39 第4章 4.3.3 第2课时 对数函数的图象与性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象与性质，涵盖函数图象识别、对数值大小比较、对数不等式求解等核心内容。通过跟进训练题引入，链接教材例题，构建“概念理解-方法总结-分层训练”的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于注重数学思维与方法提炼，比较大小时结合单调性法、中间值法和图象法，解不等式时分底数范围讨论，培养学生的逻辑推理能力。课堂小结系统归纳方法，学生通过分层作业提升能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.3　对数函数 4.3.3　对数函数的图象与性质 第2课时　对数函数的图象与性质 第2课时　对数函数的图象与性质 学习任务 核心素养 1．会用描点法画出对数函数的简图． 2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点) 1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养． 2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 第2课时　对数函数的图象与性质 分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由． 必备知识·情境导学探新知 x 1 2 4 8 y＝log2x               第2课时　对数函数的图象与性质 知识点1　反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． 提醒　(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 体验　1．(1)函数y＝log2x的反函数是________； (2)函数y＝的反函数是_____________． y＝2x y＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 知识点2　对数函数的图象与性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 a的范围 0<a<1 a>1 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 性质 定点 ___________，即x＝___时，y＝___ 单调性 在(0，＋∞)上 是_________ 在(0，＋∞)上是_________ (1，0) 1 0 减函数 增函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 思考　对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？ [提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降． 当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 体验　2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为 (　　) A．5　　　 B． C． √ A　[由题图可知，a>1，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 体验　3．函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________． (0，0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0，0)．] (0，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　对数函数的图象问题 【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．a>b>1 D．b>a>1 √ 第2课时　对数函数的图象与性质 (2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________． (3)已知f (x)＝loga|x|(a>0且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象． －2 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 (1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0<a<1，0<b<1，画一条直线y＝1与两条曲线各交于一点(图略)，结合图知b<a，∴0<b<a<1，故选B． (2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故 ∴∴] (3)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f (x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [母题探究] 把本例(3)改为f (x)＝＋2，试作出其图象． [解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示． 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示． (1)　　　　　　(2)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示． (3)　　　　　　　(4) 反思领悟　函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的． (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [跟进训练] 1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　) C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．] A　　　　　B　　　　C　　　 　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 类型2　比较对数值的大小 【例2】　【链接教材P122例11】 比较下列各组中两个数的大小： (1)log5与log5； (2)2与2； (3)log23与log54． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<， 所以log5<log5． 法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5． (2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝， 又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且>，所以0>log2>log2， 所以<，所以2<2． 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象， 由图易知：2<2． (3)取中间值1， 因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54． 【教材原题·P122例11】 例11　比较下列各组中两个数的大小： (1)log27.6和log28.7； (2)和； (3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)； (4)log0.82和20.8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [解]　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且7.6<8.7，所以log27.6<log28.7． (2)因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，且7.6<8.7，所以>． (3)当a>1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且7.6<8.7，所以loga7.6<loga8.7； 当0<a<1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，所以loga7.6>loga8.7． (4)因为函数y＝log0.8x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.82<log0.81＝0． 又因为20.8>0，所以log0.82<20.8． 反思领悟　比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． 提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [跟进训练] 2．比较下列各组中两个数的大小： 0.6； (2)log1.51.6，log1.51.4； (3)log0.57，log0.67； (4)log3π，log20.8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [解]　(1)因为函数y＝lox是减函数，且0.5<0.6， 所以lo0.6． (2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4， 所以log1.51.6>log1.51.4． (3)因为0>log70.6>log70.5， 所以<，即log0.67<log0.57． (4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8． 类型3　解对数不等式 【例3】　已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围． 结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}． (2)不等式f (x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)， ①当a＞1时，不等式等价于解得1<x≤； ②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3． 综上可得，当a＞1时，不等式的解集为； 当0＜a＜1时，不等式的解集为． 反思领悟　常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 [跟进训练] 3．(1)已知loga>1，求a的取值范围； (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围． [解]　(1)由loga>1得loga>logaa． ①当a>1时，有a<，此时无解． ②当0<a<1时，有<a，从而<a<1． 所以a的取值范围是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 (2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， 所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得解得x>1． 即x的取值范围是(1，＋∞)． 1．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　) 学习效果·课堂评估夯基础 A　[函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到，故选A．] A　　　　B　　 　C　　　　D √ 第2课时　对数函数的图象与性质 2．(教材P124练习T2(4)改编)函数y＝的定义域是(　　) A．　　 B．[2，＋∞) C． √ D　[依题意0<2x－3≤1，解得<x≤2，所以函数的定义域为．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b √ D　[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 4．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________． 　[由题意可知f (x)＝logax(a>0且a≠1)，由f (＝，∴a＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 5．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________． (2，7]　[由题意可得lg (2x－4)≤lg 10，∴0<2x－4≤10，即2<x≤7．] (2，7] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？ [提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？ [提示]　两函数的图象关于直线y＝x对称． 3．如何解对数不等式loga f (x)>logag(x)(a>0且a≠1) ？ [提示]　分0<a<1和a>1两类分别求解． 当0<a<1时，loga f (x)>logag(x)⇔0<f (x)<g(x)． 当a>1时，loga f (x)>logag(x)⇔f (x)>g(x)>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 4．比较对数值大小的常用方法有哪些？ [提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若函数y＝f (x)是函数y＝3x的反函数，则f 的值为(　　) A．－log23　　B．－log32　　C． 课时分层作业(三十三)　对数函数的图象与性质 √ B　[由题意可知f (x)＝log3x，所以f ＝log3＝－log32，故选B．] 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数f (x)＝loga(x－1)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　) A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5) √ C　[令x－1＝1，即x＝2，则f (x)＝4．即函数图象恒过定点Q(2，4)．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 42 3．函数f (x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[∵f (x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)， ∴其图象如图所示， 故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 43 4．函数f (x)＝|x|的单调递增区间是(　　) A． B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 44 5．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0，1)， 又loga>logb，作出图象如图所示， 结合图象易知a>b，∴0<b<a<1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 45 二、填空题 6．如果函数f (x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，2)　[由题意可知或 解得1<a<2． ∴实数a的取值范围是(1，2)．] (1，2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 46 7．若loga<1，则a的取值范围是_______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∪(1，＋∞)　[原不等式等价于或 解得0<a<或a>1， 故a的取值范围为∪(1，＋∞)．] ∪(1，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 47 8．设a>1，函数f (x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　[由题意可知f (x)＝logax在[a，2a]上单调递增， ∴f (x)max－f (x)min＝loga(2a)－logaa＝， ∴loga2＝， ∴＝2，∴a＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 48 三、解答题 9．(源自苏教版教材)画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由于函数y＝f (x)＝log2|x|满足对任意的x∈(－∞，0)∪(0， ＋∞)都有 f (－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f (x)， 所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 49 当x>0时，log2|x|＝log2x．因此，我们先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2．C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图． 由图象可以知道，函数y＝log2|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a-2． (1)求实数a的取值范围； (2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集； (3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 51 [解]　(1)∵22a+1＞25a-2， ∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3， ∴a＜1，即0＜a＜1． ∴实数a的取值范围是(0，1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 (2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)， ∴即解得<x<． 即不等式的解集为． (3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a-2＝＝5，解得a＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f (x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　　 　B　　 　　C　 　 　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 54 B　[由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1． 又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称，利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 12．(多选题)已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f (x)>0 D．若0<x1<x2，则<f 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 56 ACD　[由题知2＝loga4，a＝2，故f (x)＝log2x． 所以函数为增函数，故A正确； f (x)＝log2x不为偶函数，故B错误； 当x>1时，f (x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确； 因为f (x)＝log2x往上凸，故若0<x1<x2， 则<f 成立，故D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 13．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 a>c>b　[∵a＝＝2log43.6＝log43.62，又函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，3.62>3.6>3.2， ∴log43.62>log43.6>log43.2．∴a>c>b．] a>c>b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 58 －1　(0，1]　[∵f (－1)＝3-1＝，∴f ( f (－1))＝f ＝log3＝－1． 函数f (x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f (x) 的图象有两个不同的交点，则0<a≤1．] 14．已知函数f (x)＝则f (f (－1))＝________；若直线y＝a与函数f (x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1 (0，1] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 59 [解]　由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1． 15．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 60 ∵x＝时，y＝x2＝， ∴只要x＝时，y＝logm ≥＝logm，∴≤，即≤m． 又0<m<1， ∴≤m<1． 即实数m的取值范围是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　对数函数的图象与性质 $