第三章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2019必修第一册

第三章：函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 4．如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 5．中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 11．定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 13．定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)求的最小值． 16．（15分）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 17．（15分）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 18．（17分）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章：函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质即可得出递减区间. 【详解】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下， 可知该函数的单调递减区间是. 故选：B． 3．已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 4．如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【答案】D 【分析】根据已知得到，结合目标式求值即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 则. 故选：D 5．中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析即可判断各选项． 【详解】对于A，函数定义域是，定义域是，故A错误； 对于B，函数定义域是，定义域是，故B错误； 对于C，函数定义域，定义域是，与的对应法则相同，故C正确； 对于D，由，解得，则函数定义域是， 又，解得或，则定义域是，故D错误． 故选：C． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 7．已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断函数的单调性和最值，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如图所示：    由的对称轴是，且， 当时，是增函数， 且，所以， 所以，又，故． 故选：A． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【详解】对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确； 对于B，当时，，由于函数均在上单调递增， 故在上单调递增，，， 故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值， 综上，函数无最大值和最小值，故B错误； 对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 11．定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得. 【详解】由表示不小于的最小整数，得，且，即， 对于A，由，得，即，A错误； 对于B，由，得，则或， 当时，；当时，，因此，B正确； 对于C，函数的定义域为，而，即， 因此函数不是上的奇函数，C错误； 对于D，令，则，，即， 因此，即，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 13．定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令求出，令可得在R上为减函数，根据单调性和奇偶性即可得解. 【详解】令，则，得， 令，则，即， 所以为奇函数. 令，且，则， 因为，所以，所以， 所以在R上为减函数， 所以不等式 ， 即，解得. 故答案为： 14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用函数的单调性定义判断函数在区间上的单调性，求得的值域，再将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论． 【详解】设，则， 因为，所以， 则，即，故在区间上单调递增，故当时，， 则问题转化为当时，，即恒成立， 又函数在上单调递减，所以 所以，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求解， （2）根据二次函数的性质，结合1和到对称轴的距离大小，即可求解. 【详解】（1）当时，开口向下，对称轴为， 即在上是递增的，∴ ，故函数的值域为； （2）对称轴为,开口向下， ①当时，当时取到最小值 ②当时，当时取到最小值 综上可得， 16．（15分）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17．（15分）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明见解析. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 18．（17分）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解； （2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，可得， 解得，可得， ，是奇函数，满足题意， 所以，. （2），在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增； （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为， 的对称轴为， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $