06 第1章 1.2.2 第1课时 充分条件与必要条件（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

1.2.2　充分条件和必要条件 第1课时　充分条件与必要条件 学习任务 核心素养 1．理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点) 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．(重点) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) 1．通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养． “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ (1)不断更新的数据让人们理由更加充分； (2)做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密； (3)积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会； (4)文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质． 知识点　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 充分条件就是“有之必成立，无之未必成立”，必要条件就是“有之未必成立，无之必不成立．” 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． (　　) (4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列表述形式与“p⇒q”是等价的有________．(填序号) ①p是q的充分条件；②q的充分条件是p；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q． [答案]　①②③④ 类型1　充分条件的判断 【例1】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x>2； (3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (4)若△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC． [解]　(1)由于Q⊆R，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件． 法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件． (4)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC．因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． [跟进训练] 1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　 B．x>0 C．x>2 D．x<2 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．] 类型2　必要条件的判断 【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a是1的平方根，则a＝1； (2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12； (3)若a是无理数，则a是无限小数； (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等． [解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要条件． (3)因为无理数是无限不循环小数， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [跟进训练] 2．下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)在△ABC中，p：B>C；q：AC>AB； (2)p：|x|>2；q：x>2． [解]　(1)在△ABC中，由大角对大边知，B>C⇒AC>AB，所以q是p的必要条件． (2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2， 所以pq， 所以q不是p的必要条件． 类型3　充分条件与必要条件的应用 【例3】　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值； (2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围． 判断p与q的推出关系，由此思考采用什么方式建立待求参数的关系式． [解]　(1)由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3， 令A＝{2，－3}，B＝， ∵q是p的充分条件，∴B⊆A． 当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝． 所以m＝－或m＝． (2)因为N是M的必要条件，所以M⊆N． 于是从而可得－2≤a≤7． 故a的取值范围为－2≤a≤7． 　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [跟进训练] 3．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解]　p：3a<x<a，a<0， 即集合A＝{x|3a<x<a，a<0}． q：－2≤x≤3， 即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q， 所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是． 1．下列选项是“a>1”的必要条件的是(　　) A．a<2 B．a>2 C．a<0 D．a>0 D　[由题意，“选项”是“a>1”的必要条件，表示“a>1”能推出“选项”．故选D．] 2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　) A．0 B．2 C．4 D．16 B　[由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．] 3．(教材P19练习T1改编)在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 A　[四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形．故选A．] 4．用符号“⇒”与“”填空： (1)x2＝1________x＝1； (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数． (1)　(2)⇒　[(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1x＝1． (2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．] 5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________． a≤1　[因为x>1⇒x>a，所以a≤1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．若“p⇒q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？ [提示]　p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？ [提示]　不同．若p是q的充分条件，则p⇒q；若p的充分条件是q，则q⇒p． 3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？ [提示]　定义法和集合关系法． 课时分层作业(六)　充分条件与必要条件 一、选择题 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 [答案]　A 2．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分又不必要条件 B　[a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，则p是q的必要条件．故选B．] 3．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　) A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB B．若x是无理数，则x2也是无理数 C．若x＝y，则＝ D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形 A　[线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C，若x＝y<0，则无意义，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．] 4．下列p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1<a<1，q：a<1 C．p：a<b，q：a<b＋1 D．p：a>b，q：a>b＋1 D　[要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒q：a－b>1⇒p：a>b．故选D．] 5．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分又不必要条件 A　[由题意可知，好货⇒不便宜，故选A．] 二、填空题 6．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 必要　充分　[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．] 7．下列说法正确的是________．(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． ①③　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．] 8．已知命题p：A＝{x|1≤x≤2}，命题q：B＝{x|x<a}，如果q的充分条件是p，则实数a的取值范围是________． a>2　[“q的充分条件是p”，即A是B的充分条件，即A⊆B，得a>2．] 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则|x|>1； (2)若x<3，则x2<4； (3)若x＝1，则x－1＝； (4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等． [解]　(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件． (2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件． (3)若x＝1，则x－1＝成立，反之当x＝2时，x－1＝成立，但x＝1不成立，即p是q的充分条件． (4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件． 10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？ [解]　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2． 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆， 这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件． 11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． ] 12．(多选题)下列式子： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<1；④－1<x<0． 其中，可以是－1<x<1的一个充分条件的序号为(　　) A．① B．② C．③ D．④ BCD　[∵－1<x<1，∴②③④是－1<x<1的充分条件．] 13．若命题p：A＝{x|a<x<a＋2}，命题q：B＝{x|x<－1或x>3}，且p是q的充分条件，则实数a的取值范围为________． {a|a≤－3或a≥3}　[因为p是q的充分条件， 所以A⊆B， 又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}． 因此a＋2≤－1或a≥3，解得a≤－3或a≥3， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．] 14．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________． {a|a≤－9}　[∵p是q的必要条件， ∴q⇒p， ∴解得a≤－9． 故实数a的取值范围是{a|a≤－9}．] 15．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． [解]　记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝． 由题意得B⊆A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件． 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $