65 第6章 6.4.2 用样本估计总体的离散程度（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦用样本估计总体的离散程度这一核心知识点，系统讲解极差、方差（总体方差、样本方差、分层抽样方差）、标准差的概念、计算及统计含义。在学习样本估计总体集中趋势后，进一步构建数据分布特征分析框架，帮助学生全面理解数据离散程度的统计意义。 资料以甲、乙战士射击环数问题引入，通过定义辨析、分层抽样方差计算及综合应用案例，培养数学抽象和数据分析素养。课中教师可依托实例提升教学效果，课后学生可通过例题与训练回顾知识，弥补计算或理解盲点，强化对离散程度参数的应用能力。

6.4.2　用样本估计总体的离散程度 学习任务 核心素养 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点) 2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点) 1．通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养数据分析素养． 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否做出选择？ 知识点　极差、方差、标准差 1．极差 (1)定义：将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． (2)极差的意义 极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，但它易受极端值的影响，不能反映中间数据的离散状况． 2．方差 (1)总体方差： ①定义：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． ②意义：总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向μ集中得越好． 总体方差σ2也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小． (2)样本方差 ①定义：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称 为这n个数据的样本方差，也简称方差． ②意义：样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值集中或离散的程度．当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计． (3)分层抽样的方差 将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为，样本方差分别为，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为n＝n1＋n2，＝(n1＋n2)，s2＝． (1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？ (2)数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为，那么s2与的大小关系如何？ [提示]　(1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的层权是不同的． (2)因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即＜s2． 3．标准差 (1)定义：标准差是方差的算术平方根． 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． s＝． (2)标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．样本标准差是总体标准差的估计． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1，2，3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) 图1　　　　　　图2　　　　　图3 A．s3＞s1＞s2　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 D　[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1．] 类型1　方差和标准差的计算 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解]　(1)＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， ＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100． ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1． (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 　标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)当标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． [跟进训练] 1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．>，sA>sB　　 B．<，sA>sB C．>，sA<sB D．<，sA<sB B　[＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25， ＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67． ＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90， ＝[(15－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2]≈3.47． 故＜，sA＞sB．] 2．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　) A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C．81.2，44.4 D．78.8，75.6 A　[法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80， 所以＝1.2， 所以＝1.2， 即＝40.6． [(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4， 即[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4， 所以原来数据的方差为[(x1－40.6)2＋(x2－40.6)2＋…＋(xn－40.6)2]＝－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝×4.4＝1.1． 法二：设原数据的平均数为 －80，方差为22s2， 由题意得2＝40.6，s2＝1.1．] 类型2　分层抽样的方差 【例2】　在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1) [解]　把甲同学抽取的样本的平均数记为 ，方差记为s2． 则＝≈5.4， s2＝＝ ≈12.4． 即样本的平均数为5.4，方差为12.4． 　计算分层抽样的方差s2的步骤 (1)确定，n1，n2； (2)确定，n＝n1＋n2； (3)应用公式s2＝＋()2]，计算s2． [跟进训练] 3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ [解]　由题意可知＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占层权为＝＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占层权为＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296． 类型3　数据的数字特征的综合应用 【例3】　在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如表所示： 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？ [解]　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6) ＝×4 000＝80， ＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12) ＝×4 000＝80． ＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， ＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256． ∵＝，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些． (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好． (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好． 　数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的． [跟进训练] 4．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75． 经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m 方可获得冠军呢？ [解]　甲的平均成绩和方差如下： ＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69， ＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6． 乙的平均成绩和方差如下： ＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68， ＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15． 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛． 在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛． 1．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15　　　　 C．16　　　　 D．32 C　[已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16．故选C．] 2．有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全按大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的均值为6，则这组数据的方差为(　　) A．6 B． C．66 D．6.5 A　[由＝(2＋4＋4＋…＋11＋x)＝6， 得x＝5， 故s2＝[(2－6)2＋(4－6)2＋…＋(11－6)2＋(5－6)2]＝6．] 3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则： (1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7　(2)2　[(1)＝×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7． (2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．] 4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________． 2　[s＝ ＝ ＝＝2．] 5．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________． 91　[由题意得 即 解得或 所以xy＝91．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何计算一组数据的方差或标准差？ [提示]　首先计算出这组数据的平均数，然后按公式s2＝[(x1－)2＋…＋(xn－)2]计算方差． 按公式s＝ 计算标准差． 2．如何计算分层抽样的方差？ [提示]　计算分层抽样的方差的步骤： ①确定，n1，n2； ②确定，n＝n1＋n2； ③应用公式s2＝＋()2]计算s2． 3．一组数据的方差或标准差反映了该组数据的什么特性？ [提示]　反映了这组数据相对于平均值的离散程度． 课时分层作业(五十六)　用样本估计总体的离散程度 一、选择题 1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．中位数 C．方差 D．众数 C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．] 2．对一组样本数据xi(i＝1，2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1，2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　) A．平均数与方差都不变 B．平均数与方差都变了 C．平均数不变，方差变了 D．平均数变了，方差不变 D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为．故选D．] 3．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　) A． 　　　　 C．2　　　　 D． D　[∵样本a，0，1，2，3的平均数为1，∴＝1，解得a＝－1．则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为．故选D．] 4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y，105，109，110．已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 D　[由题意得，＝108，① ＝35.2，② 由①②解得或所以|x－y|＝18．故选D．] 5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表所示： 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中＝，则两个班总体数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2 C．2.6 D．2.5 C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为 s2＝×[2＋()2]＋×[3＋()2]＝×2＋×3＝2.6．] 二、填空题 6．甲、乙、丙、丁四人参加某次奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩(单位：环)和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为________． 丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．] 7．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________． 5　　[由＝3得a＝5． 由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝．] 8．为了调查公司员工的健康状况，用分层抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________． 200　[设男、女员工的层权分别为ω男，ω女， 由题意可知s2＝ω男＋()2]＋ω女＋()2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝， 因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200．] 三、解答题 9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 [解]　甲品种的样本平均数为×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02． 乙品种的样本平均数为×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244． 因为0.244＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差． [解]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45(岁)， 年龄的方差为＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝×38＋×45≈39.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64． 11．(多选题)若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　) A．平均数是10　　 B．平均数是11 C．方差为2 D．方差为3 BC　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s2．故选BC．] 12．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为＝2.6，＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝＝＝3，则高三学生每天读书时间的平均数可能是(　　) A．3.2　 　　B．3.3　 　　C．2.7　 　　D．4.5 BC　[由题意可得 2.003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－)2]， 解得＝3.3或2.7．] 13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)． 1，1，3，3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数． 由条件知 即 又x1，x2，x3，x4为正整数， ∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． ∵s＝＝1， ∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3． 由此可得4个数分别为1，1，3，3．] 14．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表： 天数 151～ 180 181～ 210 211～ 240 241～ 270 271～ 300 301～ 330 331～ 360 361～ 390 灯管 数 1 11 18 20 25 16 7 2 (1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，则可选择多长时间统一更换合适？ [解]　(1)各组的组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5，285.5，315.5，345.5，375.5，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)． ＝2 128.59． 故标准差为≈46． 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适． 15．在某年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 168 167 165 186 a b c d 178 158 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176 由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个 人的身高都在区间(160，182)内，且这20组身高数据的平均数为＝172，标准差为s＝7． (1)为了更好地研究该校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(－2s，＋2s)内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，该校男生身高的平均数与方差分别为多少？(方差保留两位小数) (2)使用统计学的观点说明(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比有什么特点．(主要用平均数与方差进行说明) [解]　(1)由条件可得区间(＋2s)＝(158，186)，在区间外的数据有158和186，剔除后剩余18个数据，其平均数为＝(172×20－158－186)＝172(cm)，方差＝[(s2×20)－(158－172)2－(186－172)2]＝≈32.67． (2)(＋2s)以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $