2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册期中考点通关训练之二次函数

期中考点通关训练之二次函数2025-2026学年 人教版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 2.若是二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知是关于x的二次函数，那么m的值为______ 4．关于的抛物线经过原点，则 ． 考点二：二次函数的图像和性质 5.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 6.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 7.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 8．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 9.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 10．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 11．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 12.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 考点三：二次函数的图像与系数的关系 13．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是(　　) A． B． C． D． 14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15.二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：其中正确的结论个数是（    ） ①；②；③；④一元二次方程没有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 18.抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四：二次函数的图像平移 19.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 20.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 21.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 22.将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　） A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2 23.把函数y＝(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为(　　) A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3 24.如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 25.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 考点五：二次函数与坐标轴交点问题算 26．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 27.若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 28．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 29.已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 30．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 考点六：二次函数与一次函数 31.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（       ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 32.当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（    ） A．B．C．D． 33.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 34.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（     ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 35.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A． B．C．D． 36．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（       ） A． B． C． D． 考点七：二次函数与不等式 37.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 38.图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 39.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式ax2-mx≥n-c的解集是（     ） A．x≥2 B．-1<x<2 C．-1≤x≤2 D．x≤-1或x≥2 40．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 41.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 考点八：二次函数应用题 42．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 43．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 44．在2025年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 45．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 46．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 47.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 48.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 49.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？ 考点九：二次函数与几何综合问题 50.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴 是x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】 期中考点通关训练之二次函数2025-2026学年 人教版九年级上册 考点一：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若是二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.已知是关于x的二次函数，那么m的值为______ 【答案】2 4．关于的抛物线经过原点，则 ． 【答案】 考点二：二次函数的图像和性质 5.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 【答案】A 6.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 7.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 【答案】B 8．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 【答案】D 9.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 10．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 11．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 【答案】a1＞a2＞a3 12.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 考点三：二次函数的图像与系数的关系 13．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 15.二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 16.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：其中正确的结论个数是（    ） ①；②；③；④一元二次方程没有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 17.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 18.抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 考点四：二次函数的图像平移 19.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 20.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 【答案】B 21.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】D 22.将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　） A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2 【答案】A 23.把函数y＝(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为(　　) A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3 【答案】C 24.如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 【答案】y＝x2+3． 25.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 【答案】## 考点五：二次函数与坐标轴交点问题算 26．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 27.若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 【答案】D 28．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 【答案】A 29.已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 【答案】D 30．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 考点六：二次函数与一次函数 31.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（       ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 32.当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 33.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 34.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（     ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【答案】A 35.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A． B．C．D． 【答案】C 36．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 考点七：二次函数与不等式 37.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 38.图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【答案】D 39.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式ax2-mx≥n-c的解集是（     ） A．x≥2 B．-1<x<2 C．-1≤x≤2 D．x≤-1或x≥2 【答案】C 40．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 41.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 考点八：二次函数应用题 42．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 43．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 【答案】D 44．在2025年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 【答案】B 45．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 【答案】27.5． 46．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 47.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 48.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 当小球运动的时间是时，小球回落到地面处； 【小问2详解】 解：， 当时，最大，为， 小球再运动过程中点额最大高度为． 49.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？ 【答案】（1） 解：设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售件，根据题意得： 解之得：， 根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元 答：每件衬衫应降价20元； （2） 解：设每天利润为w元，每件衬衫降价a元，则商场平均每天可销售件，根据题意得： 商场每天盈利w= ∵-2＜0 ∴抛物线开口向下 ∴当x=15时，w有最大值，w的最大值为1250 ， 所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元， 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多． 考点九：二次函数与几何综合问题 50.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴 是x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)由题意得，， 解得b=4，c=3， ∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3； (2)∵点A与点C关于x=2对称， ∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3，0)， y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0，3)， ∴设直线BC的解析式为：y=kx+b， ， 解得，k=﹣1，b=3， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 则直线BC与x=2的交点坐标为：(2，1) ∴点P的交点坐标为：(2，1)． 51.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) 解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； (2) 解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； (3) 解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $