03 第1章 1.1.2 子集和补集（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦子集、真子集、集合相等及全集与补集核心知识点，通过学校全体学生与高一年级学生的关系引入集合包含关系，再结合男女生集合实例延伸至补集概念，梳理子集性质（自反性、传递性）与补集运算的内在逻辑，构建集合论基础学习支架。 以现实情境（如学生集合）引入概念培养数学眼光，通过对比表格（如∅与{0}的区别）和分层例题（子集个数、参数范围问题）发展数学思维。课中辅助教师引导学生抽象集合关系，课后分层作业帮助学生巩固补集运算，有效查漏补缺。

1.1.2　子集和补集 学习任务 核心素养 1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集、补集的运算的求解，培养数学运算素养． 一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 知识点1　子集、真子集、集合相等 (1)Venn图 如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集，这类表示集合间关系的示意图叫作Venn图． (2)两个集合之间的关系 ①子集 ②集合相等 ③真子集 (3)子集的性质 ①每个集合都是它自己的子集，即A⊆A． ②对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，那么A⊆C． 若AB，B⊆C，则AC． ③规定空集包含于任一集合，是任一集合的子集． 1．(1)任何两个集合之间是否都有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ [提示]　(1)不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？ [提示]　 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅} 空集是任何非空集合的真子集． 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q　　　　 B．P⊆Q C．QP D．Q∈P C　[∵－1，0，1均在集合P，Q中，而2∈P且2∉Q，∴QP，结合选项可知C正确．] 2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C． (1)＝　(2)　(3)　(4)∈　[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C．] 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)∅和{∅}都表示空集． (　　) (2)任何集合都有子集和真子集． (　　) (3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么： (1)这三个集合之间有什么联系？ (2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 知识点2　全集与补集 (1)全集 ①定义：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以把集合U约定为全集(或基本集)． ②记法：全集常记作U． (2)补集 文字语言 若A是全集U的子集，U中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 当U可以从上下文确定时，A的补集也可以记作．显然∁U(∁UA)＝A．一般地，不论A是否是B的子集，都可用B\A表示B中所有不属于A的元素组成的集合，它是B的一个子集． 符号∁UA有三层意思： (1)A是U的子集，即A⊆U； (2)∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合∁BC与∁AC相等． (　　) (2)集合∁ZN与集合∁ZN＋相等． (　　) (3)一个集合的补集中一定含有元素． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 5．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　) A．{1，3，5，6}　　 B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7} (2)已知全集U为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁UA＝________． (1)C　(2){x|1≤x<5}　[(1)由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C． (2)集合A＝{x|x<1或x≥5}的补集是∁UA＝{x|1≤x<5}．] 类型1　子集、真子集的个数问题 【例1】　【链接教材P7例6】 填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ [解]　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【教材原题·P7例6】 例6　设S＝{R，B，G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出S的所有子集． [分析]　如何不重不漏地写出集合{R，B，G}的所有子集呢？可按下面的步骤来写： (1)因为空集∅是所有集合的子集，所以首先写出∅； (2)写出所有由一个元素构成的子集：{R}，{B}，{G}; (3)写出所有由两个元素构成的子集：{R，B}，{R，G}，{B，G}； (4)写出所有由三个元素构成的子集：{R，B，G}． [解]　S的子集共有8个，分别为：∅，{R}，{B}，{G}，{R，B}，{R，G}，{B，G}，{R，B，G}． 　与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n； (2)A的非空子集的个数为2n－1； (3)A的真子集的个数为2n－1； (4)A的非空真子集的个数为2n－2． [跟进训练] 1．已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，则所有满足题意的集合M共有多少个？ [解]　由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 类型2　集合间关系的判断 【例2】　判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB． (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC． (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB． 　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [跟进训练] 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) A　　　　　B　　　　C　 　　　D B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．] 类型3　由集合的关系求参数 【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 判断B是否是空集，由此分类讨论，并借助数轴求解实数m的取值范围． [解]　(1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2． (2)当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3． 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． [母题探究] 若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． [解]　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2． (2)当B≠∅时，如图所示， ∴解得即2≤m<3． 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 　利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． [跟进训练] 3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值． [解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅． 当B＝{－3}时，由－3m＋1＝0，得m＝； 当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－； 当B＝∅时，m＝0． 综上所述，m＝或m＝－或m＝0． 类型4　补集的运算 【例4】　【链接教材P8例7】 (1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． (1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， 所以B＝{2，3，5，7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．] 【教材原题·P8例7】 例7　设U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0<x<6}，B＝{x∈Z|x∈[7，11]}，求∁UA和∁UB． [解]　由条件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}， A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}， 因此∁UA＝{6，7，8，9，10，11，12}， ∁UB＝{1，2，3，4，5，6，12}． 　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [跟进训练] 4．(1)设集合A＝{x∈N＋|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB等于(　　) A．{2，4}　　　　 B．{0，1，3，5} C．{1，3，5，6} D．{x∈N＋|x≤6} (2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝________． (1)C　(2){x|0<x<2，或x≥6}　[(1)因为A＝{x∈N＋|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以∁AB＝{1，3，5，6}．故选C． (2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}． ] 1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 C　[①②⑤⑥正确，③④错误．故选C．] 2．集合{1，2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 A　[集合{1，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．] 3．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　) A．{0} B．{1} C．∅ D．{0，1} D　[∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}， ∴A＝{0，1}．故选D．] 4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________． 2　[∵∁UA＝{x|x<1或x≥2}，∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2．] 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，则a的取值范围为________； (2)若B⊆A，则a的取值范围为________． (1){a|a>2}　(2){a|1≤a≤2}　[(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2． (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2．因为a≥1，所以1≤a≤2．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？ [提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系． 2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？ [提示]　(1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)． 3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？ [提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用． 4．∁UA，A及U之间存在怎样的关系？ [提示]　∁UA⊆U，A⊆U． 课时分层作业(三)　子集和补集 一、选择题 1．若全集U＝{0，1，2，3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　) A．3个 B．5个 C．7个 D．8个 C　[A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个)．] 2．(多选题)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A ACD　[∵A＝{0，1}，∴0∈A，∅⊆A，{0，1}⊆A，故ACD均正确．] 3．已知集合M＝{x∈Z|－<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3，0，1} B．Q＝{－1，0，1} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} B　[∵－3∉M，∴P不是M的子集，同理可知CD均错误．故选B．] 4．(多选题)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．4 AB　[∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1．故选AB．] 5．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．] 二、填空题 6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}．若∁UA⊆B，则实数m的取值范围是________． {m|m<1}　[∵∁UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}， ∴由∁UA⊆B可知m<1．] 7．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是________． {(1，2)}，{(－3，4)}　[{(1，2)，(－3，4)}的所有真子集有∅，{(1，2)}，{(－3，4)}，其非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．] 8．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，b}．若P＝Q，则a2 025＋b2 025＝________． 0　[由P＝Q可知a＝－1，b＝1． ∴a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋12 025＝0．] 三、解答题 9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C． [解]　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素， 集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA． (2)当a＝0时，B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B⊆A， 此时＝3或5，则有a＝或a＝． 所以C＝． 10．已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　(1)当B＝∅时，2a>a＋3，即a>3，显然满足题意． (2)当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a<－4或2<a≤3． 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}． 11．(多选题)设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　) A．2 B．8 C．－2 D．－8 AB　[∵U＝{1，3，5，7，9}，∁UA＝{5，7}， ∴A＝{1，3，9}， ∴|a－5|＝3，∴a＝2或8．] 12．(多选题)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)可能是(　　) A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，1) ACD　[若B＝{－1}，则解得a＝－1，b＝1． 若B＝{1}，则解得a＝1，b＝1． 若B＝{－1，1}，则解得a＝0，b＝－1．故选ACD．] 13．已知集合P＝{x|x2＝9}，集合Q＝{x|ax＝3}，若Q⊆P，那么－3________P(用适当的符号填空)，a的值组成的集合为________． ∈　{－1，0，1}　[P＝{x|x2＝9}＝{x|x＝3或x＝－3}，所以－3∈P．因为Q＝{x|ax＝3}，若Q⊆P，则当a＝0时，Q＝∅，满足题意；当a≠0时，Q＝{x|ax＝3}＝，则＝3或－3，解得a＝1或－1．故a的值组成的集合为{－1，0，1}．] 14．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________． A＝B　[对于集合A，k＝2n时，x＝(4n＋1)＝，n∈Z，当k＝2n－1时，x＝(4n－2＋1)＝，n∈Z， 即集合A＝， 由B＝，可知A＝B．] 15．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合．求集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合． [解]　由“x∈A，∈A”知，－1可以在集合A中，0一定不在集合A中，2和同时在(或不在)集合A中，3和同时在(或不在)集合A中，因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{－1}，． 14/14 学科网（北京）股份有限公司 $