学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（北京版第十八章～第二十章）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1.AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 3.A1[B1[CI[D] 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 81A]IB]ICI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9 10. 11. 12. 13. 14. 15. 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共U个小逖，共2分.胼合应与出义子况明，址明心侄叱澳异步球) 17.(5分) 18.(5分) A F D B4 E 请椿车题馆题酸城作售等超超典黑形轴衣敌球馆等效！ 19.(6分) YA 晴在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 个y(毫克/立方米) 1.2 1 0.8 0.6 0.2 O0只 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 珠(8分) A 0 B大 25.(10分) E 题图1 题图2 漕套冬要目的警殷摄肉作袭：齧黜餐色短彩热框限密竖域期蓉秦无效！ 26.(10分) M M C B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版第十八章~第二十章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知是，那么（   ） A． B． C． D． 2．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 4．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 7．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 8．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：= ． 10．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 11．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 12．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 13．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 15．如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 20．（6分）已知二次函数的图象过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象，并直接写出使函数值的的取值范围_____． 21．（6分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 23．（8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点在平行四边形的外部且满足． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 24．（8分）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 26．（10分）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (6分) BO 20.(6分) 3 2可02房4 -2 21.(6分) M 45 60 2 1 B 0 A P m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) y(毫克/位方米) 1.2 1 0.8 0.6 04 0.2 0.8 23x月) 23.(8分) 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) y 0 B 25.(10分) E 题图1 题图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 人y M M A B A B O 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版第十八章~第二十章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知是，那么（   ） A． B． C． D． 2．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 4．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 7．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 8．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：= ． 10．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 11．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 12．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 13．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 15．如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 20．（6分）已知二次函数的图象过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象，并直接写出使函数值的的取值范围_____． 21．（6分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 23．（8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点在平行四边形的外部且满足． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 24．（8分）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 26．（10分）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版第十八章~第二十章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知是，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 2．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形．在中，根据锐角三角函数可得的值，然后在中，根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ． 故选：A． 4．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 5．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， 的面积为4，即， ， ． 故选：D． 6．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 7．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：如图，为路灯的高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 8．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：= ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据角的三角函数值计算． 【详解】解： ＝1． 故答案为：1． 10．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 12．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 13．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 15．如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又， ， 由二次函数的图象可知： 当时，  ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又， ， 即，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18．（5分）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据得到，即可求解． 【详解】解：， ， ． ，， ， 则． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 20．（6分）已知二次函数的图象过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象，并直接写出使函数值的的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)图见解析， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． （1）设交点式，然后把A点坐标代入求出a即可； （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后结合函数图象，写出函数值大于或等于3所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， 函数值时对应x的取值范围为． 故答案为：． 21．（6分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【答案】(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 23．（8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点在平行四边形的外部且满足． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进而可得，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证． （2）根据矩形的性质可得，在中，利用三角函数的定义可求得．在中，利用三角函数的定义可求得，再根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵中，，O为的中点， ∴， ∵中，，O为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，以及三角函数的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（8分）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）． 【答案】(1)水流喷出的最大高度为米； (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据可得水流喷出的最大高度，再由待定系数法求解函数解析式； （2）分别令两个方程，解一元二次方程求解出和即可． 【详解】（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线， ∴水流喷出的最大高度为米， 由题意可得，抛物线经过点，，， 将上述三个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于，当，则， 解得：或（舍）， ∴， 对于，当，则， 或（舍）， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； (2)16 (3)点E的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 26．（10分）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【答案】(1)， (2)不变， (3)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据两直线平行值相等，设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的横坐标，进而得到两条直线的值的数量关系，联立两条直线的解析式求出点的横坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 解得：， ∴抛物线为； 当时，则：， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）解：不会改变：理由如下： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令， 整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； （3）解：设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，则：， ∵，不重合， ∴， 解得：， ∴，即：点的横坐标是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A B D A C D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．1 10． 11．8 12．20 13．750 14． 15． 16．②④ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【分析】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ．·······························5分 18．（5分） 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据得到，即可求解． 【详解】解：， ， ．······························2分 ，， ， 则．······························5分 19．（6分） 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为；······························3分 （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴．······························6分 20．（6分） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． （1）设交点式，然后把A点坐标代入求出a即可； （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后结合函数图象，写出函数值大于或等于3所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即；······························3分 （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， 函数值时对应x的取值范围为． 故答案为：．······························6分 21．（6分） 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为；······························3分 （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为．······························6分 22．（8分） 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：，······························2分 所以施工结束后关于的函数解析式为；······························4分 （2）解：当时，，解得：，······························8分 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 23．（8分） 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进而可得，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证． （2）根据矩形的性质可得，在中，利用三角函数的定义可求得．在中，利用三角函数的定义可求得，再根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵中，，O为的中点， ∴， ∵中，，O为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形；······························3分 （2）解：∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，······························5分 ∵中， ∴，······························7分 ∴．······························8分 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，以及三角函数的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（8分） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据可得水流喷出的最大高度，再由待定系数法求解函数解析式； （2）分别令两个方程，解一元二次方程求解出和即可． 【详解】（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线， ∴水流喷出的最大高度为米， 由题意可得，抛物线经过点，，， 将上述三个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为；······························4分 （2）解：对于，当，则， 解得：或（舍）， ∴， 对于，当，则， 或（舍）， ∴， ∴， 故答案为：．······························8分 25．（10分） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴，······························2分 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴；······························4分 （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积；······························6分 （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为．······························10分 26．（10分） 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据两直线平行值相等，设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的横坐标，进而得到两条直线的值的数量关系，联立两条直线的解析式求出点的横坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 解得：， ∴抛物线为；······························2分 当时，则：， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴；······························3分 （2）解：不会改变：理由如下： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令， 整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值；······························6分 （3）解：设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴，······························7分 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，······························8分 联立，则：， ∵，不重合， ∴， 解得：，······························9分 ∴，即：点的横坐标是一个定值．······························10分 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $