64 第6章 6.4.1 用样本估计总体的集中趋势（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

6.4　用样本估计总体 6.4.1　用样本估计总体的集中趋势 学习任务 核心素养 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势．(重点、难点) 2．理解集中趋势参数的统计含义．(重点、难点) 1．通过对数据平均数、中位数、众数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势，培养直观想象素养． 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 知识点1　平均数 (1)定义：若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝．平均数也称均值． (2)总体均值与样本均值 总体均值是总体指标，是一个固定的量．而样本均值依赖于样本的选择，不同的样本通常有不同的样本均值，样本均值带有随机性．在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，称为μ的估计． (3)平均数与频率的关系 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f 1，f 2，…，f n，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn． (4)分层抽样中的总体均值与样本均值 在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL． 称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权． 对i＝1，2，…，L，用表示从第i层抽出样本的均值．称＝W1＋W2＋…＋WL是总体均值μ的简单估计． 1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　) A．1.57 m　 B．1.56 m　 C．1.55 m　 D．1.54 m B　[因为从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m，从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m，所以这500名13岁男孩的平均身高是＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．] 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 6　[＝6．] 知识点2　众数、中位数 1．定义 (1)众数：观测数据中出现次数最多的数是众数，用Mo表示． (2)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用Me表示．当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数． 2．众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受数据组中极端值的影响，具有较好的稳定性 对极端值不敏感，没有利用数据中的所有信息 众数 反映一组数据的集中趋势 众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响，没有利用数据中的所有信息 (1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？ (2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ [提示]　(1)不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数． (2)一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　) (2)描述一组数据集中趋势的数字特征可以是平均数、中位数和众数． (　　) (3)若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 4．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14，14 B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5 A　[把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14．] 5．已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示： 甲：27，m，39； 乙：n，32，34，38． 若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则＝________． 　[因为两组数据的中位数相同，所以m＝(32＋34)＝33．由于两组数据的平均数相同，所以(27＋33＋39)＝(n＋32＋34＋38)，解得n＝28．故＝．] 类型1　平均数、中位数和众数的计算 【例1】　已知10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a．] 　1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行． 2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性． [跟进训练] 1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ： 甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26 乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11 则下面结论中正确的是________(填序号)． ①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24． ①②③　[把两组数据按从小到大的顺序排列，得 甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37 乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23 故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故④不正确．] 类型2　平均数、中位数和众数的实际应用 【例2】　某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)： 63　38　25　42　56　48　53　39　28　47 45　52　59　48　51　62　48　50　52　38 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数； (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？ [解]　(1)由题意，该组数据的平均数为(63＋38＋25＋42＋56＋48＋53＋39＋28＋47＋45＋52＋59＋48＋51＋62＋48＋50＋52＋38)＝47.2， 这些数据从小到大排序为：25，28，38，38，39，42，45，47，48，48，48，50，51，52，52，53，56，59，62，63， 所以数据的中位数为＝48，其中众数为48． (2)该产品售后服务中心每天应准备接听48个客户的电话． 　平均数、中位数、众数的关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值． [跟进训练] 2．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　) A．me＝m0＝ B．m0<<me C．me<m0< D．m0<me< D　[由题图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分、3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分、2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15，16个数的平均数，即me＝＝5.5，5出现次数最多，故m0＝5，＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97．于是m0<me<．] 1．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值约为(　　) A．4.55　　　 B．6.5 C．12.5 D．1.64 A　[由题意得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．] 2．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　) A．众数 B．中位数 C．平均数 D．都不会 A　[众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．] 3．某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是95，95，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是95，故b的值为95； 根据平均数的定义，可求得这组数据的平均数a＝＝95.1；众数是一组数据中出现次数最多的数，所以c＝97，所以c>a>b．故选D．] 4．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是(　　) A．中位数可以准确地反映出总体的情况 B．平均数可以准确地反映出总体的情况 C．众数可以准确地反映出总体的情况 D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 D　[中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点，故A错误；平均数可以较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时，使用平均数描述数据的中心位置就可能会与实际情况产生较大差异，故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得众数无法客观反映总体特征，故C错误；综上可知，D正确．] 5．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________． 5　[∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6． ∴这组数据的平均数是＝5．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 众数、中位数和平均数在分析样本数据时各有何优缺点？ [提示]　 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 课时分层作业(五十五)　用样本估计总体的集中趋势 一、选择题 1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下： 84，79，86，87，84，93，84， 则这组分数的中位数和众数分别是(　　) A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85 B　[把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79，84，84，84，86，87，93，可知众数是84，中位数是84．] 2．(多选题)为评估一种农作物的种植效果，某农科院选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量的集中趋势的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的最大值与最小值 C．x1，x2，…，xn的众数 D．x1，x2，…，xn的中位数 ACD　[评估这种农作物亩产量集中趋势的指标是平均数、中位数和众数，故选ACD．] 3．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数 C　[判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩按从小到大的顺序排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数．] 4．某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表： 次品数 0 1 2 3 4 频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05 则次品数的平均数为(　　) A．1.1 B．3 C．1.5 D．2 A　[设数据xi出现的频率为pi(i＝1，2，…，5)，则x1，x2，…，x5的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x5p5＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1．故选A．] 5．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为(　　) A． C． B　[前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10．] 二、填空题 6．一组数据2，x，4，6，10的平均数是5，则x＝________． 3　[∵一组数据2，x，4，6，10的平均数是5，∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得x＝3．] 7．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：93，91，94，96，90，92，89，87，则这组数据的中位数和平均数分别是________． 91.5，91.5　[数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5， 平均数为＝91.5．] 8．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如图所示，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为________ h． 0.9　[由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h．] 三、解答题 9．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩 (单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． [解]　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m．题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m． 这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)． 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m． 10．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据如下： 甲：47 52 53 53 55 60 60 61 63 63 63 64 65 65 70 70 71 71 72 72 76 76 78 82 84 84 85 87 90 92 乙：45 53 53 58 60 60 60 61 61 62 62 63 63 65 70 70 72 72 72 73 73 76 76 79 81 81 85 85 88 90 (1)若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)； (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计－的值． [解]　(1)设甲校高三年级学生总人数为n，则＝0.05，解得n＝600， 又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩不及格的人数为5， ∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝． (2)用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，由题中数据可知： 30＝47＋52＋53＋…＋87＋90＋92＝2 084； 30＝45＋53＋53＋…＋85＋88＋90＝2 069； ∴－＝＝＝0.5， ∴估计－的值为0.5． 11．以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)： 甲：9　12　 x　 24　 27 乙：9　15　 y　 18　 24 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　) A．12，15 B．15，15 C．15，18 D．18，18 C　[因为甲组数据的中位数为15，所以x＝15，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，y＝18，故选C．] 12．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95，则这一组数据的众数和中位数分别为(　　) A．84，68 B．84，78 C．84，81 D．78，81 C　[将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81．] 13．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示． (1)请填写下表： 平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环) 甲 7 乙 (2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？ ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？ ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ [解]　(1)由题图可知，甲打靶的成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10． 乙打靶的成绩为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7． 甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3； 乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1． 所以表格填写如表所示： 平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环) 甲 7 7.5 3 乙 7 7 1 (2)由(1)知，甲、乙的平均数相同． ①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好． ②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好． ③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，故甲更有潜力． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $