1.2.2 数轴 （讲义）2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“数轴”核心知识点，系统梳理从定义（规定原点、正方向、单位长度的直线）、三要素（原点、正方向、单位长度）、画法步骤（画直线、定原点、标方向、取单位长度），到用点表示有理数（正数在原点右、负数在左、0在原点），再到比较大小（右边点表示的数总比左边大）的完整脉络，搭建层层递进的学习支架。 该资料以几何直观与应用意识为特色，通过“单位长度可灵活选取”“蚂蚁爬行位置描述”等具象化设计，帮助学生建立数与形的联系，“思考数轴点是否都表有理数”环节培养推理意识。课中辅助教师系统授课，课后练习涵盖选择、填空、解答题，从基础辨析到情境应用，助力学生查漏补缺，发展数学眼光与思维。

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第一章 有理数 1.2.2 数轴 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解数轴的概念，知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能正确地画出数轴。 3. 能借助数轴用点表示有理数，初步体会数形结合的思想。 4. 能说出数轴上已知点所表示的有理数。 5. 会利用数轴比较有理数的大小。 知识点梳理 知识点一：数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 讲解： · 数轴是一条特殊的直线，它具有“直线”的所有特征（可以向两端无限延伸）。 · 这条直线必须满足三个“规定”，也就是我们下面要说的“三要素”。 知识点二：数轴的三要素 数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。 1. 原点：在直线上选取的一个特殊点，表示数0。这个点是数轴的基准点。 2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，用箭头表示。那么，相反的方向，即从原点向左（或向下）就是负方向。 3. 单位长度：在数轴上，从原点开始，每隔一个固定的长度取一个点，这个固定的长度就叫做单位长度。单位长度的选取可以根据实际需要来确定，但在同一条数轴上，单位长度必须统一。例如，可以规定1厘米代表1个单位长度，也可以规定0.5厘米代表1个单位长度，或者1厘米代表2个单位长度等。 讲解： · 这三个要素是构成数轴必不可少的条件，缺少其中任何一个，数轴就不能准确地表示数。 · 想象一下，如果没有原点，我们就不知道0在哪里；没有正方向，就分不清左右（或上下）哪个是正，哪个是负；没有单位长度，就无法确定每个点代表的具体数值是多少。 知识点三：数轴的画法 画数轴的步骤通常如下： 1. 画直线：画一条水平的直线。 2. 定原点：在直线上选取一点作为原点，通常取在直线的中间位置，并在原点的下面标上“0”。 3. 规定正方向：通常规定向右为正方向，因此在直线的右端画上一个箭头。 4. 选取单位长度：根据需要，选取适当的长度作为单位长度。从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上-1，-2，-3，…。 如果需要表示像二分之一这样的分数，可以将单位长度再平均分成2份，每一份就是二分之一个单位长度。 讲解： · 画数轴时要注意规范性，直线要画直，原点要标注清楚，正方向的箭头不能少，单位长度要统一且适当。 · 标注数字时，通常在数轴的上方或下方对应点的位置标注。 知识点四：用数轴上的点表示有理数 1. 表示正数：正数都在原点的右边。要表示一个正数，例如3，就在原点右边距离原点3个单位长度的地方描一个点，这个点就表示3。 2. 表示负数：负数都在原点的左边。要表示一个负数，例如-2，就在原点左边距离原点2个单位长度的地方描一个点，这个点就表示-2。 3. 表示0：原点本身就表示数0。 讲解： · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。也就是说，有理数与数轴上的点是一一对应的吗？（此处可思考，目前我们学的有理数是可以的，但以后会学到更多的数） · 例如： (1) 在数轴上，表示1的点在原点右边1个单位长度处。 (2) 表示-3的点在原点左边3个单位长度处。 (3) 表示二分之一的点在原点右边，距离原点二分之一个单位长度处。 (4) 表示负三分之一的点在原点左边，距离原点三分之一个单位长度处。 知识点五：数轴上的点与有理数的关系 数轴上的点与有理数之间存在着对应关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 讲解： · 这句话告诉我们，有理数都可以在数轴上找到它们的“位置”。反过来，数轴上的点是不是都表示有理数呢？这个问题我们现在先不深入讨论，以后会学到。 知识点六：利用数轴比较有理数的大小 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 讲解： · 这个结论非常重要，它把数的大小比较转化为了数轴上点的位置关系。 · 根据这个结论，我们可以得到： (1) 所有的正数都在原点的右边，所有的负数都在原点的左边，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 (2) 对于两个正数，哪个数在数轴的右边，哪个数就大。 (3) 对于两个负数，哪个数在数轴的右边（即离原点更近），哪个数就大。例如，-1在-2的右边，所以-1 > -2。 知识点总结 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 数轴的三要素：原点（表示0）、正方向（通常向右）、单位长度（统一的长度标准）。这三者缺一不可。 3. 数轴的作用： (1) 可以用数轴上的点表示有理数。 (2) 可以利用数轴比较有理数的大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 4. 重要结论：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 巩固练习 一、选择题 1．数轴上原点及原点右边的点表示的数是（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 2．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称有理数 B．0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数 C．任何有理数都可以用数轴上的一个点表示 D．有最小的负整数 3．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 4．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 5．如图，数轴上被阴影盖住的点表示的数可能是（　　） A．3 B．0 C．-1 D．-2 6．下列数轴画法规范的是（　　） A． B． C． D． 7．数轴上A，B两点对应的数是和，则A，B两点之间表示整数的点的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（　　） A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C 二、填空题 9．数轴上到点的距离等于5个单位长度的数是． 10．在数轴上，表示数a的点到表示和4的两个点的距离相等，则　 　． 11．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则　 　，　 　. 12．点P从数轴原点出发，先向左移动5个单位长度，然后再向右移动9个单位长度，最后再向左移动7个单位长度后停下，此时点P与点Q重合，则点Q表示的数是　 　． 13．小明不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 　 　 14．在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点 （1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是　 　，则点N表示的数是　 　（用含x的代数式表示），并计算线段MN的长； （2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长　 　． 三、解答题 15．一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． （1）画数轴表示点所在的位置，并写出三点表示的数； （2）根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 16．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8．C 9．和4 10．1 11．5； 12．－3 13．-11 14．；；5 15．（1）解：如图所示，点表示2，点表示5，点表示 （2）解：∵点C表示，∴蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 16．（1） （2）当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有 （3）①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、； 学科网（北京）股份有限公司 $