小题训练3（基本不等式）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练3（基本不等式） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式. 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 2．已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， ，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5．在直角中，是直角，斜边为，两直角边为､，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出的范围，即可求出的范围. 【详解】，当且仅当时等号成立， ∴， ∴. 故选：B. 6．若、都有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】显然不满足等式，所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错； ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错. 故选：A. 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 8．已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解． 【详解】由得，， 所以，即， 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，当且仅当，即时，等号成立， 故选：A． 【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值． 二、多选题 9．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可. 【详解】选项A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C：因为, ,，故C错误； 选项D：因为, ,,故D错误． 故选:AB． 10．设，为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，，为正实数，则，故， 即，故，A错误； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，B正确； 对于C，因为，为正实数，，故， 故，即，C正确； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，D错误， 故选：BC 11．若，x，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题目的已知条件灵活运用基本不等式放缩求解即可． 【详解】解：， ，故A正确； 取，，满足， 但，故B错误； ， ， ， ， 故，所以C正确，D错误． 故选：AC． 【点睛】本题的解题关键是根据的结构，运用基本不等式把整体放缩成，从而得到的不等式组，解之求得结论． 12．已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确. 对于B，由及，得，所以.同理可得. 又，所以，所以，B正确. 对于C，由及，得，所以，得， 所以，得，C错误. 对于D，由，得，所以. 因为，，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．已知，函数有最小值，则 ． 【答案】4 【分析】利用均值不等式求得最小值，进而计算可求得的值. 【详解】， 令，则或（舍）， 故答案为：. 14．已知，，且满足，则的最小值为 ． 【答案】/3.5 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为： 15．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 【答案】-1 【分析】设，可得，再结合基本不等式可得，进而可得. 【详解】设的 则，，，， 所以， 又， 所以 当且仅当，时取等号，所以，则， 故的最大值为. 故答案为： 16．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，然后利用对勾函数求得，再根据对勾函数求得，再次利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】 设 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，由题中可得， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，又， ， 的最小值为（当时取得)， 故答案为：. 【点睛】求解本题的关键是将原式化简，指定主元，多次利用对勾函数的性质进行求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练3（基本不等式） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 2．已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在直角中，是直角，斜边为，两直角边为､，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若、都有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 二、多选题 9．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设，为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若，x，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 三、填空题 13．已知，函数有最小值，则 ． 14．已知，，且满足，则的最小值为 ． 15．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 16．已知，，，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $