章末综合测评2 一元二次函数、方程和不等式（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 2．给定下列命题： ①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b⇒<． 其中正确的命题个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　) A．P<Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　) A． B． C． D． 5．已知＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A． B． C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1} 7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知2<x<3，2<y<3，则(　　) A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3 C．－1<x－y<1 D．4<xy<9 10．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 11．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　) A．ab有最大值 B．有最小值 C．有最小值4 D．a2＋b2有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．要使有意义，则x的取值范围为________． 13．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________． 14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0，0≤a≤1． 16．(本小题满分15分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围． (2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：≥10． 17．(本小题满分15分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0． (1)若不等式的解集为，求k的值； (2)若不等式的解集为R，求k的取值范围． 18．(本小题满分17分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？ 方案 第一次(提价) 第二次(提价) 甲 p% q% 乙 q% p% 丙 (p＋q)% (p＋q)% 19．(本小题满分17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(二) 1．A　[A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A．] 2．A　[取a＝0，b＝－1可知①③④均错误．取a＝－2，b＝1可知②错误，故①②③④均错误，故选A．] 3．C　[∵m>1，∴P＝m＋＋1＝5，当且仅当m－1＝，即m＝3时，等号成立． ∴P≥Q，故选C．] 4．A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0，综上，原不等式的解集为，故选A．] 5．D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝8． 当且仅当，即x＝y＝4，等号成立．] 6．A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根． 由根与系数的关系得 ∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0．解得－1<x<．] 7．C　[∵(x－a)☉(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)， ∴不等式(x－a)☉(x＋a)<1， 即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， 解得－，故选C．] 8．C　[设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]>320， 即x2－28x＋192<0，解得12<x<16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．] 9．ACD　[∵2<x<3，2<y<3， ∴4<xy<9． ∴4<2x<6，6<2x＋y<9， ∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4． 故选ACD．] 10．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝．由于b>a>0，由基本不等式可得， ∴v＝． 另一方面，v＝，v－a＝>0，∴v>a， 故a<v<，故选AD．] 11．AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴ab有最大值，∴A正确； ()2＝a＋b＋2≤1＋(a＋b)＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴0<，∴B错误； ≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴有最小值4，∴C正确； a2＋b2≥2ab，2ab≤， ∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误． 故选AC．] 12．{x|－7<x<1}　[要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1．] 13．(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)　[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0，解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．] 14．{3，4，5，6，7，8，9}　5　[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N+， 又函数图象过点(4，7)，故7＝a(4－6)2＋11， ∴a＝－1． ∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N+． 由y>0得6－，又x∈N+， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9． 由＋12≤－2·＋12＝－10＋12＝2可知，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．] 15．解：由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0． 因为0≤a≤1， 所以①当1－a>a， 即0≤a<时，a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a． 综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a<x<1－a}； 当a＝时，解集为∅； 当<a≤1时，解集为{x|1－a<x<a}． 16．解：(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8， 所以()2－2－8≥0， 所以(－4)(＋2)≥0， 所以≥4， 所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4时取等号)， 所以xy的取值范围为[16，＋∞)． (2)证明： ＋ ＝4＋＋ ≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以 ≥10． 17．解：(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为， 所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－，得k＝． (2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0， 所以解得－3<k<0． 故k的取值范围为{k|－3<k<0}． 18．解：设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则 N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)， N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)， N丙＝a＝a． 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a与a(1＋p%)(1＋q%)的大小． N甲－N丙＝a ＝(2pq－p2－q2) ＝－(p－q)2<0． ∴N丙>N甲， ∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大． 19．解：(1)y＝≈11.08． 当且仅当v＝，即v＝(40千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时． (2)据题意有：≥10， 化简得v2－89v＋1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64． 所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64(千米/时)这个范围内． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $