4.8图形的位似 (2) 教学设计2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册 8 图形的位似 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对图形与几何领域的要求，本课例重点培养学生"图形的变化"核心素养，通过位似图形的坐标变换探究，发展学生的几何直观和推理能力。课标要求7-9年级学生能"理解相似图形和位似图形的概念，掌握图形相似的性质"，本内容通过坐标系中坐标乘的变换，引导学生发现位似变换的数学本质——以原点为位似中心、相似比为的图形变换，体现了课标强调的"从具体情境中抽象出数学规律"的要求。同时，通过正负比例系数的对比分析，培养学生分类讨论的数学思维，符合课标"发展学生数学思考能力"的目标。 教材分析 本节课通过具体例子探究位似图形在坐标系中的表示方法，引导学生发现当多边形各顶点的横、纵坐标都乘同一个非零数时，所得图形与原图形位似，且位似中心为坐标原点，相似比为。教学过程以观察、计算、归纳为主线，帮助学生经历从特殊到一般的探究过程。该内容承接了平面直角坐标系、图形的相似与位似等知识，为后续学习图形变换与函数图像变换奠定了基础。本节课的作用在于帮助学生理解位似变换的坐标特征，提升数形结合能力，发展几何直观和推理能力，同时为今后学习图形缩放、函数图像平移与伸缩等提供方法支持。 学情分析 九年级学生已掌握平面直角坐标系中点的表示方法、相似图形的性质及位似变换的基本概念，具备一定的几何直观和代数运算能力，能够理解图形在坐标系中的平移、缩放等变化，同时这一阶段的学生抽象思维逐步发展，能通过具体坐标运算探究图形间的数量关系与位置关系，但对坐标变化与图形位似之间的内在联系仍需直观引导，本节课要求学生通过将多边形顶点坐标的横纵坐标同乘一个非零实数，观察新旧图形之间的位似关系，理解位似中心为坐标原点时的坐标变换规律，掌握相似比为的结论，并能区分与时图形方向的变化，帮助学生深化对位似变换的数形结合理解，提升归纳推理与几何直观能力，为后续学习图形的相似变换与函数图像变换奠定基础。 教学目标 1. 理解位似图形在坐标系中的变换规律，掌握横、纵坐标同乘一个数后图形与原图位似的关系，位似中心为原点，相似比为，提升几何直观与数学抽象核心素养，发展数形结合能力。 2. 能通过具体坐标变换判断位似关系，确定位似中心和相似比，特别是与时的方向变化，培养逻辑推理和空间观念，提高分析图形变换特征的能力。 3. 在探究坐标变化对图形位似影响的过程中，体会代数运算与几何性质的联系，增强数学建模意识，促进运算能力与综合思维的发展。 重点难点 重点：理解在平面直角坐标系中，将多边形顶点横、纵坐标乘同一数所得图形与原图形位似，掌握位似中心及相似比的确定。 难点：理解取不同值（正、负）时位似图形的变化情况。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了位似图形的概念及性质，请回想什么是位似图形？位似图形有哪些性质？可通过画简单位似图形巩固。 2.预习教材： 阅读教材中关于位似图形坐标变化的内容，观察及四边形顶点坐标变化后图形的变化。记录位似中心、相似比与坐标乘数的关系，对不理解处标记。 3.问题思考： 在平面直角坐标系中，把一个三角形顶点坐标都乘3，新三角形与原三角形位似吗？位似中心和相似比分别是什么？思考坐标变化与位似变换的联系。 课堂导入 同学们，我们之前学习了位似图形的相关知识。现在来思考这样一个有趣的问题：假如在平面直角坐标系中有一个简单的三角形，它的顶点坐标分别是，， 。如果我们把这个三角形各顶点的横坐标和纵坐标都乘以3，得到新的三个点，再以这三个点为顶点组成新的三角形 。大家想一想，这个新三角形和原来的三角形有什么关系呢？它们是不是位似图形呢？如果是，位似中心在哪里，相似比又是多少呢？带着这些疑问，让我们一起走进今天关于位似图形坐标的探究之旅。 位似图形的坐标 探究新知 （一）知识精讲同学们，让我们一起来探究位似图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律。观察图： 图中的顶点坐标为，，。当我们把这三个点的横纵坐标都乘以2时，得到的新坐标是，，。可以发现，与是位似图形，位似中心是坐标原点，相似比为2。 再来看右图： 四边形的顶点坐标为，，，。当我们将这些点的坐标都乘以时，得到的新四边形与原四边形位似，位似中心仍然是坐标原点，相似比为。 通过这两个例子，我们可以总结出一个重要结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个非零数，所得到的新图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，相似比为。当为正数时，位似图形与原图形在同一侧；当为负数时，位似图形与原图形在原点两侧。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们将的顶点坐标都乘以-2，得到的图形与原图形还位似吗？位似中心和相似比分别是多少？ 学生回答：是的，仍然位似。位似中心还是坐标原点，相似比为2，因为相似比取的是的绝对值。 教师追问：很好！那如果我们将四边形的顶点坐标都乘以0.5和-0.5，得到的两个新四边形之间有什么关系呢？ 学生思考后回答：这两个新四边形也是位似图形，位似中心还是原点，相似比为1，因为它们都是原图形按相同比例缩小得到的，只是方向相反。 （三）设计意图 通过具体图形在坐标系中的变换，帮助学生直观理解位似图形的坐标变化规律，培养数形结合的思想。让学生经历从特殊到一般的归纳过程，发展抽象思维能力和数学表达能力。通过师生互动，引导学生深入思考位似变换的本质特征，理解相似比与坐标变换之间的关系，建立完整的知识体系。 新知应用 例1：在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，。以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比是。 解答： 我们要画一个与原四边形位似的图形，位似中心是原点，相似比为，即新图形与原图形的对应边长之比为。 根据教材中的结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所得到的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，相似比为。 因此，为了得到相似比为的位似图形，我们可以取 或 。 · 当时，新图形与原图形在位似中心同侧； · 当时，新图形与原图形在位似中心异侧（即关于原点对称方向）。 下面我们分别计算两种情况下的新顶点坐标： 画法一：取 将原四边形各顶点坐标都乘以： · 点 → · 点 → · 点 → · 点 → 描出点、、、，顺次连接得四边形。 画法二：取 将原四边形各顶点坐标都乘以： · 点 → · 点 → · 点 → · 点 → 描出点、、、，顺次连接得四边形。 两种画法所得的四边形都与原四边形位似，位似中心为原点，相似比均为，符合题目要求。 总结 1.题目考查内容 ① 位似图形在平面直角坐标系中的坐标变换规律； ② 利用坐标缩放构造位似图形的方法； ③ 相似比与缩放系数的关系，以及正负号对图形位置的影响。 2.题目求解要点 ① 明确位似中心为原点时，只需将所有顶点的横、纵坐标同时乘以同一比例系数； ② 相似比为，若，图形在原图同侧；若，图形在原图反向（关于原点对称方向）； ③ 准确进行坐标的乘法运算，注意符号处理，特别是负数乘法； ④ 描点后按顺序连接，确保新图形形状正确。 板书设计 位似图形的坐标 规律总结 位似条件：平面直角坐标系中，多边形顶点横、纵坐标乘同一数 位似中心：坐标原点 相似比： 教学反思 本节课围绕位似图形的坐标变换展开，通过具体实例引导学生探究平面直角坐标系中多边形顶点坐标乘以同一非零实数后的图形关系，进而归纳出位似中心为坐标原点、相似比为的结论。教学设计符合课标要求，注重学生观察、操作与推理能力的培养，基本达成教学目标。成功之处在于借助坐标变化直观呈现位似变换特征，帮助学生建立数形结合的思想；练习设计层次分明，有效巩固新知。不足之处在于对时位似图形位置关系的解释略显仓促，部分学生对负比例因子下图形翻转的理解不够深入，今后应增加动态演示或图示辅助理解，同时加强学生数学语言表达的规范性训练，提升其逻辑表述能力。 学科网（北京）股份有限公司 $