精品解析：重庆市育才中学校等三校2025-2026学年高三上学期10月联合诊断性考试数学试题

育才·鲁巴·万中高2026届高三(上)10月联合诊断性考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由 整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用补集运算和并集运算直接得到结果. 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据绝对值的性质可得，由此可判断A，对于B，根据余弦函数的性质可得对于，，由此可判断B，对于C，结合基本不等式证明，由此可判断C，对于D，结合配方法可证明，由此可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，，故B错误， 对于C，因为，，当且仅当时等号成立，故C错误， 对于D，因为，，故D错误， 故选：A. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合对钩函数、幂函数、正弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为函数在区间上单调递减，所以本选项不符合题意； B：因为，所以该函数是非零实数集上的偶函数，因此不符合题意； C：因为，所以该函数是实数集上的偶函数，因此不符合题意； D：因为，， 所以是实数集上的奇函数，且在区间上单调递增，符合题意， 故选：D 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案. 【详解】因为，由三角函数线的图像 可知，则 故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 6. 底面半径为1的圆锥，其轴截面中两条母线的夹角为钝角，那么其侧面展开所得扇形的面积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据轴截面中母线夹角为钝角的条件，确定母线长的范围；再利用圆锥侧面展开扇形面积公式，求出面积的范围；最后将选项中的面积值与该范围对比，即可得出正确答案. 【详解】根据题意作图，设圆锥的母线长为，已知圆锥底面半径，由题意圆锥轴截面中两条母线的夹角为钝角， 而当轴截面中两条母线的夹角为直角时，根据勾股定理，此时母线长，所以要使夹角为钝角， 则需.又圆锥侧面展开所得扇形的面积，所以. 选项A，，不在范围内，所以A错误； 选项B，，不在范围内，所以B错误； 选项C，，不在范围内，所以C错误； 选项D， ，在范围内，所以D正确. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 8. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意对参数范围分类讨论，先排除，在时利用导数推出恒成立，再得到恒成立，最后得到，求解的取值范围即可. 【详解】由题意得的定义域为，， 则，， 当时，恒成立，可得在上单调递增，可得在上为正数， 此时不满足恒成立，故排除， 当时，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得， 若恒成立，则恒成立即可，可得， 令，，即求恒成立即可， 而，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得，故恒成立， 得到恒成立，解得， 则的取值范围是，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 已知角的终边过点，则 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由角所在的象限判断三角函数值的符号；B选项，由诱导公式和两角和的余弦公式化简求值；C选项，由三角函数的定义求解；D选项，由正弦曲线对称中心的性质求解. 【详解】对于A，，；，，， 所以，故A选项正确； 对于B，， 故B选项错误； 对于C，角的终边过点，有，， 则，故C选项正确； 对于D，当时，， 点不是函数图象的对称中心，故D选项错误. 故选：AC. 10. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 恰有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，利用函数奇偶性求函数解析式和函数值；C选项，由函数解析式求函数值比较大小；D选项，结合函数单调性和零点存在定理即可判断函数零点个数. 【详解】是定义在R上的奇函数，且当时，， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，，，， 故，即，故C错误； 对于D，时，，， 则由可得或；由可得， 故在和上单调递增，在上单调递减， ，，， 可知在上有且只有一个零点， 又是定义在R上的奇函数，则在上有一个零点，且， 所以恰有3个零点，故D正确. 故选：ABD 11. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. △ABD的面积的最大值为 C. 若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D. BD的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，再由求最小值判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，△ABC为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， 由于， 所以的面积的最大值为，故选项B错误； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故，选项C正确； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数换底公式将不同底数的对数转化为相同底数的对数，再结合对数运算性质进行化简；利用指数运算性质对指数部分进行化简，最后进行计算即可. 【详解】根据题意，原式. 故答案为：. 13. 已知函数，则的最大值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】结合题意求出，再利用同角三角函数的基本关系和换元法得到，最后结合二次函数的性质求解最大值即可. 【详解】由题意得，可得，解得， 则， 令，因为，所以， 则原函数可化为，由二次函数性质得其对称轴为，且图象开口向下， 可得，即的最大值为. 故答案为： 14. 勾股数是指一组能构成直角三角形边长的正整数，即已知有三个三角形的边长均为勾股数，其中两个三角形的三边长为和，若这三个三角形的最小角之和恰为，则第三个三角形周长的最小值为______. 【答案】154 【解析】 【分析】设这三个三角形的最小角分别为，则结合利用正整数来表示第三个三角形的三条边，进而可得结果. 【详解】设这三个三角形的最小角分别为，则， 由两个三角形的三边长为和，可知和. . 假设第三个直角三角形的一条直角边和斜边分别为， 则另一条直角边为. 所以第三个三角形的周长为， 因为，所以时，第三个三角形周长的最小值为154. 故答案为：154 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 （1）求边BC的长度； （2）若的外接圆直径求△ACD的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可； （2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长. 【小问1详解】 由为的角平分线及，知. ，即，得. . 故边BC的长度为. 【小问2详解】 由的外接圆直径，得，则. 由余弦定理知，， 设，则，即， ，解得（舍去）或，则. 所以△ACD的周长为. 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接点与的中点，连接， 又为的中点，则为的中位线，则且， 又，三棱柱中，，即， 则且，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 故平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，结合中位线与平行四边形性质可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）可建立适当空间直角坐标系后，求出平面法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，、平面， 则，，又， 则、、两两垂直，故以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、， 则、、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】（1），具有很强的正线性相关关系； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得. 【小问1详解】 ，， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； 【小问2详解】 九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，其长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，线段的中点为，的重心为. （1）求椭圆的方程； （2）若，和面积分别为，. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）椭圆的方程为； （2）（i）的取值范围为，（ii）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由条件，根据长轴长的定义，离心率的定义及的关系列方程，解方程求可得椭圆方程， （2）（i）设直线的方程为：，联立直线和椭圆的方程，消可得，设，，由根与系数关系可求，由，可得，由此可得，解不等式可求的取值范围； （ii）先求，由此可得，由函数的单调性可求的取值范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由已知可得，且，解方程得， 所以椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 由（1）椭圆的标准方程为， 所以点的坐标为，点的坐标为， （i）由已知直线的斜率不为，故设直线的方程为：， 联立，消可得， 方程的判别式， 设，，其中，， 由已知，， 由于，所以， 所以，即， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为， （ii）因为点为线段的中点，所以， 因为点为的重心，所以， 所以 ， 因为点为的重心，所以， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 给定函数，若曲线上存在个不同的点满足曲线在这k个点处的切线重合，则称集合为函数所对应的一个"k重切点集". （1）函数，求出对应的一个"2重切点集"； （2）函数，求出对应的一个"4重切点集"； （3）函数，是否存在对应的"k重切点集"，如果有，请写出；如果没有，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或，（写出其中一个即可）； （3） 不存在，理由如下： 假设存在满足条件的"k重切点集"， 先考虑时，， 因为，所以， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 注意到，当时，，当时，， 不妨设，由知，， 因为在处的切线方程为， 即， 因为在处的切线重合， 所以， 故， 即， 即， 因为，所以， ，即， 由两边同乘以，得 ， 令，， 因为，所以，即， 因为， 所以，且， 由得，代入得，故， 两边取对数得，即， 令，所以， 所以在上单调递增，故，故无解， 所以不存在满足条件，故不存在满足条件的"2重切点集"， 更不存在满足条件的"k重切点集". 【解析】 【分析】（1）分和，写出解析式并分别求导，注意到，且，所以函数在点处的切线方程相同，得到； （2）三角恒等变换得到，令，得到对应的"4重切点集"，同理可令，再得一个对应的"4重切点集"； （3）假设存在满足条件的"k重切点集"，先考虑时，二次求导，得到的单调性，设，根据在处的切线重合得到方程，换元得到，且，变形得到，令，求导得到单调性，无解，故不存在满足条件的"2重切点集"，更不存在满足条件的"k重切点集". 【小问1详解】 定义域为R， 当时，，则， 当时，，则， 注意到，且， 所以在点处的切线方程相同，均为直线， 所以对应的一个"2重切点集"为； 【小问2详解】 ， 令，得， 又因为，令，解得， 此时为曲线的一条切线， 对应的"4重切点集"为； 同理，令，得， 又因为，令，解得， 此时为曲线的一条切线， 对应的"4重切点集"为； 综上，对应的"4重切点集"为或，（写出其中一个即可）； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才·鲁巴·万中高2026届高三(上)10月联合诊断性考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由 整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 底面半径为1的圆锥，其轴截面中两条母线的夹角为钝角，那么其侧面展开所得扇形的面积可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 已知角的终边过点，则 D. 函数的图象关于点中心对称 10. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 恰有3个零点 11. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. △ABD的面积的最大值为 C. 若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D. BD的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 13. 已知函数，则的最大值为______. 14. 勾股数是指一组能构成直角三角形边长的正整数，即已知有三个三角形的边长均为勾股数，其中两个三角形的三边长为和，若这三个三角形的最小角之和恰为，则第三个三角形周长的最小值为______. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 （1）求边BC的长度； （2）若的外接圆直径求△ACD的周长. 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，其长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，线段的中点为，的重心为. （1）求椭圆的方程； （2）若，和面积分别为，. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 19. 给定函数，若曲线上存在个不同的点满足曲线在这k个点处的切线重合，则称集合为函数所对应的一个"k重切点集". （1）函数，求出对应的一个"2重切点集"； （2）函数，求出对应的一个"4重切点集"； （3）函数，是否存在对应的"k重切点集"，如果有，请写出；如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $