第二十四章圆 压轴考点期中专题复习讲义2024-2025学年 人教版九年级数学上册

2024-2025学年度九年级上学期《圆》压轴考点期中专题复习 专题概述：这四类问题是初中数学的核心难点，也是中考压轴题的高频考点，它们分别考察不同的数学思维和能力。 1、 圆中动态问题 圆中动态问题核心是“变中找不变”，通过分析动点、动线、动圆的运动规律，结合圆的性质求解。 常见考法 1.动点与圆的位置关系：判断动点在运动过程中，与定圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外）。 2.动线与圆的位置关系：分析直线（或线段）运动时，与定圆的位置关系（相离、相切、相交），常求切线长或交点个数。 3.动圆问题：求解动圆与定圆、定直线的位置关系，或动圆半径、圆心轨迹等。 解题关键 抓住不变量，如定圆心、定半径、定线段长度、定角度等。灵活运用圆的性质，如垂径定理、圆周角定理、切线性质定理等。结合勾股定理、三角形等知识建立方程求解。 2、 轨迹最值问题 轨迹最值问题分为两步：先确定动点的运动轨迹，再根据轨迹求线段长度或角度的最值。 常见轨迹类型 1.圆型轨迹：当动点到定点的距离始终为定值时，轨迹是圆（如“定角对定边”模型）。 2.线段型轨迹：当动点到定直线的距离不变，或满足“定端点+定方向”时，轨迹是线段。 最值求解方法 圆型轨迹：利用“圆外一点到圆上点的距离最值”求解，即“点到圆心距离±半径”。 线段型轨迹：利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。 3、 阅读理解问题 阅读理解问题重点考察信息提取与知识迁移能力，题目会先给出新定义、新公式或新方法，再要求应用其解决问题。 常见考法 1.定义类阅读：给出新数学概念（如“友好数”“关联点”），要求判断、计算或证明。 2.方法类阅读：给出一种新解题方法（如“换元法”“因式分解新技巧”），要求模仿解题。 3.材料类阅读：给出一段数学史料、实际生活场景描述，要求提炼数学问题并求解。 解题关键 耐心读题，标记关键信息（新定义的条件、公式符号含义、方法步骤）。不畏惧陌生概念，将新信息与已学知识建立联系。分步骤解题，按题目给出的规则或方法逐步推导。 4、 新定义问题 新定义问题是“阅读理解问题”的延伸，核心是“理解定义→转化定义→应用定义”，侧重考察逻辑推理和创新应用能力。 常见考法 1.概念新定义：定义新的数学对象（如“新运算”“新图形”“新函数”），要求进行计算、判断或证明。 2.性质新定义：定义某个数学对象的新性质（如“线段的‘倍距点’”“三角形的‘等角线’”），要求探究其规律。 解题关键 精准理解定义的内涵与外延，明确定义的适用条件和范围。将新定义转化为熟悉的数学语言（如用代数式、几何图形表示）。结合已学知识（如代数运算、几何性质）验证或应用新定义。 考向一：圆中动态问题 例1．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过圆心B作于点D，交于点E， 求出，，得到，推导出点E的纵坐标为，由图可知，每走两个弧为一个循环，根据，得到一个循环需要4秒，继而推导出第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：如图，过圆心B作于点D，交于点E，有 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，为． 故选D． 考向二：圆中轨迹最值问题 例3．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 例4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， 与相切， ∴, 由勾股定理得 为定值1， ∴当最小时，的值最小， 当时，值最小， ∵、， ∴, 为等腰直角三角形， 由勾股定理得, 根据等腰直角三角形的性质可得，， ∴， 故选：B． 例5．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 考向三：圆中综合探究问题 例6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】(1)28； (2)存在，； (3)当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； （3）解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例7．【问题初探】在数学活动课上，某智慧小组受圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是”的启发，研制了图1所示的“直角仪”．“直角仪”由木条和木条组成，与的中点O相连，且可绕点O转动．在没有直角尺情况下，可借助这个“直角仪”画出直角． 【问题解决】（1）如图2，小明同学把“直角仪”的落在的边上， ，转动让点C落在上，连接，则__________． 【拓展提高】（2）如图3，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D出发，运动到点C，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）；（2）①，，理由见解析；② 【分析】（1）先由题意得到，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求得，则，进而可得结论； （2）①由“”可证，可得，，由余角的性质可证；②由题意可得点的运动路径是以为直径的圆的，由圆周角定理和弧长公式可求解． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）①结论：，， 理由：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图3，连接，交于点，则， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆的， ∵所对的圆心角， 点的运动路径长为． 例8．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】；；；． 【变式探究】． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 考向四：圆中新定义问题 例9．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)①的度数为或或；② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连接，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点C，此时可使得是“圆等三角形”； （2）①四边形是的内接四边形，，， ，， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的度数为或或． ②连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是圆等三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点O作， ， ，， ， ， 扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 例10．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 1．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（   ） A．22 B．24 C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点, 因为， 所以，垂足为，则有， 点, ， ， 由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示 根据垂径定理及勾股定理可得, 的最小值为， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点D的运动速度求出第秒结束时点D的位置，再证明，利用全等三角形的性质求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长为． ，， ∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形的位置相同． ∵ ， ∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为． 连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示． 设，则， ∴ ． 即． ∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 又∵ ∴ ． ∴． ∴， ∴点F的坐标为， 故选：A． 3．如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 4．对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定最大圆的位置，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且． 它的中心点坐标为，如图， 经过点且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点且和，相切的圆， 设切点分别为，，如图， 连接，，，过点作轴于点，设的半径为， 则，，， 在中， ， ， 解得，， 由题意，，而， 应舍去， 故答案为：． 5．定义：分别为两个图形上任意一点，当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题： 如图，在平面直角坐标系中，点．    （1）线段与线段的“近距离”为 ． （2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与相切于点，则与线段的“近距离”为 ，此时与四边形的“远距离”为 ． 【答案】 4 2或4 6或 【分析】（1）由点的坐标画出图形，由“近距离”和“远距离”的定义可求解； （2）画出图形，分在两侧相切的情况，根据“近距离”，“远距离”的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，    线段与线段的“近距离”为， 故答案为：4； （2）由图可知，在左侧与相切时，它与线段的“近距离”是, 与四边形的“远距离”是； 在右侧与相切时，它与线段的“近距离”是，与四边形的“远距离”是． 故答案为：2或4，6或． 6．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得，以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°． 【详解】、是过所作的的两切线且互相垂直， ， 四边形是正方形， 根据勾股定理求得， 点在以为圆心，以长为半径作大圆上， 以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示， 是大圆的切线， ， ，， ， ， ， 的最大值等于， 故答案为． 7．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 8．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①连接，，只要证明是等边三角形即可； ②过点A作于点D，当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，由勾股定理求出，进而可得，再根据求解即可； （2）延长，交圆于点D，连接，点D在圆上，根据同弧所对的圆周角相等得，根据三角形的外角，进而可证明； （3）在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E，当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足，当时，在上恰好有两个点P满足，此时，由此不难得出结论． 【详解】（1）解：①令圆的圆心为O，连接，，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即该弧所在圆的半径长为4， 故答案为：4； ②过点A作于点D，如图， ∵， ∴当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，如图， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长，交圆于点D，连接， ∵点D在圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：解：如图，在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E， ∵在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限， ∴， ∴， 当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足， 当时，在上恰好有两个点P满足，此时， 综上所述：满足条件的m的值的取值范围为． 9．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】(1)，圆内接四边形对角互补 (2)见解析； (3)32 (4)点经过的路径为． 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； （2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； （3）解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； （4）解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 10．如图，在平面直角坐标系中，半径为的与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D、E，直线（b为常数）交坐标轴于A、B两点． (1)如图1，若直线与有两个交点F、G，则的度数为           ． (2)如图2，若，点P在直线上移动，过P点作的两条切线，切点分别为M，N，若，求点P的坐标； (3)点P为直线上一点，过P点作的两条切线，切点分别为M、N，若存在点P，使得，直接写出b的取值范围                      ． 【答案】(1) (2)点P的坐标（1，5），（5，1） (3) 【分析】题目主要考查圆周角定理，一次函数的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的判别式等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆周角定理，可得的度数； （2）根据直线上的点满足函数解析式，可得P点坐标，根据正方形的判定与性质，可得的关系，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标； （3）根据切线的性质，可得的度数，根据直角三角形的性质，可得的长，根据勾股定理，可得关于m的一元二次方程，根据根的判别式，可得答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 根据题意得：， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∵点P为直线上移动， ∴设， 连接，如图所示： ∵过P点作的两条切线，切点分别M，N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴即， 解得：， ∴或1， ∴点P的坐标或； （3）解：∵点P为直线上一点， ∴设， 连接，如图所示： 同理得：， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴即， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 12．九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【答案】(1)当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切 (2)当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上） 【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点与点重合时，与半圆相切；②当点运动到点时，与半圆相切； ③当点运动到的中点时，再次与半圆相切；④当点运动到点的右侧时，的延长线与半圆所在的圆相切；接下来分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间即可． （2）分为①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，③如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，分别画图解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， 当点与点重合时，，，与半圆相切， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 在中，，， 则，即等于半圆的半径， 所以与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ④如图，当点运动到点的右侧，且时， 过点作，垂足为． 在中，，则， 即等于半圆所在的圆的半径， 所以直线与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． 综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切． （2）解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图， 过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径， 所以边与半圆所在的圆相切． 当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：， 当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：， 故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，， 综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）． 13．【认清概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1线段组成折线段，若点P在折线段上，，则称点P是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，A为圆上的点，为直角，点B是折线段的中点．若，则 ； （2）如图3，中，，D是上一点，，垂足为H．求证：点H是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，A，P，B，C是上的四个点，，求的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了圆的综合知识，掌握“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键． （1）由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案； （2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论； （3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值． 【详解】解：（1），，为直角， ， ， 点是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）如图，延长到使，连接、， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是折线段的中点； （3）如图，作于点， 由（2）可知为折线段中点，即， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 14．[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【答案】[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 15.数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 16．类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 17．在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线段成比例得出，同理可得的最小值为，即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 连线的中点在的内部，的中点的纵坐标为1，则点，关于y=1对称点关于的关联点是， 故答案为：，． ② 如图所示，点在线段和上， 设， 在中，， 解得（舍）， ； 同理，，， 或； （2）解：依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ， 则在半径为1的上以及圆内，关于的关联点， ∴的最大值为， 如图所示，当在线段上时，取最小值， ， 四边形是矩形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ． 18．定义：中，若与边相切，且圆心在边上，则称该为“别边切圆”． (1)已知等腰中，，求其别边切圆半径． (2)若存在别边切圆，求取值范围． (3)已知的别边切圆半径，且，求长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先证明，可得，再证明，可得，然后根据等腰三角形三线合一可得，再利用面积法求出其别边切圆半径； （2）根据别切圆的圆心可知，任意三角形都有别切圆，以此求出取值范围； （3）与（1）同样的方法，先得出，转化为关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：连结，，， ∵与边相切， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴其别边切圆半径； （2）∵与边相切，圆心在边上， ∴圆心是的平分线与的交点， ∴任意三角形都有别边切圆， ∴； （3）连结，，， ∵与边相切， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，切线的性质，切线长定理等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 19．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）证明，得出；连接，设，交点为G，证明，得出，是的等垂弦． （3）分两种情况：当等垂点P位于圆内，当等垂点P位于圆外时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级上学期《圆》压轴考点期中专题复习 专题概述：这四类问题是初中数学的核心难点，也是中考压轴题的高频考点，它们分别考察不同的数学思维和能力。 1、 圆中动态问题 圆中动态问题核心是“变中找不变”，通过分析动点、动线、动圆的运动规律，结合圆的性质求解。 常见考法 1.动点与圆的位置关系：判断动点在运动过程中，与定圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外）。 2.动线与圆的位置关系：分析直线（或线段）运动时，与定圆的位置关系（相离、相切、相交），常求切线长或交点个数。 3.动圆问题：求解动圆与定圆、定直线的位置关系，或动圆半径、圆心轨迹等。 解题关键 抓住不变量，如定圆心、定半径、定线段长度、定角度等。灵活运用圆的性质，如垂径定理、圆周角定理、切线性质定理等。结合勾股定理、三角形等知识建立方程求解。 2、 轨迹最值问题 轨迹最值问题分为两步：先确定动点的运动轨迹，再根据轨迹求线段长度或角度的最值。 常见轨迹类型 1.圆型轨迹：当动点到定点的距离始终为定值时，轨迹是圆（如“定角对定边”模型）。 2.线段型轨迹：当动点到定直线的距离不变，或满足“定端点+定方向”时，轨迹是线段。 最值求解方法 圆型轨迹：利用“圆外一点到圆上点的距离最值”求解，即“点到圆心距离±半径”。 线段型轨迹：利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。 3、 阅读理解问题 阅读理解问题重点考察信息提取与知识迁移能力，题目会先给出新定义、新公式或新方法，再要求应用其解决问题。 常见考法 1.定义类阅读：给出新数学概念（如“友好数”“关联点”），要求判断、计算或证明。 2.方法类阅读：给出一种新解题方法（如“换元法”“因式分解新技巧”），要求模仿解题。 3.材料类阅读：给出一段数学史料、实际生活场景描述，要求提炼数学问题并求解。 解题关键 耐心读题，标记关键信息（新定义的条件、公式符号含义、方法步骤）。不畏惧陌生概念，将新信息与已学知识建立联系。分步骤解题，按题目给出的规则或方法逐步推导。 4、 新定义问题 新定义问题是“阅读理解问题”的延伸，核心是“理解定义→转化定义→应用定义”，侧重考察逻辑推理和创新应用能力。 常见考法 1.概念新定义：定义新的数学对象（如“新运算”“新图形”“新函数”），要求进行计算、判断或证明。 2.性质新定义：定义某个数学对象的新性质（如“线段的‘倍距点’”“三角形的‘等角线’”），要求探究其规律。 解题关键 精准理解定义的内涵与外延，明确定义的适用条件和范围。将新定义转化为熟悉的数学语言（如用代数式、几何图形表示）。结合已学知识（如代数运算、几何性质）验证或应用新定义。 考向一：圆中动态问题 例1．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A．2 B．0 C． D． 考向二：圆中轨迹最值问题 例3．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 例4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 例5．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 考向三：圆中综合探究问题 例6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 例7．【问题初探】在数学活动课上，某智慧小组受圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是”的启发，研制了图1所示的“直角仪”．“直角仪”由木条和木条组成，与的中点O相连，且可绕点O转动．在没有直角尺情况下，可借助这个“直角仪”画出直角． 【问题解决】（1）如图2，小明同学把“直角仪”的落在的边上， ，转动让点C落在上，连接，则__________． 【拓展提高】（2）如图3，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D出发，运动到点C，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 例8．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 考向四：圆中新定义问题 例9．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 例10．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 1．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（   ） A．22 B．24 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 4．对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 ． 5．定义：分别为两个图形上任意一点，当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题： 如图，在平面直角坐标系中，点．    （1）线段与线段的“近距离”为 ． （2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与相切于点，则与线段的“近距离”为 ，此时与四边形的“远距离”为 ． 6．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于 ． 7．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 8．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 9．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 10．如图，在平面直角坐标系中，半径为的与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D、E，直线（b为常数）交坐标轴于A、B两点． (1)如图1，若直线与有两个交点F、G，则的度数为           ． (2)如图2，若，点P在直线上移动，过P点作的两条切线，切点分别为M，N，若，求点P的坐标； (3)点P为直线上一点，过P点作的两条切线，切点分别为M、N，若存在点P，使得，直接写出b的取值范围 11．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 12．九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 13．【认清概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1线段组成折线段，若点P在折线段上，，则称点P是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，A为圆上的点，为直角，点B是折线段的中点．若，则 ； （2）如图3，中，，D是上一点，，垂足为H．求证：点H是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，A，P，B，C是上的四个点，，求的值． 14．[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 15.数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 16．类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 18．定义：中，若与边相切，且圆心在边上，则称该为“别边切圆”． (1)已知等腰中，，求其别边切圆半径． (2)若存在别边切圆，求取值范围． (3)已知的别边切圆半径，且，求长度． 19．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $