17.1用提公因式法分解因式（4大题型）（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

17.1用提公因式法分解因式（原卷版） 目 录 类型一、判断是否是因式分解 1 类型二、公因式 2 类型三、已知因式分解的结果求参数 3 类型四、提公因式法分解因式 3 类型一、判断是否是因式分解 1．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中属因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 9．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 10．下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 类型二、公因式 11．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 12．下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 13．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 14．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 15．在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 16．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 17．多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 18．和的公因式为 ． 19．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 20．与的公因式是 ． 21．多项式的公因式是 ． 22．对多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 22．多项式的公因式是 ． 23．多项式中各项的公因式是 ． 类型三、已知因式分解的结果求参数 24．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 25．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 27．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 28．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 29．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 31．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 32．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 33．已知是多项式的因式，则 ， ． 34．已知可以因式分解为，求的值． 类型四、提公因式法分解因式 35．因式分解： ． 36．若，，则的值是 ． 37．若，则的值是 ． 38．已知，，则的值为 39．分解因式： ． 40．分解因式． 41．已知，求的值． 42．因式分解： 43．因式分解： 44．利用因式分解计算：． 45．因式分解： (1)； (2)． 46．分解因式： (1)； (2)． 47．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．分解因式： (1)； (2)． 49．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 50．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知：，则 ． 3．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 1．化简，结果为 ． 2．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 4．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 5．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1用提公因式法分解因式（解析版） 目 录 类型一、判断是否是因式分解 1 类型二、公因式 5 类型三、已知因式分解的结果求参数 8 类型四、提公因式法分解因式 11 类型一、判断是否是因式分解 1．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是明确因式分解的定义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【详解】解：是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意； 符合因式分解的定义，则B符合题意； 中，等号右边不是积的形式，则C不符合题意； 是乘法运算，不是因式分解，则D不符合题意； 故选：B． 3．下列多项式中属因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、左边不是一个多项式，不属于因式分解； B、D中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解； C、，正确． 故选：C． 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解，解题关键是掌握因式分解的意义并能熟练运用求解． 根据因式分解的意义，对四个式子逐一作出分析，再作出判断即可． 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故A不符合； B、右边是整式的积，是因式分解，故B符合； C、，右边不是整式的积，不是因式分解，故C不符合； D、，右边不是整式的积，不是因式分解，故D不符合， 故选：B． 5．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，是因式分解，故不符合题意； B、，是因式分解，故不符合题意； C、，是因式分解，故不符合题意； D、的右边不是整式，不是因式分解，故符合题意； 故选D． 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】A：等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B：该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C：变形结果中含有分式，不符合因式分解的定义，不符合题意； D：等式右边是几个整式积的形式，并且左边等于右边，是因式分解，符合题意； 故选：D． 7．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式积的形式，故是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、因为 ，所以该等式不成立，不是正确的变形，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 8．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； B．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； C．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； D．等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确． 故选D． 9．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 10．下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 类型二、公因式 11．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 12．下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了公因式，根据公因式的定义先找出和的最大公因式，进而可得答案． 【详解】解：，， ∴、、5是和的公因式，不是和的公因式， 故选：A． 13．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 14．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可． 【详解】解：A、与b有公因式b，故本选项不符合题意； B、与无公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式2，故本选项不符合题意． 故选：B． 15．在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 16．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 17．多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 18．和的公因式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 19．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 20．与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了公因式，解题的关键是掌握公因式的定义． 将原式进行因式分解，然后确定公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 21．多项式的公因式是 ． 【答案】mn/ 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 22．对多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．由此可解． 【详解】解：4和10的最大公因数是2，字母a的指数最小为2，字母b的指数最小为1， 对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 22．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 23．多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 类型三、已知因式分解的结果求参数 24．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 25．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 27．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 28．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 29．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 30．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 31．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 32．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解的定义等知识点，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后进行比较得到a与b的值即可解答． 【详解】解：， ∵关于x的二次三项式因式分解的结果是， ∴。 故答案为：。 33．已知是多项式的因式，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，根据是多项式的因式，可得当时，的值也为0，令，，原多项式为，则，解得；当，时，原多项式为，则，解得． 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 34．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 类型四、提公因式法分解因式 35．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，和的公因式为；熟练掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 36．若，，则的值是 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，代数式的值，运用整体代入法，关键是正确分解因式． 首先提公因式进行分解，再代入，即可． 【详解】解：，， ， 故答案为． 37．若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可． 利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 38．已知，，则的值为 【答案】34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 39．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 40．分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 41．已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值和因式分解的应用．利用因式分解把分解为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 42．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握找出式子的公因式并正确提取是解题的关键．先将式子中的和看作整体，然后通过提取公因式的方法对式子进行因式分解，解题思路是先找出公因式，再利用提取公因式法化简式子． 【详解】解： ． 43．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握将式子中的部分内容进行变形以找出公因式是解题的关键． 先将式子中的转化为，然后提取公因式来进行因式分解，解题思路是通过变形统一式子中的相同部分，再找出公因式进行提取． 【详解】解： ． 44．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．将原式利用提公因式法分解因式，可得，然后再次提取公因式法，可得答案． 【详解】解：原式 ． 45．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 46．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式． （1）根据提取公因式法分解因式即可． （2）根据提取公因式法分解因式即可． （3）根据提取公因式法分解因式即可． （4）根据提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 48．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 50．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键． 先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解：． 故选：C ． 2．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简与约分，提取公因式以及观察代数式规律的技巧，将分式化简是解决本题的关键． 将分子和分母中的大数分解为乘积形式，提取公因数，化简a，b与c，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 故答案为： ． 3．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 1．化简，结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的因式分解能力．特别是对复杂三次多项式的处理技巧． 发现表达式的对称性，并通过巧妙的展开或变量替换简化计算． 【详解】解：当时， ， ∴原多项式含有因式，即含有因式， 同理，原多项式含有因式和， 又∵原式是三次对称式， ∴化简后结果不超过三次， ∴设， 令，，， ∴， 解得． ∴结果为． 故答案为：． 2．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 4．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 5．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 【答案】(1)1001，9999 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用提取公因式的方法提出11是本题的一个关键，此外，关于数字取值范围的判断也是一个关键之处． （1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，不难得到1001和9999这两答案； （2）可以设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了． 【详解】（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字尽可能在0-9这10个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999． （2）证明：设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为， 个位数字为，百位数字为， 依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为： ， 为整数， 是11的倍数， 任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $