专题05 整数指数幂（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题05 整数指数幂 考点01 同底数幂的除法运算 1 考点02 同底数幕除法的逆用 2 考点03 零指数冪 3 考点04 负整数指数冪 5 考点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数 6 考点06 还原用科学记数法表示的小数 7 考点07 整数指数幕的运算 7 考点01 同底数幂的除法运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有理数满足，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：一般地，如果，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下： 设，则， ． 由对数的定义，得． 又， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①______，②______，③______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 考点02 同底数幕除法的逆用 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，且，． (1)求的值； (2)若，求的值． 7．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）求下列代数式的值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 考点03 零指数冪 9．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 10．（2024·云南·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中计算正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②④⑤ 11．（24-25八年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 12．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)；（用整式乘法公式计算） (4)． 考点04 负整数指数冪 13．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）下列算式： ①；②；③；④； 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：． （2）下面是小逸同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 ．……第七步 任务一： ①上面的化简步骤中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 15．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1) (2)． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 考点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 18．（24-25七年级下·四川成都·期末）2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 19．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 20．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 考点06 还原用科学记数法表示的小数 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化为小数是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·四川成都·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 24．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 考点07 整数指数幕的运算 25．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）计算： (1) (2) 26． （25-26八年级上·全国·课后作业）已知a为有理数，试比较的大小． 27．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 28．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算： (1)． (2) 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整数指数幂 考点01 同底数幂的除法运算 1 考点02 同底数幕除法的逆用 3 考点03 零指数冪 6 考点04 负整数指数冪 9 考点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数 11 考点06 还原用科学记数法表示的小数 13 考点07 整数指数幕的运算 14 考点01 同底数幂的除法运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法和同底数幂的乘法，熟练掌握并运用该定理是解决本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判定即可． 【规范解答】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、，该选项正确，不符合题意； C、，该选项正确，不符合题意； D、，该选项错误，符合题意； 故选D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有理数满足，则的值为 ． 【答案】27 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，然后将转化成，即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， 故答案为：27． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 【答案】(1)；；； (2)见解析． 【思路引导】本题考查幂的运算性质，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据规定的运算即可求得答案； （2）设，，，然后利用同底数幂除法法则进行说明即可． 【规范解答】（1）解：，，， ，，， 故答案为：；；； （2）证明：设，，， 那么，，， 则， 即， 那么， 即． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：一般地，如果，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下： 设，则， ． 由对数的定义，得． 又， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①______，②______，③______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 【答案】(1)①，②，③ (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查幂的乘方，对数的定义和运算性质． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）根据对数的定义进行求解即可； （3）利用（2）进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①，②，③； （2）证明：设，则， ， 由对数的定义，得， 又， ； （3）解：． 考点02 同底数幕除法的逆用 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【思路引导】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【规范解答】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 6．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，且，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)15 【思路引导】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法与除法的逆运算； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）由可得，再整体代入进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）求下列代数式的值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)3 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则分别计算即可求出的值． 【规范解答】（1）解：∵， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)20 (2) 【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的乘法和乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 考点03 零指数冪 9．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算以及分式乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方、负整数指数幂、算术平方根、零次幂，再运算加减，即可作答． （2）先通分，然后计算加减法即可； （3）先计算幂的乘方运算，然后计算分式的乘除法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（2024·云南·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中计算正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【思路引导】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式、积的乘方以及合并同类项的运算，分别根据负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的运算法则，对每个式子进行计算，判断其正确性，即可解答． 【规范解答】解：①，错误． ②任何非零数的0次方都为1，，正确． ③，错误． ④，正确． ⑤，正确． 所以②④⑤正确， 故选D． 11．（24-25八年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了幂的运算，分式的运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义等计算即可； （2）根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、合并同类项法则等计算即可； （3）根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则、负整数指数幂的意义等计算即可； （4）根据同分母的分式相加减法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)；（用整式乘法公式计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根、绝对值，平方差与完全平方公式： （1）先计算乘方，零次幂，绝对值，再进行加减运算； （2）先计算算术平方根、乘方、立方根，再去绝对值，进行加减运算； （3）利用平方差公式计算； （4）利用完全平方公式计算． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点04 负整数指数冪 13．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）下列算式： ①；②；③；④； 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了负整数指数幂、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，关键是熟练掌握课本基础知识．根据负整数指数幂的计算公式可得①错误；根据积的乘方的计算公式可得②错误；根据平方差公式可得③错误；根据完全平方公式可得④错误． 【规范解答】解：①故原题计算错误； ②故原题计算错误； ③，故原题计算错误； ④，故原题计算错误； 故选：A ． 14．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：． （2）下面是小逸同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 ．……第七步 任务一： ①上面的化简步骤中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】（1）；（2）任务一：①一，分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）；②三，去括号时，去括号后应为而不是．任务二：． 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、负整数次幂、分式的混合运算、分式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用有理数乘方、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）任务一；①运用分式的基本性质即可解答；②根据去括号法则计算解答；任务二：直接运用分式的混合运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）任务一： ①第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）． 故答案为：一，分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，去括号后应为而不是． 故答案为：三，去括号时，去括号后应为而不是． 任务二： 解： ． 15．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算．熟记运算法则，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再根据运算法则，先乘方，再乘法最后进行加法运算即可； （2）先计算算术平方根、立方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减法运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了分式的乘除运算，负整数指数幂； （1）先算乘方，再化简求出即可； （2）首先将分子与分母因式分解，再利用分式除法运算法则进而化简求出即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 考点05 用科学记数法表示绝对值小于1的数 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（24-25七年级下·四川成都·期末）2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路引导】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【规范解答】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 19．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2) ， (3) 【思路引导】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 20．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了用科学记数法表示一个较小的数、有理数的除法，已知头发丝直径为毫米，超薄金属厚度为其二十万分之一，首先通过有理数的除法计算出超薄金属的厚度，再用科学记数法表示． 【规范解答】解：头发丝直径为毫米， 超薄金属厚度为：． 超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米． 故选：A． 考点06 还原用科学记数法表示的小数 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查将用科学记数法表示的数化为原数；对于，当是负整数时，把的小数点向左移动位，位数不够时，用0补足即可． 【规范解答】解：． 故选：B． 22．（2025·四川成都·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 23．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 【答案】 【思路引导】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，则，，进行作答即可． 【规范解答】解：，， 故答案为：， 24．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 将的小数点向左移动5位即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 考点07 整数指数幕的运算 25．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查同底数幂的运算，整数指数幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的运算法则和整数指数幂的运算法则是解题的关键； （1）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先利用整数指数幂化简，再计算． 【规范解答】（1）解： ， ； （2） ， ， ， ． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知a为有理数，试比较的大小． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了负整数指数幂，零指数幂的运算法则，有一定难度，解决本题的关键是对的取值范围分类讨论. 因为为有理数，且未知，所以需要确定的取值范围，再分类讨论比较大小. 【规范解答】解：． 分以下几种情况讨论： ①当时，，所以． ②当时，，所以． ③当时，，所以． ④当时，三个式子都没有意义． ⑤当时，，所以． ⑥当时，，所以． ⑦当时，，所以． 27．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含负整数指数幂的运算，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂和乘方，再尽心加减计算； （2）分别计算负整数指数幂，幂的、积的乘方运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 28．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算： (1)． (2) 【答案】(1)8 (2)4 【思路引导】本题考查了整数指数幂的运算法则，平方差公式，掌握相关公式并灵活运用是解题的关键； （1）利用整数指数幂的运算法则，绝对值的意义化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式计算． 【规范解答】（1）， ， ． （2）， ， ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $