53 第5章 5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，系统讲解周期函数、最小正周期的定义，梳理求y=A sin(ωx+φ)及y=A cos(ωx+φ)周期的方法，明确正弦、余弦函数奇偶性的判断要点，构建从定义到性质应用的学习支架。 资料以“明日复明日”的时间周期性情境引入，结合定义辨析（如周期是否唯一）和图象法求周期等例题，培养直观想象与逻辑推理素养。课中教师可借情境与例题引导探究，课后分层作业助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 学习任务 核心素养 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1．通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养． 明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．我们知道，时间具有周而复始的规律．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？ 知识点1　函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f (x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f (x±T)＝f (x)，则称函数y＝f (x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x)的最小正周期． 周期函数的周期是唯一的吗？ [提示]　不是．如f (x)的最小正周期为T，则nT(n∈N＋)都是f (x)的周期． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． (　　) (2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．若∀x∈R，函数y＝f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)的最小正周期为________． [答案]　1 知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 3．函数f (x)＝sin 2x的奇偶性为(　　) A．奇函数　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 A　[f (x)＝sin 2x的定义域为R，f (－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．] 类型1　三角函数的周期问题及简单应用 【例1】　求下列函数的周期： (1)y＝sin ； (2)y＝|sin x|． 你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期有无规律可循？ [解]　(1)y＝sin ＝sin ＝sin ， 所以周期为π． (2)作图如下： 观察图象可知周期为π． 　求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 提醒：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． [跟进训练] 1．求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin ； (2)y＝． [解]　(1)∵sin ＝sin ＝sin ， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin ，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin ，x∈R的周期是． (2)∵函数y＝cos 的最小正周期为π，而函数y＝的图象是将函数y＝cos 的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期T＝． 类型2　三角函数奇偶性的判断 【例2】　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝sin ； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝． [解]　(1)显然x∈R，f (x)＝cos x， ∵f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)， ∴f (x)是偶函数． (2)由得cos x＝， ∴f (x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z， ∴f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵1＋sin x≠0， ∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z． ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟进训练] 2．(多选题)关于x的函数f (x)＝sin (x＋φ)有以下说法，正确的是(　　) A．对任意的φ，f (x)都是非奇非偶函数 B．存在φ，使f (x)是奇函数 C．对任意的φ，f (x)都不是偶函数 D．不存在φ，使f (x)既是奇函数，又是偶函数 BD　[当φ＝π时，f (x)＝sin (x＋π)＝－sin x，是奇函数． 当φ＝时，f (x)＝sin ＝cos x，是偶函数． 所以A，C错误，B正确． 无论φ为何值，f (x)不可能恒为0，故不存在φ，使f (x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．] 类型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝cos |2x|　 B．y＝|sin 2x| C．y＝sin D．y＝cos (2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于(　　) A．－ C．－ (1)D　(2)D　[(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π． (2)f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝．] [母题探究] 若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？ [解]　f ＝f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－． 　与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)； (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． [跟进训练] 3．(1)奇函数f (x)满足f ＝f (x)，当x∈时，f (x)＝cos x，则f 的值为________． (2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 026)＝________． (1)－　(2)3　[(1)由f ＝f (x)可知T＝， ∴f ＝f ＝f ． 又f (x)为奇函数，且当x∈时，f (x)＝cos x， ∴f ＝－f ＝－cos ＝－． (2)∵f (x)是周期为3的偶函数， ∴f (2 026)＝f (3×675＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．] 1．函数y＝sin 的最小正周期为(　　) A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D． C　[T＝＝4π．] 2．(教材P186习题5.3 T2改编)函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x， ∴f (－x)＝sin x． ∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．] 3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D D　[观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．] 4．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________． 0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．] 5．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________． －3　[由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．学习周期函数需要注意哪些问题？ [提示]　(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T是函数f (x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f (x)的周期． (3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． 2．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示]　因为sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x， 所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 课时分层作业(四十五)　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 一、选择题 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　) A．y＝sin 　　　　 　　　 B．y＝cos C．y＝cos x D．y＝cos 2x D　[A中函数是奇函数，B，C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．] 2．设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D B　[由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．] 3．函数f (x)＝sin 的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　) A．5 B．10　　　　 C．15　　　　 D．20 B　[由已知得＝，又ω＞0， 所以＝，ω＝10．] 4．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．4π B　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π．] 5．定义在R上的函数f (x)周期为π，且是奇函数，f ＝1，则f 的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 B　[由已知得f (x＋π)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)， 所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－1．] 二、填空题 6．函数f (x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称．(填“原点”或“y轴”) y轴　[函数的定义域为R，f (－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos (－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f (x)， 故f (x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．] 7．若函数f (x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________． 6　[∵T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π， ∴正整数ω的最大值是6．] 8．若f (x)为奇函数，当x＞0时，f (x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f (x)的解析式为________． f (x)＝－cos x－sin x　[当x＜0时，－x＞0， f (－x)＝cos (－x)－sin (－x)＝cos x＋sin x， 因为f (x)为奇函数， 所以f (x)＝－f (－x)＝－cos x－sin x， 即x＜0时，f (x)＝－cos x－sin x．] 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝－2cos 3x； (2)f (x)＝x sin (x＋π)． [解]　(1)因为f (－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f (x)，x∈R， 所以f (x)＝－2cos 3x为偶函数． (2)因为f (x)＝x sin (x＋π)＝－x sin x，x∈R， 所以f (－x)＝x sin (－x)＝－x sin x＝f (x)， 故函数f (x)为偶函数． 10．已知函数y＝sin x＋|sin x|． (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解]　(1)y＝sin x＋|sin x|＝图象如下： (2)由图象知该函数是周期函数，最小正周期是2π． 11．(多选题)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是(　　) A．－ C．π D． ABD　[由题意可知函数y＝sin (2x＋φ)是偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，故选ABD．] 12．设函数f (x)＝sin x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＝(　　) A． B．－ C．0 D． D　[∵f (x)＝sin x的周期T＝＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＝337[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 023)＋f (2 024)＝337＋f (337×6＋1)＋f (337×6＋2)＝337×0＋f (1)＋f (2)＝sin ＋sin π＝．] 13．已知f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f (x)的图象如图所示，那么不等式f (x)cos x＜0的解集是__________． ∪(0，1)　[∵f (x)是(－3，3)上的奇函数，∴g(x)＝f (x)·cos x是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0，1)．] 14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13，则函数f (x)的周期T＝________，若f (1)＝2，则f (99)＝________． 4　　[因为f (x)·f (x＋2)＝13， 所以f (x＋2)＝， 所以f (x＋4)＝＝＝f (x)， 所以函数f (x)是周期为4的周期函数， 所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝＝．] 15．定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是π，且当x∈时，f (x)＝sin x． (1)求当x∈[－π，0]时，f (x)的解析式； (2)画出函数f (x)在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x)≥时x的取值范围． [解]　(1)∵f (x)是偶函数， ∴f (－x)＝f (x)． ∵当x∈时，f (x)＝sin x， ∴当x∈时， f (x)＝f (－x)＝sin (－x)＝－sin x． 又当x∈时，x＋π∈， f (x)的周期为π， ∴f (x)＝f (π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x． ∴当x∈[－π，0]时，f (x)＝－sin x． (2)如图． (3)∵在[0，π]内， 当f (x)＝时，x＝或， ∴在[0，π]内， f (x)≥时，x∈． 又f (x)的周期为π， ∴当f (x)≥时， x∈，k∈Z． 10/11 学科网（北京）股份有限公司 $