课时分层作业56 用样本估计总体的离散程度（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(五十六) A组　基础合格练 1．C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．] 2．D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为．故选D．] 3．D　[∵样本a，0，1，2，3的平均数为1， ∴＝1，解得a＝－1．则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为．故选D．] 4．D　[由题意得，＝108， ① ＝35.2， ② 由①②解得 所以|x－y|＝18．故选D．] 5．C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为，则两个班数学成绩的方差为 s2＝×[2＋()2]＋×[3＋()2]＝×3＝2.6．] 6．丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．] 7．5　　[由＝3得a＝5． 由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝．] 8．200　[设男、女员工的层权分别为ω男，ω女， 由题意可知s2＝ω男[＋()2]＋ω女[＋()2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝， 因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200．] 9．解：甲品种的样本平均数为×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02． 乙品种的样本平均数为×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244． 因为0.244>0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 10．解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝45(岁)，年龄的方差为[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ×45≈39.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝[2＋(38－39.2)2]＋×[73＋(45－39.2)2]＝20.64． B组　能力过关练 11．BC　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s2．故选BC．] 12．BC　[由题意可得 2．003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－)2]， 解得＝3.3或2.7．] 13．1，1，3，3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数． 由条件知即 又x1，x2，x3，x4为正整数， ∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． ∵s＝＝1， ∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． 由此可得4个数分别为1，1，3，3．] 14．解：(1)各组的组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5，285.5，315.5，345.5，375.5，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)． (2)×[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59． 故标准差为≈46． 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适． C组　拓广探索练 15．解：(1)由条件可得区间(－2s，＋2s)＝(158，186)，在区间外的数据有158和186，剔除后剩余18个数据，其平均数为(172×20－158－186)＝172(cm)，方差[(s2×20)－(158－172)2－(186－172)2]＝≈32.67． (2)(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比，有以下特点：①(－2s，＋2s)以内的数据占总数据个数的90%，说明该校90%左右的男生身高都在区间(158，186)以内；②平均数没变，即平均身高没有变化；③原数据的方差为49，而(－2s，＋2s)以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(五十六)　用样本估计总体的离散程度 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共117分 一、选择题 1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．中位数 C．方差 D．众数 2．对一组样本数据xi(i＝1，2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1，2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　) A．平均数与方差都不变 B．平均数与方差都变了 C．平均数不变，方差变了 D．平均数变了，方差不变 3．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　) A． 　　　　 C．2　　　　 D． 4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y，105，109，110．已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表所示： 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中＝，则两个班总体数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2 C．2.6 D．2.5 二、填空题 6．甲、乙、丙、丁四人参加某次奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩(单位：环)和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为________． 7．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________． 8．为了调查公司员工的健康状况，用分层抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________． 三、解答题 9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差． 11．(多选题)若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　) A．平均数是10　　 B．平均数是11 C．方差为2 D．方差为3 12．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为＝2.6，＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝＝＝3，则高三学生每天读书时间的平均数可能是(　　) A．3.2　 　　B．3.3　 　　C．2.7　 　　D．4.5 13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)． 14．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表： 天数 151～ 180 181～ 210 211～ 240 241～ 270 271～ 300 301～ 330 331～ 360 361～ 390 灯管 数 1 11 18 20 25 16 7 2 (1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，则可选择多长时间统一更换合适？ 15．在某年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 168 167 165 186 a b c d 178 158 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176 由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个 人的身高都在区间(160，182)内，且这20组身高数据的平均数为＝172，标准差为s＝7． (1)为了更好地研究该校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(－2s，＋2s)内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，该校男生身高的平均数与方差分别为多少？(方差保留两位小数) (2)使用统计学的观点说明(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比有什么特点．(主要用平均数与方差进行说明) 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $