小题训练5（函数的基本性质）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练5（函数的基本性质） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得函数关于对称，在上单调递减，进而可得，即得. 【详解】∵为偶函数， ∴，即函数关于对称， 又函数在上单调递增， ∴函数在上单调递减， 由，可得， 整理得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 2．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用已知条件易得是周期为的奇函数，且是一条对称轴，再结合各项判断是否一定有成立即可. 【详解】由题设，即， 所以是周期为的奇函数，且是一条对称轴， 当时，则，，不符合 当时，则且，不符合； 当时，则，，故； 当时，则且，不符合； 故选：C 3．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD 【详解】为奇函数，， 又为偶函数，，故A项错误. 即函数的周期为4， 即C项错误. 由，令，得， 即B项错误. 又， 所以D项正确. 故选：D 4．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（    ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【分析】依题意取特值即可求解. 【详解】令，得，∴； 令，得，∴； 令，得， ∴的图象关于直线关于对称， 故选：B. 5．已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 6．已知函数满足．当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以是以6为周期的函数， 所以 ， 故选：C. 7．设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围. 【详解】因为当时，；， 所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍. 当时，，， 故当时，对任意，不成立， 当时，， 同理当时，， 以此类推，当时，必有. 函数和函数的图象如图所示： 因为当时，， 令，解得，（舍去）， 因为当时，成立，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点. 二、多选题 9．已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 10．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 【答案】AB 【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确. 【详解】在中，令，得， 又函数是R上的奇函数，所以，故A正确； 因为，故是一个周期为的奇函数， 因为是的对称中心， 所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确； 作出函数的部分图象如图所示， 易知函数在上不具单调性，故C不正确； 函数在上有个零点，故D不正确. 故选：AB. 11．已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可. 【详解】由可得函数关于中心对称， 且，又因为为偶函数， 所以，令等价于，所以 可知函数关于轴对称，再令替换，所以， 所以知，， ，所以，即是函数的周期， 由，令，则，故A正确； 因为，由已知条件无法求出，故C不正确； 由可得，所以B不正确； 由可得与关于中心对称， 所以是函数的周期，，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键. 三、填空题 12．已知，函数在上的最小值为2，则实数 . 【答案】1 【分析】利用导数分类为与讨论，得出在上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案. 【详解】， ， 当时，即时， 则在上恒成立，则在上单调递增， 在上的最小值为，解得， 当时，即时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在上的最小值为，舍去， 综上所述：， 故答案为：1. 13．设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，且是偶函数， 所以， 所以，即， 故是4为周期的周期函数，且有， 则. 故答案为： 14．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练5（函数的基本性质） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 4．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（    ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 5．已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知函数满足．当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 10．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 11．已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，函数在上的最小值为2，则实数 . 13．设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 14．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $