6.1 反比例函数教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册 1 反比例函数 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课例通过欧姆定律、列车行程等现实情境，引导学生建立反比例函数()的数学模型，体现"用数学眼光观察现实世界"的核心素养。教学重点在于理解反比例函数的概念特征（自变量，常数），通过填表、举例等活动发展学生"用数学思维分析问题"的能力。课标强调要让学生经历"问题情境-建立模型-求解验证"的完整过程，通过矩形面积、耕地分配等变式练习，深化对函数关系的理解，培养"用数学语言表达思想"的素养，同时渗透函数与方程的思想方法。 教材分析 本节课通过电流与电阻、时间与速度等实际问题引出反比例函数的概念，建立（）的数学模型，并通过实例辨析反比例函数的特征，强调自变量。教学过程以问题情境导入，经历建模、探究、应用的过程，引导学生归纳反比例函数定义并判断实际情境中的变量关系。该内容承接正比例函数的学习，为后续学习函数图像与性质、一次函数与反比例函数的综合应用做铺垫。本节课有助于学生理解变量之间的相依关系，发展函数思想，提升抽象概括能力和数学建模能力，为进一步研究反比例函数的图像、性质及解决实际问题打下基础。 学情分析 九年级学生已学习正比例函数、一次函数及分式运算，具备变量与函数的初步概念，了解函数的基本表示方法，同时这个年龄段的学生抽象思维逐步发展，能理解变量间的对应关系，但对反比例函数中“乘积为常数”的特征理解可能不够深入，本节课要求学生从实际问题中抽象出形如()的数学模型，理解反比例函数的定义及自变量不能为零的限制，通过探究电流与电阻、时间与速度等实际关系，帮助学生体会反比例函数在现实中的广泛应用，提升建模意识和分析能力，进一步发展函数思想，为后续学习函数图像与性质奠定基础。 教学目标 1. 理解反比例函数的概念，能从实际问题中抽象出形如()的数学关系，掌握自变量不能为零的限制条件，提升数学建模与符号意识核心素养，发展从现实情境中提炼函数关系的能力。 2. 能判断一个变量是否是另一个变量的反比例函数，并能根据已知条件写出反比例函数表达式，通过表格数据补全加深对变量对应关系的理解，增强数据分析与运算能力，提高解决实际问题的能力。 3. 通过举例和交流，体会反比例函数在物理、生活等领域的广泛应用，培养应用意识和合作交流能力，进一步发展数学抽象与模型观念核心素养。 重点难点 重点：理解反比例函数的概念，能判断两个变量是否成反比例函数关系。 难点：从实际问题中抽象出反比例函数模型，理解反比例函数自变量取值范围。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了函数的概念，请回忆什么是函数。并举例说明哪些变量之间存在函数关系，以此巩固对函数概念的理解。 2.预习教材： 阅读教材中反比例函数相关内容，了解从实际问题引出反比例函数表达式（为常数，）的过程。记录反比例函数的定义及自变量的取值要求，标记不理解之处。 3.问题思考： 在中，当变为原来的2倍，如何变化？联系生活，思考还有哪些实例能用反比例函数表示，课上交流。 课堂导入 同学们，我们先来思考一个生活场景。假设咱们要制作一批手工艺品，总共需要制作100件。如果每天制作件，那么完成这批手工艺品所需的天数是多少呢？很容易得出 。那随着每天制作数量的变化，完成天数会怎么改变呢？越大，就越小；越小，越大。而且在这里，会随着的变化而变化。那是的函数吗？今天，我们就一起探究这类特殊函数——反比例函数，看看它有着怎样独特的性质和特点。 反比例函数 探究新知 （一）知识精讲 让我们从生活中的实际问题出发，探索反比例函数的概念。首先观察导体中的电流现象：根据欧姆定律，当电压V固定时，电流与电阻的关系可以表示为。我们来看这个关系式的变化规律： 从表格中可以清楚地看到，当电阻增大时，电流减小；反之，当减小时，增大。这种一个量增大而另一个量减小的关系，就是我们今天要研究的反比例关系。 再来看京沪高铁的例子：路程km固定时，行驶时间与速度的关系为。同样地，速度越快，所需时间越少；速度越慢，所需时间越多。 通过这两个实例，我们可以归纳出反比例函数的一般形式：如果两个变量、之间的关系可以表示为（为常数，），那么称是的反比例函数。需要注意的是，反比例函数的自变量不能为零。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在台灯亮度调节的例子中，为什么说电流与电阻成反比例关系？当我们将台灯调暗时，实际发生了什么变化？ 学生回答：因为亮度调节是通过改变电阻实现的，增大电阻会使电流减小，灯光变暗；减小电阻会使电流增大，灯光变亮。根据的关系，当电压固定时，与确实成反比例关系。 教师追问：很好！那么在生活中，你还见过哪些反比例关系的例子？请用数学表达式来描述这种关系。 （三）设计意图 通过实际生活中的电路问题和行程问题引入反比例函数的概念，帮助学生建立数学与生活的联系，培养数学建模能力。借助具体实例和表格数据，让学生直观感受反比例关系的变化规律，发展数据分析观念。通过师生互动中的层层追问，引导学生深入理解反比例函数的本质特征，培养数学思维能力和语言表达能力。整个探究过程注重从具体到抽象的认知发展，体现数学来源于生活又服务于生活的价值取向。 新知应用 例1：我们知道，导体中的电流，与导体的电阻、导体两端的电压之间满足关系式。当 V时， (1) 你能用含有的代数式表示吗？ (2) 利用写出的关系式完成下表： 当越来越大时，怎样变化？如果越来越小呢？ (3) 变量是的函数吗？为什么？ 解答： (1) 已知电压 V，且满足关系式 。 我们将这个公式变形，解出电流： 所以，用含的代数式表示为： (2) 根据公式 ，我们可以将表格中的值代入计算对应的值： (Ω) 20 40 60 80 100 (A) 填写后的表格如下： （注：此处图片为原教材表格图示，用于辅助学生对照填写） 观察数据可知： · 当越来越大时，越来越小； · 当越来越小时，越来越大。 这说明电流随着电阻的增大而减小，二者呈“反向变化”趋势。 (3) 判断变量是否是的函数： 根据函数定义：在某一变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数。 在本题中，对于每一个确定的电阻值（），通过公式 都能算出唯一的电流值，因此是的函数。 并且其形式为 （其中），符合反比例函数的一般形式。 所以，变量是的反比例函数。 总结： 1.题目考查内容 ① 从实际问题中建立数学模型（由物理公式推导函数关系）； ② 函数的概念理解与判断； ③ 反比例函数的基本形式识别； ④ 数值计算与规律归纳能力。 2.题目求解要点 ① 熟练掌握公式变形（如由得）； ② 能代入数值准确计算并填表； ③ 结合数据描述变量之间的变化趋势； ④ 运用函数定义判断两个变量是否构成函数关系； ⑤ 明确反比例函数的形式特征：（，）。 例2：京沪高速铁路全长约为1318 km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间(h)与行驶的平均速度(km/h)之间有怎样的关系？变量是的函数吗？为什么？ 解答： 已知路程 = 1318 km，速度为 km/h，时间为 h。 根据“路程 = 速度 × 时间”，即： 我们解出时间： 这就是时间与速度之间的关系式。 接下来判断：变量是不是的函数？ 分析：对于每一个确定的平均速度（要求，因为速度不能为零或负数），都可以通过公式 计算出唯一对应的时间。 例如： · 若 km/h，则 h； · 若 km/h，则 h。 每个值对应唯一的值，满足函数定义。 又因为该关系式形如 ，其中常数，所以这是一个反比例函数。 结论：变量是的函数，而且是反比例函数。 总结： 1.题目考查内容 ① 利用行程问题建立反比例函数模型； ② 函数概念的应用判断； ③ 实际情境中反比例关系的识别。 2.题目求解要点 ① 牢记基本数量关系：路程 = 速度 × 时间； ② 正确变形公式得到目标变量表达式； ③ 判断是否满足函数条件——“一因一果”； ④ 观察函数形式是否符合 （）； ⑤ 注意实际问题中自变量取值范围限制（如）。 做一做第1题：一个矩形的面积为20 cm²，相邻的两条边长分别为 cm和 cm，那么变量是变量的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 解答： 已知矩形面积为20 cm²，边长分别为 cm和 cm。 根据矩形面积公式： 解出： 现在判断：是不是的函数？ 分析：对于每一个确定的正数（边长必须大于0），都有唯一的 与之对应。 比如： · ，则； · ，则。 因此，是的函数。 再看函数形式：，符合 的形式，其中，所以它是反比例函数。 注意：自变量，且在实际问题中（长度为正）。 答：变量是变量的函数，而且是反比例函数。 总结： 1.题目考查内容 ① 几何问题中的函数建模（面积与边长关系）； ② 反比例函数的识别； ③ 函数定义的实际应用。 2.题目求解要点 ① 利用面积公式建立等量关系； ② 变形得出因变量关于自变量的表达式； ③ 判断是否满足函数定义； ④ 检查是否符合反比例函数标准形式； ⑤ 注意实际意义对变量取值的限制（如边长>0）。 做一做第2题：某村有耕地346.2 hm²，人口数量逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积(hm²/人)是全村人口数的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 解答： 已知总耕地面积为346.2 hm²，全村人口数为人，人均占有耕地面积为 hm²/人。 根据“人均面积 = 总面积 ÷ 人数”，可得： 判断：是不是的函数？ 分析：对于每一个确定的人口数（，且为正整数），都能计算出唯一的人均面积。 例如： · ，则； · ，则。 每个对应唯一的，所以是的函数。 再看表达式：，形如 ，其中，所以它是反比例函数。 答：变量是的函数，且是反比例函数。 总结： 1.题目考查内容 ① 平均分配类问题中的函数建模； ② 反比例函数的实际背景识别； ③ 函数与现实问题的联系。 2.题目求解要点 ① 理解“人均 = 总量 ÷ 人数”的数量关系； ② 建立数学表达式； ③ 判断函数关系是否存在； ④ 分析函数类型是否为反比例； ⑤ 强调实际问题中自变量取正值。 板书设计 反比例函数定义 一般形式：（为常数，） 自变量限制： 做一做 矩形面积问题 耕地面积问题 想一想：自变量取值范围 教学反思 本节课围绕反比例函数的概念展开，通过物理、生活中的实例引导学生理解()的形式特征，结合、等实际情境帮助学生抽象出反比例函数模型，并通过“做一做”“想一想”等活动强化概念辨析与表达式应用。教学设计符合课标“从现实情境中建立函数模型”的要求，注重数学抽象与模型思想的渗透。成功之处在于情境贴近生活，问题层层递进，有效激发学生思维；不足在于对自变量取值范围的讨论不够深入，部分学生在填写表格和求解析式时出现计算错误，后续需加强基础运算指导与概念精细化训练，同时提升学生用数学语言准确表达的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $