专题03 图形的相似18题型（期中专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题03 图形的相似 题型1 成比例线段（常考点） 题型10 相似三角形的动点问题（难点） 题型2 平行线所截线段成比例（常考点） 题型11 相似三角形的综合（难点） 题型3 相似图形的判断（重点） 题型12 利用网格画相似（常考点） 题型4 相似图形的性质 题型13 相似三角形的判定与性质（难点） 题型5 相似三角形 题型14 相似三角形的实际应用（重点） 题型6 相似三角形的判定（重点） 题型15 与中位线有关的求解（常考点） 题型7 补充条件使相似（常考点） 题型16 中位线的实际应用 题型8 利用相似三角形性质求解（重点） 题型17 位似图形相关（常考点） 题型9 利用相似求坐标（常考点） 题型18 图形与坐标问题（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段（共3小题） 1．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 3．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 题型二 平行线所截线段成比例（共4小题） 4．如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是 ． 6．小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 7．如图，直线交于点O，，若，求的值． 题型三 相似图形的判断（共3小题） 8．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 9．在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 题型四 相似图形的性质（共3小题） 11．两个相似多边形的一组对应边为和，如果它们的周长差为，那么较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（   ） A．0.618 B． C． D．2 13．在如图所示的两个相似四边形中，，求x，y，．    题型五 相似三角形（共2小题） 14．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 15．如图，梯形ABCD对角线AC、BD交于点O，若S△AOD：S△ACD=1：4，则S△AOD：S△BOC=_______． 题型六 相似三角形的判定（共4小题） 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 17．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 18．如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 19．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 题型七 补充条件使相似（共3小题） 20．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 21．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 22．如图，在中，P是上的一点，连接．当 时，． 题型八 利用相似三角形性质求解（共3小题） 23．如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 24．在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 25．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 题型九 利用相似求坐标（共3小题） 26．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 27．在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 题型十 相似三角形的动点问题（共3小题） 29．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 30．如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 31．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为． (1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 题型十一 相似三角形的综合（共4小题） 32．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 33．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 34．如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 ．    35．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：． （2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 题型十二 利用网格画相似（共2小题） 36．如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 37．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 题型十三 相似三角形的判定与性质（共3小题） 38．如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．如图，梯形中，对角线与交于点O，如果，那么的值为 ． 40．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 题型十四 相似三角形的实际应用（共3小题） 41．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 42．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 43．为了测量池塘两端、的距离，选择了平地上、、三个点，点、分别在、上，现测得米，米，米，米，米．求的长． 题型十五 与中位线有关的求解（共3小题） 44．如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 45．如图，在菱形中，，，对角线与交于点，延长到点，使得，连接，取的中点、的中点，连接，则的长为 ． 46．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 题型十六 中位线的实际应用（共3小题） 47．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 48．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 49．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是___________________． 题型十七 位似图形相关（共5小题） 50．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 51．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 52．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 53．如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 54．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 题型十八 图形与坐标问题（共6小题） 55．学习了“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”之后，小梦对枫叶很感兴趣，于是小梦研学活动时捡了一片枫叶，如图，将该片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 56．下列数据中不能确定物体位置的是（ ） A．电影票上的“排号” B．小明住在御景华城号楼一单元号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 57．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 58．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ； 59．某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 60．将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． $专题03 图形的相似 题型1 成比例线段（常考点） 题型10 相似三角形的动点问题（难点） 题型2 平行线所截线段成比例（常考点） 题型11 相似三角形的综合（难点） 题型3 相似图形的判断（重点） 题型12 利用网格画相似（常考点） 题型4 相似图形的性质 题型13 相似三角形的判定与性质（难点） 题型5 相似三角形 题型14 相似三角形的实际应用（重点） 题型6 相似三角形的判定（重点） 题型15 与中位线有关的求解（常考点） 题型7 补充条件使相似（常考点） 题型16 中位线的实际应用 题型8 利用相似三角形性质求解（重点） 题型17 位似图形相关（常考点） 题型9 利用相似求坐标（常考点） 题型18 图形与坐标问题（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段（共3小题） 1．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 2．已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握c为a、b的比例中项则有是解题的关键．根据比例中项的定义可求得c的值． 【详解】解：∵c是a、b的比例中项，，， ∴， ∴或（负数舍去）． 故答案为：3． 3．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二 平行线所截线段成比例（共4小题） 4．如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应关系．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作等距离平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点D作交于H，则可推出，证明，得到，则． 【详解】解：如图，过点D作交于H， 是的中点， ， ， ∵E是的中点， ∴， ． ， ∴． 7．如图，直线交于点O，，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 相似图形的判断（共3小题） 8．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的定义，利用相似图形的定义逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、两三角形对应角相等，故相似； B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故不相似； C、所有边数相等的正多边形是相似的； D、所有的等边三角形都相似． 故选：B． 9．在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似形的定义． 利用相似图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； B.该选项图形与原图形相似，符合题意； C. 该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； D.该选项三角部分和圆点部分和原图形不一致，该选项不符合题意； 故选：B． 10．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立. 题型四 相似图形的性质（共3小题） 11．两个相似多边形的一组对应边为和，如果它们的周长差为，那么较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握这一性质是解题的关键；设较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为，由相似多边形的性质列式即可求解． 【详解】解：设较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为， ∵两个相似多边形的一组对应边为和， ∴, 解得：， 即较大多边形的周长为， 故选：D． 12．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（   ） A．0.618 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据对开得到，再利用相似图形的性质得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：由题知，，， 各种开本的矩形都相似， ， ， ， ； 故选：B． 13．在如图所示的两个相似四边形中，，求x，y，．    【答案】， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由题意得：，即可求出；根据即可求出x，y 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：. 题型五 相似三角形（共2小题） 14．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，与的相似比只要找到即可． 【详解】∵，∴， ∴与的相似比为.故选项B正确. 【点睛】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键． 15．如图，梯形ABCD对角线AC、BD交于点O，若S△AOD：S△ACD=1：4，则S△AOD：S△BOC=_______． 【答案】1:9 【分析】先根据△AOD与△ACD面积的比，求出它们AD边上的高的比是1：4，△AOD的AD边上的高与△BOC的BC边上的高的比是1：（4-1）=1：3；又AD∥BC，所以△AOD∽△BOC，面积的比就等于相似比的平方． 【详解】∵S△AOD：S△ACD=1：4，AD是两三角形的底边， ∴AD边上的高的比是1：4， 即△AOD与梯形的高的比是1：4， ∴△AOD与△BOC对应高的比为1：（4-1）=1：3， ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△BOC， ∴S△AOD：S△BOC=1：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，对于本题可利用等底三角形面积的比等于高的比以及相似三角形面积的比等于相似比的平方求解，难度适中． 题型六 相似三角形的判定（共4小题） 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 17．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 18．如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 19．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 题型七 补充条件使相似（共3小题） 20．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 21．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 22．如图，在中，P是上的一点，连接．当 时，． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，根据定理找到剩下一组对应边即可。 【详解】解：若使， 根据三边对应成比例的两个三角形相似这一定理， 已知， 则需找到剩下一组对应边， 故答案为： ． 题型八 利用相似三角形性质求解（共3小题） 23．如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 24．在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，不等式组的应用，解此题的关键是得出关于x的不等式组． 根据相似三角形的性质得出比例式，求出的值，根据即可得出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E在上，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 题型九 利用相似求坐标（共3小题） 26．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 27．在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先由已知得出，，然后分类讨论点的位置从而依次求出每种情况下点的坐标． 【详解】解：，两点的坐标分别为， 轴 点在直线上， ， 如图： （Ⅰ）当点在处时，要使，即使 即 解得： （Ⅱ）当点在处时， ， 的中点 点为以为圆心，长为半径的圆与轴的交点 设，则 即 解得： ，，， 综上所述：点的坐标为或，或，． 【点睛】本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的相关知识，本题比较复杂，难度较大． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 题型十 相似三角形的动点问题（共3小题） 29．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 30．如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或. 31．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为． (1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)函数图象见解析，当时，有最大值为3（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分，，两种情况讨论求关于x的函数关系式，根据三角形面积公式求关于x的函数关系式即可； （2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数的一条性质即可； （3）看在哪些区间的函数的图象在函数图象的上方即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时， 过D作于点G， ∵点D是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：列表得： 0 5 10 0 3 0 1 2 3 4 6 10 12 6 4 3 2 1.2 画图如下： 根据图象，知：当时，有最大值为3（答案不唯一）； （3）解：令， 解得：（舍去）； 令， 解得：（舍去）； 根据图象知：当时，． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点问题等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型． 题型十一 相似三角形的综合（共4小题） 32．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 33．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 34．如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 ．    【答案】39 【分析】根据全等三角形对应角相等,证明AC∥DE∥HF,再利用对应边相等得BC=CE=EF,根据平行线分线段成比例定理得KE=2PC,HF=3PC,设DK为x,DK边上的高为h,根据S△PQC=3,求出xh=6,再分别表示出S△BPC,S四边形CEKQ,S△EFH的面积进行求和即可. 【详解】解：∵△ABC≌△DCE≌△GEF, ∴∠ACB=∠DEC=∠HFE,BC=CE=EF, ∴AC∥DE∥HF, ∴,, ∴KE=2PC,HF=3PC, 又∵DK=DE-KE=3PC-2PC=PC, ∴△DQK≌△CQP（相似比为1） 设△DQK的边DK为x,DK边上的高为h, 则,整理得xh=6, S△BPC=, S四边形CEKQ= S△EFH=, ∴图中三个阴影部分的面积和=39. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质,平行线分线段成比例定理,难度较大,找到阴影图形之间的关系,利用三角形的面积公式计算是解题关键. 35．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：． （2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证； （2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得； （3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作 于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值 【详解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°， 即 设，则, （2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且 将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E， ， ， 三点共线， ，设则 （3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的， 使得的落点为,的落点为， 过点作 于点,交的延长线于点， 作点关于的对称点,连接 则， 当点三点共线时，取等于号 由作图知:， 且, ，AB＝5 , 四边形是矩形 在中 在中， 四边形是矩形 , 四边形是矩形 , 在中， 的最小值为 【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键． 题型十二 利用网格画相似（共2小题） 36．如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过点D作交于点G，证出得，再证得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 37．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 题型十三 相似三角形的判定与性质（共3小题） 38．如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．设，证明，可得，利用勾股定理求出，然后证明，对应边成比例得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 39．如图，梯形中，对角线与交于点O，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，解题关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方． 首先根据，可得；然后根据等高三角形面积的比等于底的比即可求解． 【详解】解：∵， ． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 40．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）①先判断出，得出即可； ②由得出，再由知，即可得出结论； （3）过点作于点，证，得，即，再由推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 题型十四 相似三角形的实际应用（共3小题） 41．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 42．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 43．为了测量池塘两端、的距离，选择了平地上、、三个点，点、分别在、上，现测得米，米，米，米，米．求的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，能找到相似三角形的条件是解题的关键．根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， , ， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 答：的长为米． 题型十五 与中位线有关的求解（共3小题） 44．如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图： ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 故选：B． 45．如图，在菱形中，，，对角线与交于点，延长到点，使得，连接，取的中点、的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的性质及正确作出辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，求出，得到是的中位线，在中，根据勾股定理求出即可得到的长． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， 为的中点， ， 如下图所示，延长到点，使，连接， 则， 是的中点， ， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 46．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，进而证明结论． 【详解】证明：∵点D、点E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 题型十六 中位线的实际应用（共3小题） 47．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：， ∴点A是中点，点B是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ． 故选：． 48．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 49．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是___________________． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 题型十七 位似图形相关（共5小题） 50．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 51．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 52．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 根据位似的性质直接判断即可. 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，、、三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 53．如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得，再由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为32， 故选：D． 54．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称图形，位似图形及它们的性质，掌握轴对称图形、位似图形及其性质是解题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出答案 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点， ∴与的相似比为：， ∴． 故答案为：． 题型十八 图形与坐标问题（共6小题） 55．学习了“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”之后，小梦对枫叶很感兴趣，于是小梦研学活动时捡了一片枫叶，如图，将该片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置． 根据点A的坐标为，点B的坐标为，确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图， 点C的坐标为． 故选：A． 56．下列数据中不能确定物体位置的是（ ） A．电影票上的“排号” B．小明住在御景华城号楼一单元号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置的确定，根据位置确定需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 【详解】解：A．电影票上的“排号”，位置明确，故本选项不符合题意； B．小明住在御景华城号楼一单元号，位置明确，故本选项不符合题意； C．南偏西，位置不明确，故本选项符合题意； D．东经，北纬的城市，位置明确，故本选项不符合题意； 故选：C． 57．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将放大后得到．点， ∴与的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵与的相似比为， 则与的面积比是， 故答案为：；． 58．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．连接，由题意得，则有，，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为； 故答案为：． 59．某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方 【分析】本题考查了平面直角坐标系的相关知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键． （1）根据B主题景区的坐标即可建立平面直角坐标系； （2）根据坐标即可求解； （3）由图即可求解； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， 由图可知：A主题景区的坐标为； （2）解：如图所示： （3）解：E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方． 60．将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查了新定义：与的“度量”，一元一次不等式组的拓展；理解新定义，能根据具体情况进行分类讨论，会解含有绝对值的不等式组是解题的关键； （1）由与的“度量”的定义，即可求解； （2）由线上与点的“度量”为2得，求出，即可求解；设直线上存在与点的“度量”为2的点为，由新定义得，可得，由即可求解； （3）由新定义可求、、、，进行分类讨论①，②，③④分别解出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：2； （2）解：由题意得： ， 过点作平行于轴的直线， 可设直线上点的坐标为， 直线上与点的“度量”为2， ， 整理得：， 解得：， 直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或； 设直线上存在与点的“度量”为2的点为， ， 整理得：， ， ， 解得：， 故的取值范围； （3）解：由题意得： ， 同理可求：， ， ， ， ①， 解得：或， ②， 解得：， ③ 解得：， ④ 解得：， 综上所述：或． $