11.2.2锥体的体积（教学课件）数学沪教版必修第三册

该高中数学课件聚焦锥体体积，系统讲解棱锥、圆锥体积公式推导，通过复习祖暅原理和棱柱体积，以“同底等高棱柱与棱锥体积关系”为问题支架，引导学生从已知探究未知，构建知识脉络。 其亮点是以祖暅原理为逻辑起点，通过问题链培养数学思维，典例（如正方体中三棱锥体积证明）和练习（如圆锥内接圆柱体积比）强化数学语言表达。助力学生理解公式本质，提升推理能力，也为教师提供结构清晰的教学资源，便于高效备课。

11.2 锥体 2 锥体的体积 第11章 简单几何体 沪教版2020必修第三册·高二 复习回顾 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么两个几何体的体积必相等. 【幂势既同，则积不容异】 译为：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。 2 情境引入 思考：棱锥的体积与它同底等高的柱体的体积之间存在什么样的关系？锥体的体积可以用什么公式表示？其中蕴含着什么原理？ 棱柱的体积： (分别为棱柱的底面积和高) 新知初探 仔细观察图片我们不难发现，如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍。即: = 其中，为棱锥底面的面积，为棱锥的高 由此我们已知棱锥的体积公式，类似地，我们是否由祖暅原理推导出圆锥的体积公式？ 由此可知: 等底等高时， 5 利用棱锥的体积公式和祖暅原理，可以进一步得出圆锥的体积公式为： == (其中，为底面半径) 6 典例分析 证明：设正方体-的棱长是. ， 当点在上移动时，它与AB的距离， 的面积==为定值。 例1.如图，设分别是给定正方体-的棱和上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值。 7 典例分析 例1.如图，设分别是给定正方体-的棱和上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值。 又因为正方体的棱平面， 上任意一点到下底面的距离， 三棱锥的体积==为定值。 由上述证明过程还可以得出，当点在正方体的上底面上任意移动时，三棱锥的体积均为定值。 8 例2.设正方体-的棱长为求顶点到面的距离。 典例分析 解：设顶点到面的距离为， 则==. ===， =，. 典例分析 例3.如图，设台体上，下底面积分别是是，上下底面的距离为 求证：+. 证明：设去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是和，去掉的锥体高为，则 =， 可解得 利用台体由大锥体截去小锥体得到的关系 结合相似锥体的性质列比例式 典例分析 V台= =+ =+（) =S’+ 计算台体体积并化简 综上，结合相似图形性质与代数运算，完成了台体体积公式的证明。 课堂检测 练习1.如图所示，三棱锥的顶点为为三条侧棱，且两两互相垂直，又，则三棱锥的体积为__________． 【答案】4 练习2.如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为 1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ） 课堂检测 A. B. C. D. 练习3.若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积之比是( ). 练习4.如图在底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱， （1）求圆柱的表面积； （2）求圆柱的体积与圆锥的体积之比. 解：（1）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为. 则， 如图所示，易知，所以，即，所以， . 所以. 所以圆柱的表面积为. 解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为. 则， 易知，所以，即， ，， 圆柱的体积. 圆锥的体积. 故圆柱与圆锥的体积比为. 练习4.如图在底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱， 求圆柱的体积与圆锥的体积之比. 练习5.如图所示，正方体的棱长为，过顶点截下一个三棱锥，请解决以下问题： (1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高. 解：(1) 故剩余部分的体积 解：(2)设三棱锥的高为则 ∵ ∴，解得 ∴三棱锥的高为. 课堂小结 == = 课后作业 利用今天所学知识预习书本71页——探究与实践。 感谢聆听! $