专题5 分数除法巧算-六年级同步奥数专项提升

该小学数学讲义以分数除法巧算为核心，立足课本延伸竞赛，通过经典范例、巩固提升、综合测试三大板块构建知识体系，用找倍数关系、整体约分法等方法分类呈现题型，清晰梳理重难点及内在联系。 讲义亮点在于“方法引领+分层训练”，如“找分数中倍数关系”例题通过观察倍数简化计算，培养运算能力与推理意识，巩固题和综合测试满足不同学生需求，答案详解助力自主复习，教师可据此实施精准教学提升学生巧算能力。

专题5：分数除法巧算 --六年级同步奥数专项提升 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 分数除法计算是小学阶段计算题中最复杂的题型，再解题中要根据不同的计算题题型正确选用合适的方法计算，使计算简便，提高计算速度和正确率。 常用的计算方法有：约分法，拆分法，提公因式法，乘法分配律，转化法等。 如约分法：=； 拆分法：= - ； 乘法分配律：a×（b+c）=ab+ac等。 【找分数中倍数关系】 【经典例题】计算：（××1）÷（××） 【思路点拨】仔细观察算式中的每一个分数，是的2倍，是的2倍，1是的2倍，所以， （××1）÷（××） =（÷）×（÷）×（1÷） =2×2×2 =8 1.计算：（××2）÷（××） 2.计算：（××1）÷（××） 3.计算：6.5×7.8×÷2.6÷÷1.3 【整体约分法】 【经典例题】计算：（++1）÷（++） 【思路点拨】因为两个括号中的运算符号都是加号，所以，这道题不能用范例1的方法解决，但是，，，1分别是，，的4倍，因此 （++1）÷（++） =（×4++×4）÷（++） =（++）×4÷（++） =4 1.计算：（4+2）÷（1+） 2.计算：（2+1）÷（5+3） 3.计算： 【拆分数与乘法分配律】 【经典例题】计算：24÷11 【思路点拨】把题中的24分成11的倍数与另一个比较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质计算简便。 24÷11 =（22+2）÷11 =22÷11+2÷11 =2+ =2 1. 计算：27÷13 2. 计算：54÷17 3. 计算：46÷15 【找小数与分数中倍数关系】 【经典例题】计算：9.8×3.9×÷1.3÷1.4÷ 【思路点拨】算式中既有分数又有小数，通过观察我们可以发现，六个数中存在倍数关系，因此， 9.8×3.9×÷1.3÷1.4÷ =9.8×3.9×÷1.3÷1.4× =（约分） =63 1.计算：4 ×1 ×2.5÷1.75÷2 ÷4.625 2.计算：2.84÷5 ×÷（1 ×1.42）×2 3.计算：2012× 【乘法分配律】 【经典例题】计算：4 ÷5+2 ×0.2+5 × 【思路点拨】仔细观察算式中的每一步运算，不难发现：4 ÷5就是4 ×，2 ×0.2中的0.2改写乘分数就是2 ×，因此，我们可以考虑运用乘法分配律。 4 ÷5+2 ×0.2+5 × =4 ×+2 ×+5 × =（4 +2 +5 ）× =12× = 1. ÷4+7×0.25+× 2.5×+2÷+3×0.75 3. ÷+5.25×0.6+× 【先化简后再运用乘法分配律】 【经典例题】计算：1×（5-）+12÷ 【思路点拨】通过观察我们发现：先计算“5-”，再运用乘法分配律进行简便计算。 1×（5-）+12÷ =×4+12× =（4+12）× =17× =21 1. 计算：2×（6-2）+÷ 2.12.5×8-9.5÷（1-） 3.（+0.75）÷（2×0.4+1÷1.8） 【转化为除法再约分】 【经典例题】计算：（1×2×3×4×5×6）÷（7×8×9×10） 【思路点拨】如果直接计算，非常繁琐，不防将它转化为除法的形式计算。 （1×2×3×4×5×6）÷（7×8×9×10） = = 1. 计算：（3×4×5×6×7×8）÷（7×8×9×10） 2. 计算：（5×6×7×8×9×10）÷（7×9×11×12） 3. 计算：（1×2×3×4×……×9×10×11）÷（27×24×25×22） 【提公因式再约分】 【经典例题】计算： 【思路点拨】这么复杂的计算,硬算肯定是不行的,通过仔细观察,我们不难发现分子部分的“2×6×12”和“3×9×18”分别是“1×3×6”的8倍和27倍,同样道理,分母中也有类似的关系.所以， 原式= = = = 1.计算： 2.计算：（++）÷ 3.计算：（3÷2）×（4÷3）×（5÷4）×……×（2012÷2011）×（2013÷2012） 【带分数转化为假分数后再约分】 【经典例题】计算：85×+71×+56× 【思路点拨】我们先把带分数化成假分数,然后直接约分,再相加。 85×+71×+56× =×+×+× =32+61+45 =138 1. 计算：8×+19×+11× 2. 计算：7×+9×+8÷ 3. 计算：6×+5÷+÷ 【分解因数后再约分】 【经典例题】计算：4÷×1 【思路点拨】我们先把算式改写成假分数相乘的形式,然后分解分子与分母中的各个因数,最后约分就行了。 4÷×1 =×× = =66 1.计算2×20×3 2.3 ÷÷6 3. 【分数单位的拆分】 【经典例题】请填写下式左边的两个分母（都是自然数），使得两边相等： += 【思路点拨】由分数的拆分公式： =+ =+ 即+= 1. 请填写下式左边的两个分母（都是自然数），使得两边相等： += 2. ++=，请找出3个不同的自然数，分别作为3个分母，使这个等式成立。 3.再算式+++=1中，A、B、C分别代表三个不同的自然数，这三个数的和是多少？ 【分数的拆分】 【经典例题】把拆分成三个不同的分数单位的和。 【思路点拨】因为12的因数有1、12、2、6、3、4.把分子11写成12的因数的和,可以与分母12约成分数单位.所以， ==++=++ ==++=++ 1. 把拆分成三个不同的分数单位的和。 2. 把拆分成三个不同的分数单位的和。 3. 如果+=（A、B均为自然数），那么B最大是多少？ 【分数的估算】 【经典例题】设P=+×2+×3+×4+……+×9+×10，与P接近的整数是多少？ 【思路点拨】我们不难看出,P的各项是一个等差数列,因此,可以先求出的和,再得到与P最接近的整数。 +×2+×3+×4+……+×9+×10 =×（1+2+3+4+…+10） =×55 ≈34.05 所以，与P接近的整数是34. 1.求+++……++的整数部分。 2. 求+++……+的整数部分。 3.（1+）+（1+×2）+（1+×3）+…+（1+×10）+（1+×11）的结果是A，与A最接近的整数是多少？ 【求整数部分】 【经典例题】将S= 化成小数，它的整数部分是多少？ 【思路点拨】因为＞＞＞…＞，共有16个分数，S的分母＜16×==，同时S的分母＞16×=。 所以， =125＞S＞125。故S的整数部分是125。 1.求的整数部分。 2. 求的整数部分。 3.把、、、、、和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第几位？ 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 计算题： 1.计算：37÷12 2.计算：×+1×0.1+2÷10 3.计算：（××）÷（××） 4.计算：12×（-）÷（-） 5.计算：++++++……+++++……+ 6.计算：1×19.6+36÷+2.84×12.5 7.计算：（-0.1÷2）×+1÷1 8.计算：2.4÷1 ×4.125-（18 -13.42） 9.计算： 10.（1）把拆分成三个不同的分数单位的和。 （2）把拆分成三个不同的分数单位的和。 【巩固提升】参考答案 1.计算：（××2）÷（××） 原式=（÷）×（÷）×（2÷） =3×2×2 =12 2.计算：（××1）÷（××） 原式=（÷）×（÷）×（1÷） =4×2×3 =24 3.计算：6.5×7.8×÷2.6÷÷1.3 原式=（6.5÷1.3）×（7.8÷2.6）×（×8） =5×3× =40 1.计算：（4+2）÷（1+） 原式=（+）÷（+） =3×（+）÷（+） =3 2.计算：（2+1）÷（5+3） 原式=（+）÷（+） =（+）÷[（+）×2] =0.5 3.计算： 原式= = =2 1. 计算：27÷13 原式=（26+1）÷13 =26÷13+1÷13 =2+ =2 2. 计算：54÷17 原式=（51+3）÷17 =51÷17+3÷17 =3+ =3 3. 计算：46÷15 原式=（45+1）÷15 =45÷15+1÷15 =3+ =3 1.计算：4 ×1 ×2.5÷1.75÷2 ÷4.625 原式=（4 ÷4.625）×（1 ÷1.75）×（2.5÷2 ） =1×1×1 =1 2.计算：2.84÷5 ×÷（1 ×1.42）×2 原式=（2.84÷1.42）×（5 ÷2 ）×（÷1 ） =2×2× =2 3.计算：2012× 原式=2012× =2012× =2012× =24 1. ÷4+7×0.25+× 原式= ×+7×+× =（+7+）× =× = 2.5×+2÷+3×0.75 原式=5×+2×+3× =（5+2+3）× =7.5 3. ÷+5.25×0.6+× 原式= ×0.6+5.25×0.6+0.6× =0.6×（+5.25+） =0.6×10 =6 1. 计算：2×（6-2）+÷ 原式=×（6-2）+× =×（6-2+ =×3 =7 2.12.5×8-9.5÷（1-） 原式=12.5×8-9.5÷ =12.5×-9.5× =（12.5-9.5）× =3× = 3.（+0.75）÷（2×0.4+1÷1.8） 原式=1÷（×+1.8÷1.8） =1÷2 =0.5 1. 计算：（3×4×5×6×7×8）÷（7×8×9×10） 原式= =4 2. 计算：（5×6×7×8×9×10）÷（7×9×11×12） 原式= = 3. 计算：（1×2×3×4×……×9×10×11）÷（27×24×25×22） 原式= =112 1.计算： 原式= = 2.计算：（++）÷ 原式=（++）÷ =（++）÷ =3 3.计算：（3÷2）×（4÷3）×（5÷4）×……×（2012÷2011）×（2013÷2012） 原式=×××……×× = 1. 计算：8×+19×+11× 原式=×+×+× =7+13+7 =27 2. 计算：7×+9×+8÷ 原式=×+×+× =7+8+7 =22 3. 计算：6×+5÷+÷ 原式=×+×+× =6+10+11 =27 1.计算2×20×3 原式= =156 2.3 ÷÷6 原式= =3 3. 原式= =61 1. 请填写下式左边的两个分母（都是自然数），使得两边相等： += 解：-= 所以+= 2. ++=，请找出3个不同的自然数，分别作为3个分母，使这个等式成立。 解：答案不唯一 =+=++ 3.再算式+++=1中，A、B、C分别代表三个不同的自然数，这三个数的和是多少？ 解：+++=1，2+3+9=14 1. 把拆分成三个不同的分数单位的和。 解：==++ 2. 把拆分成三个不同的分数单位的和。 解：===+++ 或===+++ 3. 如果+=（A、B均为自然数），那么B最大是多少？ 解：因为+=，所以B最大为2011。 1.求+++……++的整数部分。 解：原式=（+）×12÷2 =7 所以，整数部分是7。 2. 求+++……+的整数部分。 解：0.9×10＜0.9+0.99+0.999+…+0.9999999999＜0.9999999999×10；0.9×10=9； 0.9999999999×10=9.999999999，所以，整数部分是9。 3.（1+）+（1+×2）+（1+×3）+…+（1+×10）+（1+×11）的结果是A，与A最接近的整数是多少？ 解：原式=11+×（1+2+3+…+10+11）=11+×66=24，所以，与A接近的整数是25 1.求的整数部分。 解：原式=＜＜，所以，整数部分是2. 2. 求的整数部分。 解：因为＞，＜=， 所以，10＜S＜10.9，S的整数部分是10. 3.把、、、、、和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第几位？ 解：（+++++）÷6=（+++++）÷6=（1+++）÷6=×=。 因为=＞＞=，所以，它们的平均数从小到大排列排在第5位。 【经典测试】参考答案 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 计算题： 1.计算：37÷12 原式=（36+1）÷12 =36÷12+1÷12 =3+ =3 2.计算：×+1×0.1+2÷10 原式=×+1×+2× =（+1+2）× =5×0.1 =0.5 3.计算：（××）÷（××） 原式=（÷）×（÷）×（÷） =2×0.2×2 =0.8 4.计算：12×（-）÷（-） 原式=12×× = 5.计算：++++++……+++++……+ 原式=1+1.5+2+2.5+…+25.5 =（1+25.5）×50÷2 =662.5 6.计算：1×19.6+36÷+2.84×12.5 原式=×19.6+36×+2.84×12.5 =×19.6+36×+28.4× =（19.6+36+28.4× =84× =105 7.计算：（-0.1÷2）×+1÷1 原式=（-÷2）×+1× =×+ =1 8.计算：2.4÷1 ×4.125-（18 -13.42） 原式=2.4××-18 +13.42 =5.58+13.42-18 =19-18 = 9.计算： 原式= = = = 10.（1）把拆分成三个不同的分数单位的和。 解：=+=++ （2）把拆分成三个不同的分数单位的和。 解：==++=++ 14 学科网（北京）股份有限公司 $