07 第1章 1.2.2 第2课时 充要条件（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章　集合与逻辑 1.2　常用逻辑用语 1.2.2　充分条件和必要条件 第2课时　充要条件 第2课时　充要条件 学习任务 核心素养 1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 第2课时　充要条件 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 思考：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？ 必备知识·情境导学探新知 第2课时　充要条件 知识点　充要条件 (1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们称p是q的充分必要条件，简称______条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为____________条件． p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充分必要 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 提醒　命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类： ①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p； ②充分而不必要条件，即p⇒q且q p； ③必要而不充分条件，即p q且q⇒p； ④既不充分又不必要条件，即p q且q p． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 思考　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 体验　从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________________； (2)“x<5”是“x<3”的___________________． (1)充要条件　(2)必要而不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝ {－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要而不充分条件．] 充要条件 必要而不充分条件 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 关键能力·合作探究释疑难 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　【链接教材P17例3】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：a＞b；q：ac＞bc． 第2课时　充要条件 [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分而不必要条件． (2)两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要而不充分条件． (3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b， 故p是q的既不充分又不必要条件． 【教材原题·P17例3】 例3　从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空． (1)a≥5是a为正数的________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________； (4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的________． [分析]　分别考虑命题“若p，则q”和“若q，则p”的真假性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 [解]　(1)a≥5⇒a>0，a>0 a≥5．因此应填“充分而不必要条件”． (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要而不充分条件”． (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”． (4)x∈R时，x2＝2 x＝2，x＝2 x2＝2．因此应填“既不充分又不必要条件”． 反思领悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 [跟进训练] 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 [解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要而不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分而不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故p是q的必要而不充分条件． (4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． 类型2　充要条件的证明 【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0． [证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0． ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 反思领悟　充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 [跟进训练] 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 类型3　充要条件的应用 【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 联想必要而不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要而不充分条件， 所以q是p的充分而不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3． 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [母题探究] 本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分而不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB． 所以或 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 反思领悟　应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤： (1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 1．“x>0”是“x≠0”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．] 第2课时　充要条件 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 D．a≤3 √ B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分而不必要条件，故a≤－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 4．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①___________________；充要条件②____________________． 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？ [提示]　 条件p与结论q的关系 结　论 p⇒q，且q p p是q的充分而不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要而不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分又不必要条件 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？ [提示]　需要证明充分性和必要性两个方面． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 课时分层作业(七)　充要条件 √ A　[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．] 29 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ B　[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 30 3．命题p：－1≤x<2的一个必要而不充分条件是(　　) A．－1≤x≤2 B．－1≤x<2 C．0≤x<2 D．0≤x<3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[－1≤x<2⇒－1≤x≤2，反之不成立，可得选项A是p的一个必要而不充分条件．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 31 4．使“x∈”成立的一个充分而不必要条件是 (　　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分而不必要条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 32 5．给出下列各组条件， 其中p是q的充要条件的是(　　) A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0 B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y| C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根 D．p：x>2或x<－1，q：x<－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 33 B　[对于A，由p q知，p不是q的充要条件．对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以q p，∴p是q的充分而不必要条件．对于D，因为p q，所以p不是q的充要条件．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 34 二、填空题 6．写出x>1的一个必要而不充分条件______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x>0(答案不唯一)　[设命题P：“x>1”，欲求的条件为Q， 根据必要而不充分条件的定义，得P⇒Q成立，而Q推不出P，因此只要x>a，a<1都能作为条件Q，不妨取a＝0，得“x>1”⇒“x>0”；反之，不成立．] x>0(答案不唯一) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 35 7．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1 的___________________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 必要而不充分　[由两三角形对应角相等 △ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．] 必要而不充分 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 36 8．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根”的_______________ 条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 充分而不必要　[若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根”的充分而不必要条件．] 充分而不必要 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 37 三、解答题 9．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}， 因为条件p是条件q的充分而不必要条件，即集合A是集合B的真子集， 所以或解得m<2， 又m>0，所以实数m的取值范围是{m|0<m<2}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 38 10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足题意； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0， 若方程有两个负的实根， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 39 则必须满足即0＜a≤． 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤． 反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 40 11．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．∁UA⊆∁UB D．A∪(∁UB)＝U 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件．故选BCD．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 41 12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点的必要而不充分条件是(　　) A．b＝0，c＝0 B．a＋b＋c＝0 C．c＝0，b≠0 D．bc＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点，则－＝0，且c＝0，所以顶点在原点的充要条件是b＝0，c＝0，故A是充要条件，B、C是既不充分又不必要条件，D是必要而不充分条件．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 42 13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 m＝－2　[若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．] m＝－2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 43 14．已知p：x－3＜0，q：2x－3＜m． (1)若p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围为________； (2)若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为_________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1){m|m>3}　(2){m|m＜3}　[由x－3＜0，得x＜3；由2x－3＜m，得x＜(m＋3)． {m|m>3} {m|m＜3} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 44 (1)若p是q的充分而不必要条件， 则{x|x＜3}， ∴(m＋3)>3，解得m>3． (2)若p是q的必要而不充分条件，则{x|x＜3}， ∴(m＋3)＜3，解得m＜3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 15．从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|≤x≤＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由． 已知集合A＝______，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 46 [解]　由题意知，A≠∅，B＝{x|1≤x≤3}． 当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以AB，解得2≤a≤3． 所以实数a的取值范围是2≤a≤3． 当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以AB，不存在a的值满足题意． 当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以AB，该不等式组无解， 故不存在a的值满足题意． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　充要条件 $