学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（河北专用，人教版九上21～23章：一元二次方程+二次函数+旋转）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 4．二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 5．某种正方形合金板材的成本（元与它的面积成正比，设边长为厘米，当时，，那么当成本为72元时，边长为（ ） A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米 6．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．点与点关于坐标原点对称，则（    ） A．1 B． C． D．2025 9．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A． B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面的距离为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若是方程的一个实数根，则的值为 . 14．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 15．如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °． 16．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）按要求解方程： (1)（配方法）． (2)（因式分解法）． 18．（8分）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 19．（8分）若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． (1)判断一元二次方程：_______“归一方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 20．（8分）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点C1按顺时针旋转所得的．并写出点的坐标为___________． (3)在y轴上有点P，使最小，直接写出P点坐标为 ；的最小值为___________． 21．（9分）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 22．（9分）2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 23．（11分）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为． (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 24．（12分）如图，已知点，，抛物线直线． (1)如果抛物线经过点，_____； (2)如果抛物线的最高点正好落在直线上，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)嘉琪说：无论为何值，函数的最大值都是2．请你判断嘉琪的说法是否正确，并说明理由； (4)当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 试卷第2页，共19页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ☐ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[AJB][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.LA][B][C][D] 3.[A][B][C]ID] 7.[AI[B]ICIID] 11.A][B][C][D] 4.[A][B][CJ[D] 8.[AJ[B][C][D] 12.[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14. 15 16 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) E 19.(8分) 20.(8分) 6 B 3 : -654321012346 -1 -- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 8 x=2 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 43 令 边界 36 9 12 15 18 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 4．二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 5．某种正方形合金板材的成本（元与它的面积成正比，设边长为厘米，当时，，那么当成本为72元时，边长为（ ） A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米 6．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．点与点关于坐标原点对称，则（    ） A．1 B． C． D．2025 9．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A． B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面的距离为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若是方程的一个实数根，则的值为 . 14．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 15．如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °． 16．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）按要求解方程： (1)（配方法）． (2)（因式分解法）． 18．（8分）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 19．（8分）若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． (1)判断一元二次方程：_______“归一方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 20．（8分）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点C1按顺时针旋转所得的．并写出点的坐标为___________． (3)在y轴上有点P，使最小，直接写出P点坐标为 ；的最小值为___________． 21．（9分）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 22．（9分）2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 23．（11分）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为． (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 24．（12分）如图，已知点，，抛物线直线． (1)如果抛物线经过点，_____； (2)如果抛物线的最高点正好落在直线上，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)嘉琪说：无论为何值，函数的最大值都是2．请你判断嘉琪的说法是否正确，并说明理由； (4)当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B D C A A D B C C B C 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．4055 14．5 15．135 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴；······（3分） （2）解：， ， ， ， ∴．······（7分） 18．（8分） 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：；······（3分） （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴．······（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：把代入方程得，左边右边， ∴是方程的解， ∴方程是“归一方程”， 故答案为：是；······（2分） （2）解：∵为“归一方程”， ∴， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得，， 解得， ∴．······（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为．······（3分） （2）解：如图，即为所求．． ······（6分） （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点D，连接交y轴于点P，此时的值最小，最小值为的长， ∵点， ∴点， ∴； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点P的坐标为． 故答案为：，······（8分） 21．（9分） 【详解】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即， 把代入中得，解得；······（4分） （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上．······（8分） 22．（9分） 【详解】（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元．······（3分） （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）；······（4分） 根据题意，得，······（7分） 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为．······（9分） 23．（11分） 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得． 故答案为：2；······（2分） （2）球能越过球网，球会出界，理由如下：······（3分） 若，时，结合（1）可知该函数解析式为， 当时，可有， ∵， ∴球能越过球网； 当时，可有， ∵， ∴球会出界；······（7分） （3）根据当球要过网且不擦网而过时，①， 根据当球刚好落在边界时，②， 由②得③， 将③代入①得， 解得．······（11分） 24．（12分） 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得， 解得． 故答案为：；······（2分） （2）∵抛物线的最高点正好落在直线上， ∴该抛物线的对称轴为， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为；······（6分） （3）嘉琪的说法正确，理由如下：······（7分） ∵， ∴无论为何值，函数的最大值都是2， 即嘉琪的说法正确；······（9分） （4）设该抛物线与线段的交点为， 当抛物线经过点时， 由（1）可知，可有， 当抛物线经过点时， 可知， 解得， ∵， 即该抛物线对称轴为， 当该抛物线的对称轴位于点右侧时，如下图， 可有 当该抛物线的对称轴位于点左侧时，如下图， 可有， 综上所述，当或时， 抛物线与线段有公共点．······（12分） 试卷第2页，共19页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19. （8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（11分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 3．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 【答案】D 【详解】解：由题知， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根， 两根之积等于， 当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数， 故选：D． 4．二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 【答案】C 【详解】解：观察表格，对于二次函数， ∵时，；时，， 即方程一元二次方程的两根为， 把一元二次方程看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得． 故选：C． 5．某种正方形合金板材的成本（元与它的面积成正比，设边长为厘米，当时，，那么当成本为72元时，边长为（ ） A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米 【答案】A 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， ， 当时，， ． 故选：A． 6．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 8．点与点关于坐标原点对称，则（    ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【详解】解：点与点关于坐标原点对称， ∴，， 整理得， 把代入， 得， ∴ 解得 把代入， 得 ， 故选：B． 9．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A． B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面的距离为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【答案】C 【详解】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为． 选项A中，，故选项A错误； 选项B中，解析式为，故选项B错误； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误． 故选C． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 11．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 12．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，则， ∴， 由旋转可知，， ∵D是的中点， ∴， 在中，利用三角形三边关系可得（当B，C，D三点共线时取等号）， ∴， ∴的最大值为8， 故选：C． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若是方程的一个实数根，则的值为 . 【答案】4055 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 14．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【答案】5 【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 15．如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °． 【答案】135 【详解】解：连接． ∵绕点顺时针旋转到， ， 是直角三角形． ∵由旋转性质可知，与全等， ，． ． ∵，，， ， 是直角三角形， ， ． 故答案为：135． 16．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， ∴设二次函数解析式为：，将点代入得， ， 解得：, ∴二次函数的解析式， 将点,代入直线，得， ∴直线解析式为， ∵ 是线段 上的一个动点， 设， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵，， 当时，线段 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）按要求解方程： (1)（配方法）． (2)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴；······（3分） （2）解：， ， ， ， ∴．······（7分） 18．（8分）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1)(2)5 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：；······（2分） （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴．······（6分） 19．（8分）若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． (1)判断一元二次方程：_______“归一方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 【答案】(1)是； (2)，． 【详解】（1）解：把代入方程得，左边右边， ∴是方程的解， ∴方程是“归一方程”， 故答案为：是；······（2分） （2）解：∵为“归一方程”， ∴， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得，， 解得， ∴．······（8分） 20．（8分）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点C1按顺时针旋转所得的．并写出点的坐标为___________． (3)在y轴上有点P，使最小，直接写出P点坐标为 ；的最小值为___________． 【答案】(1)图形见解析， (2)图形见解析， (3)， 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为．······（3分） （2）解：如图，即为所求．． ······（6分） （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点D，连接交y轴于点P，此时的值最小，最小值为的长， ∵点， ∴点， ∴； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点P的坐标为． 故答案为：，······（8分） 21．（9分）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 【答案】(1)； (2)；点在平移后的抛物线上 【详解】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即， 把代入中得，解得；······（4分） （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上．······（8分） 22．（9分）2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【答案】(1)每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． (2) 【详解】（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元．······（3分） （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）；······（4分） 根据题意，得，······（7分） 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为．······（9分） 23．（11分）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为． (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)球能越过球网，球会出界，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得． 故答案为：2；······（2分） （2）球能越过球网，球会出界，理由如下：······（3分） 若，时，结合（1）可知该函数解析式为， 当时，可有， ∵， ∴球能越过球网； 当时，可有， ∵， ∴球会出界；······（7分） （3）根据当球要过网且不擦网而过时，①， 根据当球刚好落在边界时，②， 由②得③， 将③代入①得， 解得．······（11分） 24．（12分）如图，已知点，，抛物线直线． (1)如果抛物线经过点，_____； (2)如果抛物线的最高点正好落在直线上，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)嘉琪说：无论为何值，函数的最大值都是2．请你判断嘉琪的说法是否正确，并说明理由； (4)当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 (4)或 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得， 解得． 故答案为：；······（2分） （2）∵抛物线的最高点正好落在直线上， ∴该抛物线的对称轴为， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为；······（6分） （3）嘉琪的说法正确，理由如下：······（7分） ∵， ∴无论为何值，函数的最大值都是2， 即嘉琪的说法正确；······（9分） （4）设该抛物线与线段的交点为， 当抛物线经过点时， 由（1）可知，可有， 当抛物线经过点时， 可知， 解得， ∵， 即该抛物线对称轴为， 当该抛物线的对称轴位于点右侧时，如下图， 可有 当该抛物线的对称轴位于点左侧时，如下图， 可有， 综上所述，当或时， 抛物线与线段有公共点．······（12分） 试卷第2页，共19页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $