2.4.2 圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的方程，涵盖标准方程、一般方程及轨迹方程求法，通过课本例4、学习笔记例题等典例分析导入，衔接圆的定义与方程求解，以解题步骤、反思总结为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以丰富例题（如待定系数法求过三点的圆方程、相关点法求中点轨迹）为载体，注重几何直观与逻辑推理（数学思维），通过建模（数学语言）引导学生抽象轨迹关系。采用讲练结合与系统小结，助力学生提升运算能力与问题解决能力，教师可直接利用资料实施高效教学。

2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(重点) 刘雨萌 导语 教材85页思考 我们知道，方程(x-1)2+(y+2)2=4 表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0 . 一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 刘雨萌 新知探究 一、圆的一般方程 问题1 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 问题2 当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 提示　①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点. ②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 刘雨萌 知识梳理 1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程 叫做圆的一般方程. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以___________为圆心，以___________为半径的圆 注：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 刘雨萌 例1 　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m的取值范围； 典例分析 由表示圆的充要条件，得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)写出圆心坐标和半径. 将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m， 故圆心坐标为(-m，1)，半径r=. 刘雨萌 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 　(1)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. (2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为　　　.  9π 圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是，由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心，∴-+1+1=0，解得k=4， 圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为=3， ∴该圆的面积为9π. 刘雨萌 典例分析 例2　 (课本例4)　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解. 把它们的坐标依次代入方程①， 得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，半径r==5. 方法一：待定系数法 方法二：几何法垂直平分线 刘雨萌 学习笔记61页例2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； 典例分析 设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意，得 解得即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 刘雨萌 (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 由(1)知，△ABC的外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0， 易知M的一个坐标为(2，2)， 即a=2， 又点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2+22-8a-2×2+12=0， 即a2-8a+12=0，解得a=6， 综上，a=2或6. 解 刘雨萌 11 反思与感悟 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程. 圆心C， ∵圆心在直线x+y-1=0上，∴---1=0，即D+E=-2. ① 又∵半径长r==， ∴D2+E2=20. ② 由①②可得又∵圆心在第二象限， ∴-<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 刘雨萌 新知探究 问题3 轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 刘雨萌 典例分析 例3 (课本例5)　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x=y=. 于是有x0=2x-4，y0=2y-3. ① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程， 即(x0+1)2+=4. ② 把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4， 整理，得+=1. 这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆. 中点轨迹方程 刘雨萌 典例分析 学习笔记61页例3 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2，2y). ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-2)2+(2y)2=4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 刘雨萌 (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. 刘雨萌 17 延伸探究1 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. 在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 延伸探究 设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT=-1. 即·=-1，整理得x2+y2-x-y=0. 当x=0或1时， 点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 斜率之积=-1轨迹方程 刘雨萌 延伸探究 延伸探究2 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. 若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程. 中点轨迹方程 设点E(x，y)，P(x0，y0). ∵B(1，1)，∴整理得x0=2x-1，y0=2y-1， ∵点P在圆x2+y2=4上，∴(2x-1)2+(2y-1)2=4， 整理得，点E的轨迹方程为x2+y2-x-y-=0. 刘雨萌 (2)设点A在圆C上运动，点B(2，3)，且点M满足=2，求点M的轨迹方程. 跟踪训练3 已知圆C经过(2，6)，(5，3)，(2，0)三点. (1)求圆C的方程；圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. 设M(x，y)，A(xA，yA)，则=(x-xA，y-yA)，=(2-x，3-y)， 由=2，得解得 由点A在圆C上，得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y-6)+4=0， 即x2+y2-4x-6y+12=0， 故点M的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0. 跟踪训练 动点轨迹方程 刘雨萌 反思与感悟 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 A. B.C. D. √ 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为 A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 √ 3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0 A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 √ √ √ 4.已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为　　　　　.  x2+y2=4 刘雨萌 刘雨萌 √ √ √ √ 刘雨萌 √ √ √ 刘雨萌 课后作业 步步高练透165页 作业24 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $