专题07 二次根式的概念与性质（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题07 二次根式的概念与性质 考点01 求二次根式的值 1 考点02 求二次根式中的参数 1 考点03 二次根式有意义的条件 1 考点04 利用二次根式的性质化简 2 考点05 最简二次根式的判断 3 考点06 化为最简二次根式 3 考点07 已知最简二次根式求参数 4 考点01 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为 ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 考点02 求二次根式中的参数 6．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是 ． 8．（20-21八年级上·山西临汾·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10． （24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 考点03 二次根式有意义的条件 11． （25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）成立的条件是（    ） A． B．且 C． D． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 考点04 利用二次根式的性质化简 16．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）；④（   ） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 18．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 19．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，的位置如图所示，求的值． 20．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简： 考点05 最简二次根式的判断 21．（25-26八年级上·全国·课前预习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 25．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 考点06 化为最简二次根式 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 30．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点07 已知最简二次根式求参数 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 32．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 33．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 34．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式的概念与性质 考点01 求二次根式的值 1 考点02 求二次根式中的参数 2 考点03 二次根式有意义的条件 4 考点04 利用二次根式的性质化简 6 考点05 最简二次根式的判断 10 考点06 化为最简二次根式 11 考点07 已知最简二次根式求参数 14 考点01 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【规范解答】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【规范解答】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【规范解答】解：当时， 故答案为： 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【规范解答】解：当时， ． 故答案为：3． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【规范解答】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 考点02 求二次根式中的参数 6．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【规范解答】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【规范解答】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 8．（20-21八年级上·山西临汾·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【规范解答】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【规范解答】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 10．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【规范解答】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 考点03 二次根式有意义的条件 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值． 【答案】的值为 【思路引导】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，结合已知可得的值，从而可得的值，代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． ∴的值为． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 【答案】（1）1；（2） 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算； （2）根据二次根式的性质化简运算即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）∵， 若，则， 该方程无解，故不成立，则， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴把代入或运算解得：或， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）成立的条件是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．观察等式左边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的取值范围即可． 【规范解答】解：∵等式成立， ∴， ∴． 故答案选：D． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：B． 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）由二次根式定义可得，进而得到，代入代数式求值即可得到答案； （2）由绝对值非负性、二次根式非负性及非负数之和为的条件得到、的值，代入代数式求值进而得到该数的算术平方根即可得到答案． 【规范解答】解：（1）已知为实数，若满足， ，且， 则； 当时，则； ； （2）实数、满足等式，且、， 且， 解得，， ， 则的算术平方根为． 【考点评析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、绝对值非负性、二次根式非负性、非负数之和为的条件、算术平方根等知识，熟记二次根式有意义的条件、非负数之和为的条件、算术平方根等知识是解决问题的关键． 考点04 利用二次根式的性质化简 16．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）；④（   ） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围： ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 【答案】（1）①√，②√，③√，④√；（2）（n为大于1的自然数）；（3）见解析 【思路引导】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）分别化简等号的左右两边的二次根式，再判断即可； （2）观察各式即可得出规律； （3）先计算等号左边被开方数中的分式加法，再利用二次根式的性质化简证明即可． 【规范解答】解：（1）①，， ∴， 故答案为：√； ②，， ∴， 故答案为：√； ③，， ∴， 故答案为：√； ④，， ∴ 故答案为：√； （2）可得规律为：，其中n为大于1的自然数； （3）（n为大于1的自然数）． 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，整理得，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 则 当时，则； 当时，则； 故选：C 18．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3）71 【思路引导】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【规范解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，的位置如图所示，求的值． 【答案】 【思路引导】根据数轴可知，，求出，，，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【规范解答】解：根据题意，得，， ∴，，， ∴ ． 【考点评析】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 20．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简： 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一化简再运算即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 考点05 最简二次根式的判断 21．（25-26八年级上·全国·课前预习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【规范解答】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 22．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【规范解答】解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②． 选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②． 选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①． 故选：A． 23．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母或分母不含根号．逐一分析各选项即可． 【规范解答】选项A：被开方数含完全平方因数，可化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 选项B：．被开方数无法分解为完全平方形式，且无分母，满足最简条件，故符合题意． 选项C：．被开方数含完全平方因数，可化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 选项D：．被开方数含分母，需化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 故选：B． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，逐一分析选项即可． 【规范解答】解：A项：，被开方数是分数，不满足最简二次根式的被开方数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； B项：被开方数6是整数，且6不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，所以是最简二次根式，符合题意； C项：，被开方数32含有能开得尽方的因数16，不满足最简二次根式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； D项：被开方数是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：B． 25．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义． 利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意； D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 考点06 化为最简二次根式 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行化简即可； （2）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （3）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （4）根据二次根式的除法法则进行化简即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 27．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【规范解答】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 28．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 30．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把27写成，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以5，然后化简； （4）先把分母化简，然后分子分母同乘以，然后化简． 【规范解答】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 考点07 已知最简二次根式求参数 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【规范解答】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 32．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【规范解答】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【规范解答】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 34．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【规范解答】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $