专题04 解直角三角形（期中知识清单）（必备知识+7题型清单+1易错清单）九年级数学上学期冀教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04解直角三角形 知识图谱 定义：在直角三角形中，已知元素求未知元素 已知：一直角边+一锐角 已知：斜边+一锐角 类型 解直角三角形 已知：两直角边 已知：斜边+一直角边 坡度坡角：坡角（坡面与水平面夹角）、坡度i=h: 解直角三角形的应用 仰角俯角：视线与水平线的上下夹角 方位角/方向角：方位角（指北顺时针转）、方向角（北/南偏东/西） 知识清单 【清单01】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有： 3三边之间的关系：心+=c(肉股定理：②税角之间的关系：乙A+∠B=90° ③边角之间的关系：sinA=c cos 4-5,tan 4-4.sin B=cosB-4 tan c 1 1 @5.c-2b-2h 2 ,h为斜边上的高， 【清单02】 解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐 ∠B=90°-∠A,c=a,b=a sinA tan 4 或b=Vc2-a2 角a,∠A 1/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知斜边和一个锐角 ∠B=90°-∠A,a=csinA ,b=ccos A或b=Vc2-a2 (c,∠A 已知两直角边4，b) 斜边 6 c=√a2+b,由tanA=4求∠4，∠B=90°-∠A 邻边 已知斜边和一条直角边 b=Vc2-ad,由sinA=a求∠A,∠B=90°-∠A (c,a 【清单03】 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系 化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. h 1 坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则 h i=I=tano,如图，坡度通常写成i=h:l的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 视线 眼睛 仰角 府角 …水平线 视线 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA, PB,PC 40°，135°，245° 的方位角分别为是 2/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 609 西 东 245° 80 45 B 南 ① ② 90° (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于心的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方 OA,OB,OC,OD 80° 向线 的方向角分别表示北偏东30° ，南偏东450 ，南偏西80°，北偏西60° 特别如：东 南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北 偏西45° 期中常考题型清单 【题型一】网格中的锐角三角函数值计算 例1.如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则sin∠BAC的值是( B A A.2 B.月 a 2V5 D.5 【答案】C 【详解】解：如图所示， 3/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B A 在RtAACH中，CH=2,AC=V22+4F=2V5 ∴sin∠BAC=CH=2-V5 AC255 故选：C 变式l-l.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为() 22 2W10 A.3 B.5 C. D.2 【答案】D 【详解】解：如图， AD 2 =2 DC 1 故选：D 变式1-2.如图，格点△ABC的顶点放置在5×5正方形网格的格点上，则tanA的值为() 4/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 10 10 3 B.2 C.5 D.2 【答案】A 【详解】解：如图，连接CD, D B 由网格可知CD=F+P=V反，AC=VP+32=V0,4D=V2+2=22, AD2+CD2=AC2 ·∠ADC=90°， CD tan A= 21 AD 2W52, 故选：A 都在格点（网格线的交点）上，则∠B10 A,B.O 变式1-3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 的 余弦值为 A 【答案】2 5 【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C, 5/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AC=4,OC=2, 在Rt△AC0中，A0=V4+2-2V5 .cos∠BA0=4AC=42V5 0A2W55. 25 故答案为：5. 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三 角形是解题的关键。 【题型二】特殊角的三角函数值计算 例2.计算：cos'45°+sin60°.tan30°-√1-tan60 【答案】2-V5 【详解】解：原式 g99同片12-0 变式21.在△4BC中，∠C=90,a=22b=26,则下列结论不正确的是( A.c=4 B.tan B=V3 C.sin +sinB=1:D.ZB=30 【答案】D 【详解】解：在R1△BC中，∠C=90°，a=25,b=2V6 c=Va2+b=4W2,A选项结论正确，不符合题意： 6/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan B=B=2v6_ V5 a2√2，B选项结论正确，不符合题意： sind-2-sin B=b=2163 c4W22, c4V22, 则sin2A+sin2B 125 2+2 1 C选项结论正确，不符合题意： tan60°=V5 则<B-60 ,D选项结论错误，符合题意： 故选：D 变式2-2.若△ABC中，AB所对的边是c,AC所对的边是b,满 sinA、V3 6=0,则64c是 ( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解： .sin 4-3 +c-b=0 20 2 4-20,-b≥0 sin 4-V3 =0 2,且c-b=0, sin 4=3 2,且b=c, ÷∠A=60°， △ABC是等边三角形， 故选：C 变式2-3.计算： (1)cos30°.tan60°-4sin30°+tan45°； 3tan30°+tan245°-2sin60° (2) 7/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)2 (2)1 【详解】(1)解：cos30°.tan60°-4sin30°+tan45° -5x万-4×21 1 2 3-2+1, 1 2 3tan30°+tan245°-2sin60° (2)解： 3x 3 +1P-2x3 2, =V3+1-V5 =1 【题型三】解直角三角形 例3.如图，在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点.将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E AP 重合，边BC翻折至BE的位置，BE与AB交于点P,那么PB的值是 9 【答案】2 【详解】解：由题意可得如图所示： 8/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 设DE=m, :四边形ABCD是正方形，点E是边AD的中点， ÷∠A=∠BCD=∠D=90°，AE=DE=m,AB=CD=AD=2m, 由翻折得∠B'EF=∠BCF=90°，EF=CF=2m-DF, ∠AEP=∠DFE-90°-∠DEF, DE2+DF2=EF2, +DP=(2m-DF) 3 :.DF=m, 4 AE =tan∠AEP=tan∠DFE=DE-4 AP DF-3 4 4 .AP= AE 3 3m, 4 :.PB=AB-AP=2m- 2 -m= m, 3 4 -=2 PB 2 3 故答案为：2. 变式3-1.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C都在网格线上，AD L BC,垂足为D,则 tan∠BAD=( ) A 9/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. c 1 D.3 【答案】B 【详解】解：如图， E D B AD⊥BC,AB⊥BE, ∠ADB=∠BEC, 又∠ABD=∠EBC, :△ABD∽△CBE, BD BE ADEC tan∠BAD= BD BE 2 1 AD EC 4 2' 故选：B 变式3-2.如图，在等边△ABC中，AB=6,点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到 △ACE,那么线段AE的长为() D A.23 B.6 C.36 D.4V2 【答案】C 【详解】解：，点D为等边△ABC的边BC的中点， :BD=CD=)BC=3,AD1BC·∠B=-60 2 在Rt△ABD中，∠B=60°， ∴.AD=BD-tan60°=V3BD=3v3 10/34 专题04 解直角三角形 【清单01】 解直角三角形 在________三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 设在中，所对的边分别为，则有： 3 三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系：________________ ④，为斜边上的高. 【清单02】 解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角 对边 邻边 斜边 A C B b ________ 已知斜边和一个锐角 ________ 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【清单03】 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则________，如图，坡度通常写成的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线________方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按________转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于________的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 【题型一】网格中的锐角三角函数值计算 例1．如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 变式1-1．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 变式1-2．如图，格点的顶点放置在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点（网格线的交点）上，则的余弦值为 ． 【题型二】特殊角的三角函数值计算 例2．计算： 变式2-1．在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 变式2-2．若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 变式2-3．计算： (1)； (2)． 【题型三】解直角三角形 例3．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 变式3-1．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．如图，射线与轴正半轴的夹角为，点是上一点，轴于，将绕点逆时针旋转后，到达的位置，再将沿着轴翻折到达的位置，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为 ．   【题型四】构造直角三角形解直角三角形（作垂线） 例4．在中，则边的长为 ． 变式4-1．在中，，，，点D为边中点，将绕A旋转，点B，C对应点分别为点E，F，若点F在射线上，则 变式4-2．在中，，，， 变式4-3．在中，为线段上一点，且，则的值为 【题型五】解直角三角形的应用（坡度坡脚问题） 例5．今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 变式5-1．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 变式5-2．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 变式5-3．山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构，小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚D处测得钢支架顶端A的仰角为，沿着斜坡走50米到平台的边沿E测得钢支架顶端A的仰角为，用水盆测量法测得的坡度为．学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出钢支架的高度．（在测量的过程中测量者和工具的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：，，） 【题型六】解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 例6．如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 变式6-1．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 变式6-2．热气球的探测器显示，从热气球看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66米． (1)求热气球所在的高度；（精确到1米） (2)如果，求这栋楼的高度．（精确到1米） 变式6-3．如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【题型七】解直角三角形的应用（方位角问题） 例7．如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求的度数； (2)求A与灯塔B相距多少海里？ 变式7-1．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶900米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：） 变式7-2．钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 变式7-3．如图，A，B两个城市相距，现计划在这两座城市之间修建一条笔直的高速公路，经测量森林保护区中心M在城市A的北偏东和B城市的北偏西30°的方向上，已知森林保护区的范围在以M为圆心，以为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿过该森林保护区，为什么？（参考数据：，）    【题型一】解直角三角形时混淆“边角对应关系” 易错点：误用锐角三角函数（正弦、余弦、正切），将对边、邻边与斜边对应错误，导致计算结果偏差。 例1．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则 ． 变式1-1．如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的正切值的倒数是，那么它的一条对角线长是 ． 变式1-2．如图，在中，，若，则 ． 变式1-3．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $