专题6 分数除法应用题-六年级同步奥数专项提升

该小学数学讲义通过梳理分数除法应用题的核心方法，用框架图呈现“线段图辅助分析、还原法、转化法”等解题策略，将题型按“已知几分之几求这个数、单位‘1’不同、抓不变量”分类，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“经典范例-巩固提升-综合测试”三层递进练习，如“两个分率单位‘1’不同”例题通过统一单位“1”培养推理意识，线段图运用发展几何直观，参考答案详细支持分层教学，助力教师精准教学和学生自主提升。

专题6：分数除法应用题 --六年级同步奥数专项提升 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 分数除法应用题： 一、分数应用题中,数量之间相互依存的关系较为复杂,“量”与“率”之间的对应关系不是很明显,常借助线段图来理清思路。 二、运用还原法解分数应用题，常选择画线段图或列表来弄清数量之间的关系。分数还原问题一般具有以下的特点: （1）已知具体数量的最后结果,一般把原来总数看成单位“1”； （2）每次的变化都以上一次的剩余为基准数进行变化； （3）一般是求原来的总数。 三、当一个分数应用题中由现几个分率分别有对应的单位“1”时，应选择其中一个单位”1”为标准,并将其他单位”1”进行转化,合并成统一的单位“1”后再求解。这就叫转化法解分数应用题。 【已知一个数的几分之几是多少，求这个数】 【经典例题】某物流公司有一批货物准备运往广州,第一天运走了,第二天运走了,还有12吨,这批货物一共有多少吨? 【思路点拨】 解法一：因为“第一天运走了了”,第二天运走了”,因此,还剩下1- -=,剩下这批货物的是 12吨。 解：设这批货物共有x吨,第一天运走x吨,第二天运走x吨。 x- x-x=12 x=12 x = 70 答:这批货物一共有 70吨。 解法二：运用量率对应关系求出单位“1”：总质量 12÷（1--） =12÷ =70（吨） 答:这批货物一共有 70吨。 1.阿花看《青铜葵花》,她星期一看了这本书的,星期二看了这本书的。星期三看完最后的 41页.《青铜葵花》共有多少页? 2. 在公元前 1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载着一些数学问题其中一个问题翻译过来是:“啊哈,它的全部,它的,其和等于 19。”如果把“它”看作○,下列符合题意的式子是（ ）。 A. ○+○×=19 B.○+=19 C.1+=19 3. 有人问毕达哥拉斯:“尊敬的毕达哥拉斯,你的弟子有多少?”“我的一半的弟子在探索数的奥秘； 的弟子在追求着自然界的哲理； 的弟子终日沉默寡言深入思考；除此以外,还有三个是女弟子,这就是我全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子? 【已知一个数的几分之几多（或少）几，求这个数】 【经典例题】为了庆祝“六一国际儿童节”,同学们做了一些绸花,第一小组做了,第二小组做了多 10 朵,第三小组做了 30 朵.同学们一共做了多少朵绸花? 【思路点拨】 解法一：把“同学们一共做的绸花朵数”看作是x,那么,第一小组做了x朵,第二小组做了(x+10)朵。 解：设同学们一共做了x朵绸花。 x-x -(x+10)=30 x=40 x=150 答:同学们一共做了150朵绸花。 解法二：量率对应：（30+10）÷（1--） =40÷ =150（朵） 答：同学们一共做了150朵绸花。 1. 陈师傅加工一批零件,第一天做了,第二天做了还多 20个,这时还剩 360个没有完成,这批零件共有多少个? 2.晶晶有一些邮票,她把其中的多6张送给小芳,把其中的少8张送给小青,自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票? 3.一农夫看见池塘里有一群鹅,他自言自语地说:“我如果有这些鹅,再加上这些鹅,然后再加上这些鹅的一半,又加上这些鹅一半的一半,最后再加上我家里的5只,就正好是 93 只鹅,”池塘里共有多少只鹅? 【两个分率的单位“1” 不相同】 【经典例题】小猴子欢欢摘桃子,第一天摘了树上桃子总数的,第二天摘了剩下的。 还剩下16只桃子,树上原来有多少只桃子? 【思路点拨】 解法一：“第一天摘了总数的。”就是说还留下单位“1”的,“第二天摘了剩下的。”也就是摘了单位“1” 的。 解：设树上原来有x只桃子。 x-x-（1-）×x=16 x=16 x=36 答：树上原来有36只桃子。 解法二：还原问题 16÷（1-）÷（1-） =16÷÷ =36（只） 答：树上原来有36只桃子。 1. 小琳看一本故事书,她第一天看了全书的,第二天看了第一天的,还剩下123页没有看,这本故事书共有多少页? 2.一辆“宇通”大客车从南京开往杭州,第一小时行了全程的,第二小时行了余下路程的,第二小时比第一小时多行了12千米,南京和杭州相距多少千米? 3.某人从甲城到乙城需2小时,第一小时走了全程的多50千米,第二小时的行程等于第一小时的,求甲乙两城的距离。 【抓不变量（部分量）解题】 【经典例题】实验小学派出100名选手参加“幼苗杯”数学竞赛,其中女选手占.正式比赛时,有几名女选手因故弃权,这样参赛的女选手只占参赛总人数的,正式参赛的女选手有多少名? 【思路点拨】因为“女选手占”,我们可以先求出男选手占1-=,再求出男生的人数;然后在正式比赛时,男生占选手总数的(1-),反过来求出此时参赛的总人数,最后求出女生人数。 解：100×（1-）÷（1-）× =100××× =15（名） 答:正式参赛的女选手有15名. 1. 学校的阅览室里有36名学生在看书,其中男生占,后来又有几名男生来看书,这时男生人数占所有看书人数的,后来又来看书的男生有几名? 2.某公司有两堆货物共19吨,如果从第一堆里运走它的,从第二堆里运走3吨,这时两堆货物重量相等。这两堆货物原来各有多少吨? 3.有一堆糖果,其中甲种糖占,再放人16块乙种糖后,甲种糖占现在总数的,这堆糖中有多少块甲种糖? 【抓住总量不变转化单位“1”】 【经典例题】陈亮给李奶奶运蜂窝煤,第一次运了,第二次运了 32块,这时运来的恰好是没运来的.一共有多少块蜂窝煤? 【思路点拨】 因为“运来的恰好是没运来的”,可以知道已运来全部的，所以,“32 块”与“-。”相对应。 32÷(-)=32÷=768(块) 答:一共有 768 块蜂窝煤。 1. 植树节那天,同学们在山坡上植树,上午第一小队植了,第二小队植了95 棵,这时植好的树恰好是没植的。他们一共计划植多少棵树? 2.春华运输队把一批面粉从苏北运到苏南,第一次运了,第二次运了 200袋,这时没运的是运好的,这批面粉一共有多少袋? 3. 甲、乙两堆货物共重42吨,从甲堆运走它的,乙堆运来12吨后,两堆煤现在的重量相等。乙堆原有煤多少吨? 【用份数解决假设问题】 【经典例题】甲、乙两个工程队共有工人 340人,如果甲队调出,乙队调出60人,那么甲、乙两个队剩下的人数相等。甲、乙两个队原来各有工人多少人? 【思路点拨】 解法一：甲队调出,还剩,说明乙队调出 60人后,剩下的人数相当于甲队的,不妨设乙队现在有“3 份”,那么甲队共有“4 份”,从而不难解决问题。 甲队人数：(340-60)÷(3+4)×4=160(人) 乙队人数：340-160=180(人) 答:甲队原来有160人,乙队原来有 180人。 解法二： 假设乙队调出60人后，现在的人数就相当于甲队原有人数的1-=。然后运用和倍问题解决即可。 甲队人数：（340-60）÷（1-+1） =280÷ =160（人） 乙队人数：340-160=180（人） 答:甲队原来有160人,乙队原来有 180人。 1.阳光小学六(1)班共有学生50人,选出8名男生和的女生参加校运动会.剩下的男生和女生相等,这个班的男生和女生各有多少人? 2.学生阅览室里有650本科技书和故事书,如果科技书借掉,故事书借掉100本,剩下的故事书是科技书的2倍。科技书和故事书原来各有多少本? 3.一袋球有红、黄两种颜色,先取出60个球,其中恰好有56个红球.以后每次取出的 18个球中总有14个红球,一直取到最后18个球正好取完,如果这堆球中红球的总个数正好占总球数的。那么,这袋球中一共多少个红球? 共12题 满分100分 测试时间：60分钟 一、应用题。 1.小明三天看完一本故事书,第一天看了全书的还少4页,第二天看了全书的还多14页,第三天看了90页,这本故事书一共有多少页? 2.小明用桶盛了水,如果倒去一半水后,连桶和水共重6千克,如果倒去水的,连桶共重7千克,求桶的重量。 3.某公司挖一条长 400 米的水渠,第一天挖了全长的,第二天挖了余下的,第三天正好挖完,第三天挖了多少米? 4.一列客车,乘客中成年男性占,成年女性占,儿童有31人。 (1)这列客车一共有乘客多少人? (2)乘客中,成年男性比成年女性多多少人? 5.开学初,曙光小学学生处在统计学生人数时发现:低年级学生人数占中、高年级学生人数的;中年级学生人数占低、高年级学生人数的。高年级有420人.你知道这个学校一共有多少人吗? 6.今年儿子的年龄是父亲年龄的,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的,今年儿子多少岁? 7.体育器材室有排球和篮球共63个,如果排球借掉,还比篮球多2个,那么,排球和篮球原来各有多少个? 8.一个客人问餐馆老板:“你家餐馆的常客有多少人?应该不少吧?”老板说:“你猜!我这边的常客啊,有一半是附近的上班族,另外是像你这样的外地人, 是对面政府机关的公务员, 是我以前的一些同事,剩下4人是附近的学生,”那么,这家小餐馆的常客有多少人? 9.新学期开学,小明到商店去买相同数量的圆珠笔和铅笔,圆珠笔原价2元3支,铅笔原 价3元5支,因为搞促销活动,两种笔都按1元2支卖,结果小明比原来少花了4元钱,小明共买了多少支笔? 10.美国大诗人朗费罗(19世纪最著名的美国诗人之一)在他的小说《卡瓦纳》里,从古老的印度梵文中引进了几则巧妙的数学趣题,下面便是其中之一: “有一群蜜蜂,其中落在杜鹃花上, 落在牡丹花上,两者之差的3倍蜜蜂飞向一个树枝搭成的棚架,最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去,那么共有多少只蜜蜂?” 11.甲挖一条水渠,第一天挖了水渠总长度的,第二天挖了剩下水渠长度的,第三天挖了未挖水渠长度的,第四天挖完最后剩下的100米水渠,那么,则这条水渠长多少米? 12.一列快车从甲地开往乙地需要5小时,一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多,两车同时从甲、乙两地相对开出2小时后,慢车停止前进,快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇,则甲、乙两地相距多少千米? 【巩固提升】参考答案 1.阿花看《青铜葵花》,她星期一看了这本书的,星期二看了这本书的。星期三看完最后的 41页.《青铜葵花》共有多少页? 解：41÷（1--） =41÷ =246（页） 答：《青铜葵花》共有246页。 2. 在公元前 1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载着一些数学问题其中一个问题翻译过来是:“啊哈,它的全部,它的,其和等于19。”如果把“它”看作○,下列符合题意的式子是（ ）。 A. ○+○×=19 B.○+=19 C.1+=19 解：它的全部加上它的,其和等于19，即○+○×=19 答案为A 3. 有人问毕达哥拉斯:“尊敬的毕达哥拉斯,你的弟子有多少?”“我的一半的弟子在探索数的奥秘； 的弟子在追求着自然界的哲理； 的弟子终日沉默寡言深入思考；除此以外,还有三个是女弟子,这就是我全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子? 解：3÷（1---） =3÷ =28（个） 答：毕达哥拉斯共有28个弟子。 1. 陈师傅加工一批零件,第一天做了,第二天做了还多 20个,这时还剩 360个没有完成,这批零件共有多少个? 解：（360+20）÷（1--） =380÷ =600（个） 答：这批零件共有600个。 2.晶晶有一些邮票,她把其中的多6张送给小芳,把其中的少8张送给小青,自己还留下40 张。晶晶原有多少张邮票? 解：（40-8+6）÷（1- - ） =38÷ =60（张） 答：晶晶原有60张邮票。 3.一农夫看见池塘里有一群鹅,他自言自语地说:“我如果有这些鹅,再加上这些鹅,然后再加上这些鹅的一半,又加上这些鹅一半的一半,最后再加上我家里的5只,就正好是 93 只鹅,”池塘里共有多少只鹅? 解：（93-5）÷（1+1++×） =88÷ =32（只） 答：池塘里共有32只鹅. 1. 小琳看一本故事书,她第一天看了全书的,第二天看了第一天的,还剩下123页没有看,这本故事书共有多少页? 解：123÷（1--×） =123÷ =150（页） 答：这本故事书共有150页。 2.一辆“宇通”大客车从南京开往杭州,第一小时行了全程的,第二小时行了余下路程的,第二小时比第一小时多行了 12 千米,南京和杭州相距多少千米? 解：12÷[（1-）×-） =12÷ =336（千米） 答：南京和杭州相距336千米。 3.某人从甲城到乙城需2小时,第一小时走了全程的多50千米,第二小时的行程等于第一小时的,求甲、乙两城的距离。 解：第二小时的行程等于第一小时的，相当于全程的多50千米的，即行了全程的×多50×=45千米。 （50+50×）÷（1--×） =95÷ =（千米） 答：甲、乙相距千米。 1. 学校的阅览室里有36名学生在看书,其中男生占,后来又有几名男生来看书,这时男生人数占所有看书人数的,后来又来看书的男生有几名? 解：女生人数不变。 36×（1-）÷（1-）-36 =36××-36 =2（名） 答：后来又来看书的男生有2名。 2.某公司有两堆货物共19吨,如果从第一堆里运走它的,从第二堆里运走3吨,这时两堆货物重量相等。这两堆货物原来各有多少吨? 解：假设法（19-3）÷（1+1-） =16÷ =10（吨） 19-10=9（吨） 答：这两堆货物原来各有10，9吨。 3.有一堆糖果,其中甲种糖占,再放人16块乙种糖后,甲种糖占现在总数的,这堆糖中有多少块甲种糖? 解：甲糖数量不变，转化为甲糖为单位“1”。 甲糖数量：16÷（-） =16÷ =9（块） 答：这堆糖中有9块甲种糖。 1. 植树节那天,同学们在山坡上植树,上午第一小队植了,第二小队植了95 棵,这时植好的树恰好是没植的。他们一共计划植多少棵树? 解：转化单位“1”，统一以总棵数为单位“1”. 95÷（-） =95÷ =350（棵） 答：他们一共计划植350棵树。 2.春华运输队把一批面粉从苏北运到苏南,第一次运了,第二次运了 200袋,这时没运的是运好的,这批面粉一共有多少袋? 解：200÷（-） =200÷ =720（袋） 答：这批面粉一共有720袋。 3. 甲、乙两堆货物共重42吨,从甲堆运走它的,乙堆运来12吨后,两堆煤现在的重量相等。乙堆原有煤多少吨? 解：假设法 甲：（42+12）÷（1+1-） =54÷ =30（吨） 乙：42-30=12（吨） 答：乙堆原有煤12吨。 1.阳光小学六(1)班共有学生50人,选出8名男生和的女生参加校运动会.剩下的男生和女生相等,这个班的男生和女生各有多少人? 解：男生（50-8）÷（1+1-） =42÷ =24（人） 女生：50-24=26（人） 答：这个班的男生和女生各有24,26人。 2.学生阅览室里有650本科技书和故事书,如果科技书借掉,故事书借掉100本,剩下的故事书是科技书的2倍。科技书和故事书原来各有多少本? 解：科技书（650-100）÷[1+（1-）×2] =550÷ =250（本） 故事书：650-250=400（本） 答：科技书和故事书原来各有250,400本。 3.一袋球有红、黄两种颜色,先取出 60个球,其中恰好有56个红球。以后每次取出的 18个球中总有14个红球,一直取到最后18个球正好取完,如果这堆球中红球的总个数正好占总球数的。那么,这袋球中一共多少个红球? 解：设一共取了x次。 14x+56=（18x+60） 解得x=20 14×20+56=336（个） 答：这袋球中一共336个红球。 【经典测试】参考答案 共12题 满分100分 测试时间：60分钟 一、应用题。 1.小明三天看完一本故事书,第一天看了全书的还少4页,第二天看了全书的还多14页,第三天看了90页,这本故事书一共有多少页? 解：（90+14-4）÷（1--） =100÷ =240（页） 答：这本故事书一共有240页。 2.小明用桶盛了水,如果倒去一半水后,连桶和水共重6千克,如果倒去水的,连桶共重7千克,求桶的重量。 答：现在水的质量：（7-6）÷（1--）=10（千克） 桶的质量：6-10×=1（千克） 答：桶的质量是1千克。 3.某公司挖一条长 400 米的水渠,第一天挖了全长的,第二天挖了余下的,第三天正好挖完,第三天挖了多少米? 解：400×[1--（1-）×] =400× =96（米） 答：第三天挖了96米。 4.一列客车,乘客中成年男性占,成年女性占,儿童有31人。 (1)这列客车一共有乘客多少人? (2)乘客中,成年男性比成年女性多多少人? 解：（1）31÷（1--） =31÷ =744（人） 答：这列客车一共有乘客744人。 （2）744×（-）=217（人） 答：乘客中,成年男性比成年女性多217人。 5.开学初,曙光小学学生处在统计学生人数时发现:低年级学生人数占中、高年级学生人数的；中年级学生人数占低、高年级学生人数的。高年级有420人.你知道这个学校一共有多少人吗? 解：420÷（1--） =420÷ =1470（人） 答：这个学校一共有1470人。 6.今年儿子的年龄是父亲年龄的,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的,今年儿子多少岁? 解：年龄差不变：15÷（-） =15÷ =30（岁） 儿子：30×=10（岁） 答：今年儿子10岁。 7.体育器材室有排球和篮球共63个,如果排球借掉,还比篮球多2个,那么,排球和篮球原来各有多少个? 解： 排球：（63+2）÷（1+1-） =65÷ =35（个） 篮球：63-35=28（个） 答：排球和篮球原来各有35,28个。 8.一个客人问餐馆老板:“你家餐馆的常客有多少人?应该不少吧?”老板说:“你猜!我这边的常客啊,有一半是附近的上班族,另外是像你这样的外地人, 是对面政府机关的公务员, 是我以前的一些同事,剩下4人是附近的学生,”那么,这家小餐馆的常客有多少人? 解：4÷（1----） =4÷ =168（人） 答：这家小餐馆的常客有168人. 9.新学期开学,小明到商店去买相同数量的圆珠笔和铅笔,圆珠笔原价2元3支,铅笔原 价3元5支,因为搞促销活动,两种笔都按1元2支卖,结果小明比原来少花了4元钱,小明共买了多少支笔? 解：设小明一共买了x支圆珠笔和x支铅笔，那么一共买了2x支笔。 则（-）x+（-）x=4 解得：x=15 15×2=30（支） 答：小明一共买了30支笔。 10.美国大诗人朗费罗(19世纪最著名的美国诗人之一)在他的小说《卡瓦纳》里,从古老的印度梵文中引进了几则巧妙的数学趣题,下面便是其中之一: “有一群蜜蜂,其中落在杜鹃花上, 落在牡丹花上,两者之差的3倍蜜蜂飞向一个树枝搭成的棚架,最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去,那么共有多少只蜜蜂?” 解：1÷[1---3×（-）] =1÷ =15（只） 答：那么共有15只蜜蜂。 11.甲挖一条水渠,第一天挖了水渠总长度的,第二天挖了剩下水渠长度的,第三天挖了未挖水渠长度的,第四天挖完最后剩下的100米水渠,那么,则这条水渠长多少米? 解：还原问题100÷（1-）÷（1-）÷（1-） =200×× =350（米） 答：则这条水渠长350米。 12.一列快车从甲地开往乙地需要5小时,一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多,两车同时从甲、乙两地相对开出2小时后,慢车停止前进,快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇,则甲、乙两地相距多少千米? 解：5×（1+）=6（小时） 40÷（1-×2-×3） =40÷ =150（千米） 答：则甲、乙两地相距150千米。 14 学科网（北京）股份有限公司 $