人数，再补全图形即可； （2）先列表求解所有等可能的结果数，再得到符合条件的情况数，结合概率公式可得答案； （3）设购买一个A品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，根据题意得到关于的分式方程，解之经检验后即可得出A品牌足球的单价，再将其代入中即可求出品牌足球的单价． 【详解】（1）解：， 参与课后服务的教师共有40人， ， 补全统计图如图所示： （2）解：分别用、表示两名男教师，用、、表示三名女教师， 依题意列表如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 随机调查两名教师课后服务所有的等可能的结果数有20种，恰好选中一男一女的情况数有12种， 恰好选中一男一女的概率是； （3）解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元， 由题意可列分式方程， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 故购买一个品牌足球需要50元，购买一个品牌足球需要80元． 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图或列表的方法求解概率，分式方程的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $