第三章概率的进一步认识单元练习2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 单元练习 一、单选题 1．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 2．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为（  ） A． B． C． D． 3．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 4．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 5．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 6．如图所示，质地均匀的正四面体骰子四个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”，从一定高度随机抛掷该骰子三次，并记录向下的面上的数字，则三次数字之积是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 7．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 8．如图，小明所在的生物兴趣小组要去博物馆参观，老师要求沿街道走最短的路线．学校与博物馆之间的街道如图，小明的家在如图所示的点位置．那么兴趣小组刚好经过点的概率等于（   ） A． B． C． D． 9．明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 10．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、填空题 11．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 12．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 13．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 14．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ． 15．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 16．第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 17．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，满分10分，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成） 甲、乙两班代表队成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 a 0.7 乙班 8.5 b 10 1.6 请根据有关信息解决下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派______代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”） (3)若甲班共有40名学生，试估计甲班成绩不低于8.5分的学生数量； (4)现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率． 18．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： (1)________，________； (2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 19．为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20．美国著名心理学家马斯洛曾提出“人的五个需求层次理论”，认为“吃饱穿暖”只是人的最基本需求，而人的安全需求、社交需求、尊重需求和自我实现需求才是更高层次的需求，伴随我国经济快速发展和人民生活水平的提升，在满足了“吃饱穿暖”基本需求后，人们开始转向除物质需求之外的精神文化需求，文化旅游逐渐成为人们一种幸福、快乐、健康、美好的生活方式，是新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容．上图是近五年国内旅游的一个统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)图中2016一2020年国内游客人次的中位数是_____________亿人次． (2)根据上面统计图中的数据，请计算图中从2016年到2019年国内游客人次的增长率（精确到），并简要说明2019到2020年国内游客人次下降的原因． (3)小刚对旅游很感兴趣，他妈妈答应小刚在中考结束后，带他出去旅游，并提供了五个可以选择旅游的地方，分别是厦门、青岛、北京、太原、天津，小刚收集到了五大城市的图标，依次制成编号为的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 单元练习2025--2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C D D A B C C 1．C 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列举法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列举所有可能结果及符合条件的结果，再利用概率公式求解． 【详解】解：记菊花图案那面为正，另一面为反，同时抛掷两枚1元的硬币，有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P（菊花图案都朝上）， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的步骤是解题的关键． 通过列表法列出小明和小刚摸球的所有可能结果，再找出两人都摸出红球的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设个红球分别为红、红、红，蓝球为蓝．列表如下： 小明小刚 红 红 红 蓝 红 - （红，红） （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） - （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） - （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） - 共有种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有种． 所以两人都摸出红球的概率． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 4．C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 5．D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了列表法与树状图法，由树状图可得到共有64种等可能的结果，积是偶数共有56种结果数，然后利用概率公式计算． 【详解】解：画树状图如下： 树状图可得到共有64种等可能的结果，积是偶数共有56种结果数， 所以，三次数字之积是偶数的概率为， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 8．B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先把所有的交点标记，画出树状图展示所有等可能的结果数，再找出兴趣小组刚好经过点的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】解：把所有的交点标记如图： 画树状图如下： 所有等可能的情况有10种，其中经过A的情况有6种， 所以兴趣小组刚好经过点的概率等于， 故选：． 9．C 【分析】本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键． 先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间． A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意； C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘球的总个数即可得出答案． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数， 故选：C． 11． 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 12． 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键． 设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种， 这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是． 故答案为： 13．6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 14．24 【分析】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．用大于8的数字的个数除以总个数对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴， 解得：， 故答案为：24． 15．②③/③② 【分析】本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率． 先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可． 【详解】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 16．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图、求扇形的圆心角度数，解题的关键是读得懂图表． （1）用总数减去前四名即可得到；根据中国金牌数除以总金牌数即可得出中国金牌占比； （2）利用印度国家代表队所得金牌占比乘上即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的机器人相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1），. （2）． 答：印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数约为． （3）将三个机器人分别记为，，，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的是同一个机器人的结果有3种， 两次抽到的是同一个机器人的概率为． 17．(1)， (2)甲 (3)人 (4) 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，条形统计图，中位数、众数，方差，用样本估计总体等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）由条形统计图结合众数和中位数的定义即可求解； （2）利用平均数、方差的定义进行分析，即可得出答案； （3）由样本估计总体的方法求解即可； （4）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由条形统计图可得甲班的众数为，即， 将乙班的数据从小到大排列为：，，，，， ∴中位数为，即， 故答案为：，； （2）解：现应选派甲班代表队参加市比赛会更好，理由如下： 从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好； 从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定． 故答案为：甲； （3）解：由条形统计图可得，（人）， 答：估计甲班成绩不低于8.5分的学生有人； （4）解：列表如下： 甲 乙1 乙2 甲 ﹣﹣﹣ 乙1 甲 乙2 甲 乙1 甲 乙1 ﹣﹣﹣ 乙2乙1 乙2 甲 乙2 乙1乙2 ﹣﹣﹣ 所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种， ∴抽到甲，乙班各一个学生的概率为． 18．(1)30，24 (2)150人 (3)，列表见解析 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 故答案为：； （2）解：（人）； （3）解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴概率为． 19．(1)， (2)全校参加科幻画创作的学生有人； (3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【详解】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了中位数的计算、增长率的实际应用以及随机事件概率的求解，解题的关键是掌握中位数的定义、增长率计算公式和用列表法（或树状图法）求概率的方法． （1）将年游客人次数据排序，根据数据个数确定中位数位置； （2）代入增长率公式（末期值初期值）/初期值计算，结合实际说明年下降原因； （3）列表列出两次抽卡的所有结果，找出符合条件的结果数，用概率公式计算． 【详解】（1）解：将年国内游客人次（单位：亿人次）按从小到大排序：、、、、．   数据共5个，中位数为第3个数据，即．   故答案为：． （2）解：年人次为亿，年人次为亿．   增长率=．   年下降原因：受新型冠状病毒肺炎疫情影响，居民出行受限．（答案不唯一） （3）列表如下： 由列表（或树状图）可知，一共有种情况，每种结果出现的可能性相等，其中抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的结果有2种， 则抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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