21 第3章 3.1.1 第2课时 函数的概念(二)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

第2课时　函数的概念(二) 学习任务 核心素养 1．会判断两个函数是不是同一个函数．(重点) 2．会求一些简单函数的值域．(难点) 1．通过判断两个函数为同一个函数，提升数学抽象素养． 2．通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养． (1)函数f (x)＝与g(x)＝x是同一个函数吗？为什么？ (2)函数h(x)＝x0与φ(x)＝1是同一个函数吗？为什么？ 知识点1　同一个函数 两个函数f (x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f (x)＝g(x)时，叫作相等．也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数． 定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一个函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数． 1．给出下列两组函数，其中表示同一个函数的是________．(填序号) ①f (x)＝x，g(x)＝； ②f (x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1． [答案]　② 知识点2　常见函数的值域 函数 定义域 值域 f (x)＝ax＋b(a≠0) R R f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) R 当a>0时，值域为 当a<0时，值域为 y＝(a≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 2．函数f (x)＝x2＋1的值域为________． [1，＋∞)　[∵f (x)＝x2＋1≥1，∴f (x)的值域为[1，＋∞)．] 类型1　同一个函数的判断 【例1】　【链接教材P66例2】 (多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝与g(x)＝x B．f (x)＝x与g(x)＝ C．f (x)＝x0与g(x)＝ D．f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 CD　[对于A，f (x)＝＝－x与g(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数． 对于B，g(x)＝＝|x|与f (x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数． 对于C，f (x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数． 对于D，f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD．] 【教材原题·P66例2】 例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？ (1)y＝()2； (2)y＝； (3)y＝． [解]　(1)函数y＝()2＝x(x∈[0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． (2)函数y＝＝x(x∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数． (3)函数y＝＝t(t∈(－∞，0)∪(0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． 　同一个函数的判断应注意的3点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． [跟进训练] 1．下列各组函数： ①f (x)＝，g(x)＝x－1； ②f (x)＝，g(x)＝； ③f (x)＝，g(x)＝； ④f (x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号) ③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同， f (x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R． ②不是同一个函数，对应关系不同，f (x)＝，g(x)＝． ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R． ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．] 类型2　求函数的值域 【例2】　求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； (2)y＝＋1； (3)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]； (4)y＝． 结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用哪种方式求最值． [解]　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}， ∴y∈{3，5，7，9，11}． ∴函数的值域为{3，5，7，9，11}． (2)∵≥0，∴＋1≥1． ∴函数的值域为[1，＋∞)． (3)配方得y＝(x－2)2＋2． ∵x∈[1，5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]． (4)∵y＝＝＝3＋≠3， ∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 　求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数解析式通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． [跟进训练] 2．求下列函数的值域： (1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)； (2)y＝x＋． [解]　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧， ∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升． ∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3． ∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12，3]． (2)法一：设u＝，则u≥0，∴x＝． ∴y＝＋u＝(u＋1)2． ∵u≥0，∴y≥， ∴y＝x＋的值域为． 法二：∵2x－1≥0，∴x≥． 而当x增大时y也增大，∴y≥， ∴y＝x＋的值域为． 1．函数f (x)＝的定义域为(　　) A．(－1，1) B．[0，1] C．{1} D．[－1，1] C　[要使函数有意义，则有解得1≤x≤1，即x＝1．故函数f (x)的定义域为{1}，故选C．] 2．(教材P67练习T2(1)改编)下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R．故选D．] 3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} A　[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．] 4．将函数y＝的定义域用区间表示为________． (－∞，0)∪(0，1]　[由 解得x≤1且x≠0， 用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．] 5．函数f (x)＝的值域为________． (－∞，－3)∪(－3，＋∞)　[f (x)＝＝＝－3＋≠－3， ∴函数的值域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何判断两个函数是否是同一个函数？ [提示]　判定两个函数是不是同一个函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同． 2．求函数值域的常用方法有哪些？ [提示]　(1)观察法；(2)配方法；(3)分离常数法；(4)换元法． 课时分层作业(十八)　函数的概念(二) 一、选择题 1．函数y＝的定义域是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞) D　[由题意可得解得x≥－1且x≠1， 故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．] 2．函数y＝的值域为(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－1] B　[由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以B正确．] 3．下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，故选B．] 4．已知函数y＝f (x)与函数y＝是同一个函数，则函数y＝f (x)的定义域是(　　) A．[－3，1] B．(－3，1) C．(－3，＋∞) D．(－∞，1] A　[由于y＝f (x)与y＝是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f (x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，故写成区间形式为[－3，1]．故选A．] 5．若函数f (x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是(　　) A．－1 B．－1或3 C．3 D．0 A　[由题意得，⇒a＝－1．] 二、填空题 6．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________． y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同．] 7．函数y＝的定义域用区间表示为________． (－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]　[要使函数有意义，需满足 即 ∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]．] 8．函数y＝的值域为__________． 　[∵x2＋x＋1＝＋， ∴0<． ∴值域为．] 三、解答题 9．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝2x－． [解]　(1)y＝＝＝2＋， 显然≠0，所以y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，结合函数的图象(如图)可得原函数的值域为． 10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域． (1)x∈R；(2)x∈[0，＋∞)；(3)x∈[－2，2]；(4)x∈[1，2]． [解]　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4， ∴值域为[－4，＋∞)． (2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3， ∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)． (3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4； 当x＝2时，y＝5． ∴当x∈[－2，2]时，值域为[－4，5]． (4)根据图象可得当x＝1时，y＝0； 当x＝2时，y＝5． ∴当x∈[1，2]时，值域为[0，5]． 11．(多选题)下列函数中，定义域是其值域子集的有(　　) A．y＝x＋6 B．y＝－x2－2x＋5 C．y＝ D．y＝－1 AC　[A中，定义域和值域都为R，符合题意． B中，y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，定义域为R，值域为(－∞，6]，不符合题意． C中，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，符合题意．D中，定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠－1}，不符合题意，故选AC．] 12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域包含2个元素的集合有4个，定义域包含3个元素的集合有4个，定义域包含4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 13．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f (x)＝－x，x∈A，则函数f (x)的值域是________． (－∞，2]　[∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}， ∴－x≤2，即函数f (x)的值域是(－∞，2]．] 14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a<b时，a*b＝b2．设函数f (x)＝(－2*x)－(2*x)，x∈(－2，2]，则函数f (x)的值域为________． [－2，2]　[由题意知f (x)＝x2－2， 因为x∈(－2，2]， 所以x2∈[0，4]， 所以f (x)∈[－2，2]．] 15．已知函数f (x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． [解]　存在．理由如下： f (x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点为(1，1)且图象开口向上． ∵m>1， ∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大， ∴要使f (x)的定义域和值域都是[1，m]， 则有 ∴m2－m＋＝m， 即m2－4m＋3＝0， ∴m＝3或m＝1(舍)， ∴存在实数m＝3满足条件． 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $