专题03 图形的相似（期中知识清单）（必备知识+10题型清单+2易错清单）九年级数学上学期冀教版

专题03 图形的相似 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比_______，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则_______； （2）若，则（称为的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点_______叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(_______叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取_______，则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段_______,那么在其他直线上截得的线段也_______. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则_______ 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边_______且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰_______并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的_______。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 【清单04】 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：_______于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：_______于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则_______ 【清单05】 相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的_______，“∽”读作“_______”. 【清单06】 相似三角形的判定 1.判定方法（1）：_______于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的_______对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的_______对应边的比相等，并且_______的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的_______个角与另一个三角形的_______个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有_______个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 【清单07】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应_______相等，对应_______对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于_______. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得：_______ 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的_______如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】 位似图形 1．定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过_______，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_______ 3．画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似_______；②确定原图形中的关键点关于_______的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为_______ 【题型一】比例线段 例1．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段是成比例线段，则这条新线段的长度是 ． 变式1-3．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为 ． 【题型二】黄金分割 例2．如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 变式2-1．黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，相邻两片叶子错开的角度是按照图1所示的黄金比来排列的．如图2，为满足上述规律的某植物，设相邻两片叶子错开的角度为α，则α的度数约为 （结果保留到）． 变式2-2．已知线段，是线段的黄金分割点（），则 ． 变式2-3．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【题型三】平行线分线段成比例 例3．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 变式3-1．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 变式3-3．如图，，，，，那么    【题型四】相似多边形的性质 例4．两个相似多边形的一组对应边分别为和，如果小多边形周长为，那么较大的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 变式4-2．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 变式4-3．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【题型五】相似三角形的判定 例5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 变式5-1．已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是 （只需填一个）．    变式5-2．在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 变式5-3．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【题型六】相似三角形的性质 例6．如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为 ． 变式6-1．如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 变式6-3．如图，已知D，E分别为， 上的两点，且，，，，求的长． 【题型七】相似三角形的判定与性质 例7．如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 变式7-1．如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 变式7-2．如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 变式7-3．如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【题型八】相似三角形的应用 例8．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 变式8-1．如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 变式8-3．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【题型九】作图-相似变换 例9．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 变式9-1．如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为；（点B，C的对应点分别为，） (2)写出点B的对应点的坐标（_______，_______）； (3)与的面积比为______． 变式9-2．将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 变式9-3．如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【题型十】位似变换 例10．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 变式10-1．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点，点，点的对应点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 变式10-2．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式10-3．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【题型一】相似三角形判定中忽略“对应”关系，误用“两边比相等”缺夹角条件 易错点：判定三角形相似时，对应顶点顺序写错导致对应边/角找错；用“两边比相等”判定时，漏验证“夹角相等”，直接判定相似。 例1．如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】相似三角形性质中混淆“面积比”与“相似比”的关系 易错点：误以为相似三角形的面积比等于相似比，而非“相似比的平方”，导致面积计算错误。 例2．如图，在等边中，点是边上的一个动点(不与点重合)，以为边作等边，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 变式2-1．将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 变式2-2．与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取，则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 【清单04】 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则 【清单05】 相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单06】 相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 【清单07】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】 位似图形 1．定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3．画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【题型一】比例线段 例1．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 变式1-1．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 变式1-2．已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段是成比例线段，则这条新线段的长度是 ． 【答案】1或9或16 【详解】解：设添加的新线段的长为x，则分以下三种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得．经检验，是原分式方程的根； ③当时，解得．经检验，是原分式方程的根． 变式1-3．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型二】黄金分割 例2．如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 变式2-1．黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，相邻两片叶子错开的角度是按照图1所示的黄金比来排列的．如图2，为满足上述规律的某植物，设相邻两片叶子错开的角度为α，则α的度数约为 （结果保留到）． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， ∴， 解得：． 故答案为： 变式2-2．已知线段，是线段的黄金分割点（），则 ． 【答案】 【详解】解：∵线段，是线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-3．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 【题型三】平行线分线段成比例 例3．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 变式3-1．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 变式3-2．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 变式3-3．如图，，，，，那么    【答案】/2.25 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【题型四】相似多边形的性质 例4．两个相似多边形的一组对应边分别为和，如果小多边形周长为，那么较大的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：相似多边形的一组对应边分别为和， 这两个相似多边形的相似比为， 设较大的多边形的周长为， 则有， 解得：． 故选：C． 变式4-1．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 【答案】3 【详解】解：如图，连接，由题意，得：， ∵正六边形的外角和为， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 两个正六边形相似， 所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正多边形的外角，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及相似多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键． 变式4-2．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 变式4-3．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型五】相似三角形的判定 例5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 变式5-1．已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是 （只需填一个）．    【答案】（答案不唯一） 【详解】证明：∵和， ∴， 故添加条件即可证明， 故答案为：． 变式5-2．在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 变式5-3．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型六】相似三角形的性质 例6．如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，设边长为a， ，， ， ， 又，， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 即等边的边长为． 故答案为：． 变式6-1．如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，C选项结论正确； 在中， ，B选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确． 故选：B． 变式6-2．在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E在上，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式6-3．如图，已知D，E分别为， 上的两点，且，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【题型七】相似三角形的判定与性质 例7．如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 变式7-1．如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 变式7-2．如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式7-3．如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ． 【题型八】相似三角形的应用 例8．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 变式8-1．如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 变式8-2．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴小玻璃管口径是， 故答案为：． 变式8-3．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 【题型九】作图-相似变换 例9．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 变式9-1．如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为；（点B，C的对应点分别为，） (2)写出点B的对应点的坐标（_______，_______）； (3)与的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵，且与的相似比为 ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 变式9-2．将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，和即为所求： 变式9-3．如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 【题型十】位似变换 例10．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 变式10-1．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点，点，点的对应点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】解：∵和位似，且点的对应点， ∴和位似比是， ∴和相似比是， ∴和面积比是. ∵的面积是4， ∴面积是16. 故选：B. 变式10-2．如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 变式10-3．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 【题型一】相似三角形判定中忽略“对应”关系，误用“两边比相等”缺夹角条件 易错点：判定三角形相似时，对应顶点顺序写错导致对应边/角找错；用“两边比相等”判定时，漏验证“夹角相等”，直接判定相似。 例1．如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 变式1-1．如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴，故本选项不符合题意； B、添加，不能判断，故本选项不符合题意； C、∵， 则，又， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 变式1-2．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 变式1-3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 【题型二】相似三角形性质中混淆“面积比”与“相似比”的关系 易错点：误以为相似三角形的面积比等于相似比，而非“相似比的平方”，导致面积计算错误。 例2．如图，在等边中，点是边上的一个动点(不与点重合)，以为边作等边，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过点作于，则， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2-1．将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设． ∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 在中，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：C． 变式2-2．与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由与相似且周长之比为，可知：与的相似比为， ∴； 故选：C． 变式2-3．如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，过E作，则既是的高，也是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $