2.5 直线与圆的位置关系（1-4）课时训练 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

课时训练20 直线与圆的位置关系(1) (时间:35 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1.(2024 盐城市阜宁县期中)已知⊙O 的半径是一元二次方程. 的一个根，圆心O到直线l 的距离d=2，则直线l与⊙O的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 2.半径为5 的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线 l 的距离为4，则这个圆可以是 ( ) A. ⊙O₁ B. ⊙O₂ C. ⊙O₃ D. ⊙O₄ 3. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,以点 A 为圆心作一个半径为3 的圆，则下列结论正确的是 ( ) A. 点 B 在⊙A 内 B. 直线 BC 与⊙A 相离 C. 点C 在⊙A 上 D. 直线 BC 与⊙A 相切 4. 如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E 分别是AC,AB 的中点,则以 DE为直径的圆与BC 的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数 的图像上，⊙A 与 x轴相切，⊙B 与y轴相切.若点 B 的坐标为(1,8),⊙A 的半径是⊙B 半径的2倍,则点 A 的坐标为 . 6.如图,直线a⊥b,垂足为 H,点 P 在直线b上,PH=4 cm,O为直线b 上一动点.若以1 cm为半径的⊙O 与直线a 相切,则OP的长为 . 7. 如图,⊙P 的圆心为点 P(-3,2),半径为3,直线 MN 过点 M(5,0)且平行于 y 轴,点 N 在点 M 的上方. (1)在图中作出⊙P 关于 y 轴对称的⊙P'，根据作图直接写出⊙P'与直线MN 的位置关系； (2) 若点 N 在(1)中的⊙P'上,求 PN 的长. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 拓展提优 1.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是 ( ) A. 8≤AB≤10 B. 8<AB≤10 C. 4≤AB≤5 D. 4<AB≤5 2.如图，直线 与x轴、y轴分别交于A,B 两点,圆心 P 的坐标为(1,0),⊙P 与y轴相切于点O.若将⊙P 沿x轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P 的个数是 ( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图,在直角三角形ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D,E 分别是AC,BC上的一点，且DE=3.若以 DE 为直径的圆与斜边AB 相交于点M,N,则 MN 长的最大值为 ( ) B. 2 C.A. 4.如图，半径为2 的⊙P 的圆心在直线.y=2x-1上运动，当⊙P 与x轴相切时，圆心 P 的坐标为 . 5.已知⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d.若R，d 是关于x的方程 m=0的两个根，则当直线l 与⊙O 相切时，m的值为 . 6. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为边CD上的一个动点(不与点 C，D重合),⊙O是△BCE 的外接圆. (1) 若CE=2,⊙O交AD 于点 F,G,求FG 的长度. (2)若CE 的长度为m，试探索⊙O 与直线AD 的位置关系及对应的m 的取值范围. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【基础巩固】 1. B 2. C 3. D 4. A 提示:过点 A 作AM⊥BC 交 DE 于点 N,交BC 于点M.由 易证△ABC 为直角三角形.由等积法，可得 因为 D,E 分别是AC,AB 的中点,所以 5,DE∥BC,所以 因为平行线之间的距离处处相等，所以圆心到线段BC之间的距离为d=2.4.因为以 DE 为直径的圆的半径为r=2.5,所以d<r,所以以DE为直径的圆与BC相交. 5. (4,2) 6. 3cm或5cm 提示:因为直线a⊥b,O为直线b上一动点，所以当⊙O与直线a 相切时，H为切点，所以OH=1cm.当点O在点 H 的左侧时,OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O 在点 H 的右侧时,OP=PH+OH=4+1=5(cm). 7. 解:(1) 如图,⊙P'即为所求.⊙P'与直线MN 相交. (2) 如图,在 Rt△P'EN 中,由勾股定理,得 在Rt△PNE 中, 由 勾股定 理, 得 PN = 【拓展提优】 1. A 2. B 提示:若⊙P₁与AB 相切,如图所示,过点 P₁作P₁E⊥AB于点E,则d=r=1.因为直线 y= 与x轴、y轴分别交于A，B两点，所以点A(-3,0),B(0, )，所以 在Rt△AOB 中,由勾股定理,得 所以AB=2OB,所以 所以 2,所以点 P₁(-1,0).同理,在点 A 的左侧有点P₂(-5,0)使⊙P₂与AB 相切.所以当⊙P与直线AB 相交时，横坐标为整数的点 P 的个数是3. 3. C 提示:如图,过点C 作CF⊥AB 于点F.取 DE的中点O,过点O作OG⊥AB 于点G.连接OC,OM.易知 在Rt△ABC 中,由勾股定理，得 因为 所以 由垂径定理,得 MN=2MG.由勾股定理,得 MG= 所以当 OG长最小时，MN 长最大.因为OC+OG≥CF,即OG≥CF-OC,所以当C,O，G三点共线，且点G 与点 F 重合时，OG 长取得最小值，此时 即MN长的最大值为 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 4. (1.5,2)或(-0.5,-2) 提示:因为⊙P 的圆心在直线 y=2x-1上,所以可设点P(x,2x-1),当⊙P与x轴正半轴相切时,2x-1=2,解得x=1.5,所以点 P(1.5,2);当⊙P 与x轴负半轴相切时,2x-1=-2,解得x=-0.5,所以点P(-0.5,-2).所以点P 的坐标为(1.5,2)或(-0,5,-2), 5.4 6. 解:(1) 如图1,过点 O 作OM⊥FG 于点M,延长MO交BC 于点 N,连接OG.易得四边形 MNCD 是矩形,所以 MN⊥BC,MN=CD=AB=4,所以BN=CN.因为OB=OE,所以ON 是△BCE 的中位线，所以 所以OM=MN-ON=3.在 Rt△BCE 中, 所以 在 Rt△OMG中， 所以 FG=2MG=2. (2) 如图2,当⊙O与AD 相切于点M 时,连接OM 并反向延长交BC 于点 N.由(1)易得 在 Rt△BON 中, 即 解得 易知m 的值越大，⊙O 的半径 越大,⊙O到AD的距离 越小，所以当 时,⊙O与AD 相离,当 时,⊙O 与AD 相切,当 时,⊙O与AD 相交. 课时训练21 直线与圆的位置关系(2) (时间:35 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1.(2024 山西省中考)如图,已知△ABC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点 D,与AC 相切于点 A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C 的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 2.(2024 福建省中考)如图,已知点 A,B 在⊙O 上,∠AOB=72°,直线 MN 与⊙O相切，切点为 C，且C 为 的中点，则∠ACM 的度数为 ( ) A. 18° B. 30° C. 36° D. 72° 3. 如图,BC 为⊙O 的直径,弦AD⊥BC 于点E,直线 l 切⊙O 于点C,延长OD 交l于点F.若 AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长为 ( ) A.2 D. 4 4. 如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的⊙O 与边BC 相切于点E,则⊙O的半径为 ( ) A. 5 B. 5.25 C. 6 D. 6.25 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(4,0),B(0,4),⊙O 的半径为2(O为坐标原点)，P是直线AB 上的一动点,过点 P 作⊙O 的一条切线PQ,Q 为切点，则线段 PQ长的最小值为 ( ) A. C. 2 6.(2024徐州市中考)如图,AB 是⊙O的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点 D,若∠C=20°,则∠CAD= °. 7.如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外.已知⊙O 交矩形ABCD 的边AD 于点E,F,AB=EF=2,则球的半径为 . 8. 如图,直线AB 与⊙O相切于点 A,AC,CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB.若⊙O 的半径为2.5,CD=4,则弦AC 的长为 . 拓展提优 1.如图，⊙O 的半径为2，点O到直线l的距 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B,则PB 的最小值是 () B. C. 3 D.2 2. 如图,△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=2，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC,BC 相切于点D,E,与AB 交于点G，H，且 DG 的延长线和CB 的延长线交于点F，则CF的长为 ( ) A.1 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限，⊙P与x 轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C,与 BC 相交于点 D.若⊙P 的半径为5,点 A 的坐标是(0,8),则点D的坐标是 ( ) A.(9,2) B. (9,3) C. (10,2) D. (10,3) 4. 如图,在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6，以边AB 的中点O为圆心，作半圆与AC相切，P，Q分别是边 BC 和半圆上的动点，连接PQ，则PQ 长的最大值与最小值的和是 . 5.(2024 天津市中考)已知在△AOB 中, AB 为⊙O的弦,直线 MN 与⊙O 相切于点C. (1)如图1,若 直径CE 与AB相交于点 D，求 和 的大小： (2) 如图2,若 垂足为G,CG与OB 相交于点F,OA=3,求线段OF 的长， 6.如图,在△ABC中,D 为边BC上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD 于点E，过点C作 交⊙O 于点F,连接CE,EF,已知AC 是⊙O的切线. (1)求证: (2)若AB=10,AC=6,CE=EF,求直径CD 的长. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【基础巩固】 1. D 2. A 3. B 4. D 提示:连接EO 并延长,交 AD 于点F,连接OA.因为 BC 是⊙O的切线,所以OE⊥BC,所以∠OEC=90°.因为四边形 ABCD 是矩形,所以∠C=∠D=90°,所以四边形CDFE 是矩形,所以EF=CD=AB=8,OF⊥AD,所以 6.设⊙O的半径为x,则OF=EF-OE=8-x,在Rt△OAF 中,由勾股定理,得 即 解得x=6.25.所以⊙O 的半径为6.25. 5. C 提示:连接OP,OQ.因为点 A(4,0),B(0,4),所以OA=OB=4,因为∠AOB=90°,所以△AOB为等腰直角三角形，所以 因为 PQ 是⊙O 的切线,所以OQ⊥PQ.在Rt△OPQ中,由勾股定理,得 所以当 OP 的长最小时，PQ 的长最小.由题意可知，当OP⊥AB 时，OP 的长最小，此时易求 所以线段 PQ长的最小值为2. 6. 35 7. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 提示：连接AO并延长，交CD于点E ，连接OC.因为AB与⊙O 相切,所以OA⊥AB.因为 CD∥AB,所以OA⊥CD,所以CE=DE=2.在Rt△OEC中，由勾股定理，得 所以AE=OE+OA=4.在Rt△AEC 中,由勾股定理,得 【拓展提优】 1. B 2. C 提示:连接CO,DO、EO.因为 AC,BC 是⊙O的切线,所以OD⊥AC,OE⊥BC.因为△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=2,所以 ∠A=45°.所以△ADO是等腰直角三角形，所以AD=OD.因为∠C=∠ODC=∠OEC=90°,所以四边形 CDOE 是矩形,因为 OD=OE,所以矩形CDOE 是正方形.所以OD=DC.因为AD=OD,所以 所以△COD 是等腰直角三角形,所以∠AOD+∠COD=90°,所以CO⊥AB,所以O 是 AB 的中点. 所以OA =OB = 因为 DO∥BC,所以∠F=∠ODG,因为OD=OG,所以∠ODG=∠OGD. 因为∠OGD=∠FGB,所以∠FGB=∠F.所以. 1,所以CF=CB+BF=2+ -1=1+ 3. A 提示:设⊙O与x轴、y轴的切点分别是F,E,连接PE,PF,PD,延长EP 与CD交于点G,易证四边形 PEOF 为正方形,所以OE=PF=PE=OF=5.因为点A(0,8),所以OA=8,所以AE=OA-OE=3.因为四边形 AOBC 为矩形,所以BC=OA=8.易证四边形 AEGC、四边形OEGB 均为矩形,所以CG=AE=3,EG=OB,因为 PE⊥AO,BC∥OA,所以PG⊥CD,所以DG=CG=3,所以BD=BC-CG-DG=2.因为 PD=5,DG=3,所以PG=4,所以OB=EG=PE+PG=9,所以点 D(9,2). 4.9 提示:如图,过点O作( 于点P₁，交半圆于点 Q₁.设半圆与OA 相交于点Q₂，连接OC，OP,OQ.设半圆与 AC 相切于点 E,连接OE,则OE⊥AC.因为 OQ+PQ≥OP≥OP₁,即 PQ≥ 所以当O,Q,P三点依次共线且点 P 与点 P₁重合时，PQ长有最小值，为 的长;因为 PQ≤OP+OQ,所以当 Q, O，P三点依次共线，即点Q 运动到点 点P运动到点B 时，PQ 长有最大值，为BQ的长.因为AB=10,AC=8,BC=6,所以 所以△ABC 为直角三角形.因为OA=OB，所以 因为OE⊥AC,所以AE=CE,所以 因为 所以 所以 所以PQ长的最小值 最大值 所以PQ长的最大值与最小值的和是9. 5. 解:(1) 因为 OA = OB,所以∠A =∠ABO.因为∠A+∠ABO+∠AOB=180°,∠ABO=30°,所以∠AOB=180°--2∠ABO=120°.因为直线 MN 与⊙O相切于点 C,CE 为⊙O 的直径,所以∠ECN = 90°. 因为 AB∥MN,所以∠CDB=∠ECN =90°,所以∠BOE=180°-∠CDB-∠ABO=60°,因为∠BCE= 所以∠BCE=30°. (2) 如图,连接OC.同(1),得∠COB=90°.因为CG⊥AB,所以∠FGB=90°.因为∠ABO = 30°,所以∠BFG= 90°-∠ABO=60°,所以∠CFO=∠BFG=60°.在 Rt△COF 中,OC=OA=3,∠CFO=60°,所以 CF =2OF,由勾股定理,得 即 所以 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 6.(1) 证明:因为 CF∥AB,所以∠B =∠FCB.因为∠FCB=∠DEF,所以∠B=∠DEF.因为 AC 是⊙O 的切线,所以∠ACB=90°,所以∠BAC+∠B=90°.因为CD是⊙O 的直径,所以∠CED=90°,所以∠DEF+∠CEF=90°,所以∠BAC=∠CEF. (2) 解:连接FD 并延长,交AB 于点G.因为CE=EF,所以∠CFE=∠ECF.因为四边形 CEDF 为圆内接四边形，所以∠FDE+∠ECF=180°,又因为∠FDE+∠ADG=180°,所以∠ADG=∠ECF=∠CFE.又因为∠CDE=∠CFE,所以∠ADG=∠CDE.因为 CD 为⊙O 的直径,所以∠CFD=90°.因为CF∥AB,所以∠AGD=∠CFD=90°,所以∠AGD=∠ACD.又因为AD=AD,所以△AGD≌△ACD(AAS),所以 DG=CD,AC =AG=6.因为∠ACB=90°,AB=10,AC=6，所以 在 Rt△BDG中,设CD=DG=x,则BD=BC-CD=8-x,BG=AB-AG=10-6=4.由勾股定理，得 即 解得x=3,所以CD 的长为3. 课时训练22 直线与圆的位置关系(3) (时间:35 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1. 如图,以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交AC 于点D,过点 D 作DE⊥BC 于点E.若要使 DE 是⊙O 的切线，则下列补充的条件不正确的是 ( ) A. AD=CD B. OD∥BC C.∠A=∠C D. OD=DE 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，过格点A，B，C作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( ) A. 点(0,3) B. 点(2,3) C. 点(5,1) D. 点(6,1) 3.如图，AB 是半圆O的直径，点C 在半圆上(不与点 A,B 重合),DE⊥AB 于点 D,交BC 于点F，下列条件中能判断CE 是⊙O切线的是 ( ) A. ∠E=∠CFE B. ∠E=∠ECF C. ∠ECF=∠EFC D. ∠ECF=60° 4.如图,AB 是⊙O 的直径,要使得直线 AT是⊙O 的切线，需要添加的一个条件是 (写一个条件即可). 5. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心,r 为半径作⊙C.若⊙C与斜边AB 有两个公共点，则r的取值范围是 . 6.已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠BAD=60°,M 是线段AD 的中点,P 是对角线AC上的动点，连接 PM，以点 P 为圆心，PM的长为半径作⊙P，当⊙P 与菱形ABCD的边相切时，AP 的长为 . 7.(2024盐城市盐都区期中)如图，在四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点 E,且AB=AC=AD,经过A,C,D三点的⊙O交BD于点F,连接CF. (1)求证:CF=BF; (2) 若CD=CB,求证:CB 是⊙O 的切线. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 拓展提优 1. 如图,在矩形ABCD 中,G 是BC 的中点,过A,D,G三点的⊙O与边AB,CD 分别交于点 E,F,现有下列说法:①AC 与BD的交点是⊙O的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙O 的圆心;③BC 与⊙O 相切.其中正确说法的个数是 ( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=8,以CD 为直径作⊙O.将矩形 ABCD 绕点C 旋转,使所得矩形 A'B'CD'的边A'B'与⊙O 相切,切点为E,则A'E 的长为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点,PC 与⊙O 相切于点C,D 是⊙O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.现有下列结论:①PD 与⊙O 相切;②四边形PCBD 是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为 ( ) A. 4 B. 3 C.2 D. 1 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点 0)为圆心，1为半径画圆.将⊙A 绕点O 逆时针旋转 得到 使得 与y轴相切，则α的度数是 . 5.如图，在平面直角坐标系中，点 动点 B，C从原点O 同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点 A 为圆心，OB 的长为半径画圆；以BC 为一边，在x轴上方作等边三角形BCD.设运动的时间为 t s，当⊙A 与 的边BD 所在直线相切时，t的值为 . 6.(2024 盐城市阜宁县期中)如图,⊙O 是 的外接圆，直径AC=4，过点C作⊙O 的切线,与 AB 延长线交于点 D,M为CD 的中点,连接BM,OM,且 BC 与OM 相交于点 N. (1)求证:BM与⊙O相切; (2)当 时，在⊙O的圆上取点F，使 补全图形，并求点 F到直线AB 的距离. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【基础巩固】 1. D 2. C 3. C 提示:连接OC.因为OC=OB,所以∠OCB=∠B.因为 DE⊥AB,所以∠BDF=90°,所以∠B+∠DFB=90°.因为∠EFC=∠BFD,所以∠B+∠EFC=90°.要使CE 是⊙O的切线,则CE⊥OC,所以∠OCE=90°,所以∠OCB+∠ECF=90°,所以∠ECF=∠EFC.其他选项无法推出∠OCE=90°. 4. ∠TAC=∠B(答案不唯一) 或 提示：分两种情况：①如图1，当⊙P与菱形 ABCD 的边 AD,AB 相切时,由题意,得PM⊥AD.因为四边形 ABCD 是菱形,∠BAD= 60°,所以 因为M是线段AD的中点，所以 在 Rt△APM 中,PM= 由勾股定理，得 即 所以 ②如图2,当⊙P与菱形ABCD 的边CD,BC 相切时,连接BD交AC 于点O,过点 P 作PE⊥CD 于点E,过点M 作MF⊥AC 于点F.易知E 为切点,则 PE=PM,设PE=PM=x,因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,OA=OC.因为∠DAC=∠DCA=30°,所以 2PE=2x,所以 所以 在Rt△PMF 中,由勾股定理，得 即 解得 或 (舍去)，所以 综上所述，AP 的长为 7. 证明:(1) 因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC.因为 AB=AD,所以∠ADB=∠ABD.又因为∠ADB =∠ACF,所以∠ACF=∠ABD,所以∠ACB-∠ACF=∠ABC-∠ABD,即∠BCF=∠CBF,所以CF=BF. (2)如图，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GF.因为 CG 为⊙O 的直径,所以∠GFC=90°,所以∠G+∠GCF=90°.因为∠CDB=∠G,所以∠CDB+∠GCF=90°.又因为 CD=CB,所以∠CDB=∠CBD, 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 因为 CF=BF,所以∠BCF=∠CBD,所以∠BCF = ∠CDB, 所 以∠BCF +∠GCF = 90°,所以∠BCG = 90°,所以CG⊥BC,且CG 为⊙O 的直径,所以 CB是⊙O的切线. 【拓展提优】 1. C 提示:连接AF,DE.因为四边形ABCD为矩形,所以AB=CD,AD∥BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.所以AF₁,DE 均为直径,且其交点为圆心O,故①错误,②正确.连接AG,DG,OG.因为BG= CG,AB = CD,∠B =∠C=90°,所以△ABG≌△DCG,所以AG=DG,因为OA=OD,所以OG垂直平分AD.因为 AD∥BC,所以OG⊥BC,所以BC与⊙O相切,故③正确. 2. B 提示:如图,连接OE,作OH⊥B'C 于点 H,则∠OEB'=∠OHB'=90°.由旋转的性质,得∠B'=∠B'CD'=90°,AB=CD=10,BC=B'C=8,所以四边形OEB'H 是矩形,OE=OD=OC=5.所以B'H=OE=5,所以CH=B'C-B'H=3.在Rt△OHC中,由勾股定理,得 4.所以B'E=OH=4,,则A'E=A'B'-B'E=10-4=6. 3. A 提示:连接CO,DO.因为 PC与⊙O 相切于点C,所以∠PCO=90°.易证△PCO≌△PDO(SSS),所以∠PCO=∠PDO=90°,所以 PD 与⊙O 相切,故①正确.由①,得∠CPB=∠DPB.易证△CPB≌△DPB(SAS),所以 BC=BD,所以 PC=PD= BC=BD,所以四边形 PCBD是菱形,故②正确.连接AC.因为 PC=CB,所以∠CPB=∠CBP.因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°.由∠PCO=∠BCA=90°,易证△PCO≌△BCA(ASA),所以PO=AB,故③正确.因为 PC=BC,OB=OC,所以∠BPC=∠PBC=∠OCB.因为∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°,所以3∠BPC+∠PCO=180°,所以∠BPC=30°.所以∠PCB=180°-∠BPC-∠PBC=120°.所以∠PDB=∠PCB=120°,故④正确. 4. 45°或135°提示:若点A'在第一象限,如图1,设⊙A'与y轴相切于点B,连接OA',BA',则 OB⊥A'B,所以∠A'BO=90°.因为⊙A 的半径为1,点 所以 由旋转，得OA'=OA= 所 以 所以A'B=OB,所以∠BOA'=∠BA'O = 45°, 所 以 a =∠AOA'= ∠AOB-∠BOA'=45°.若点A'在第二象限,如图2,设⊙A'与y轴相切于点 C,连接OA',CA',则OC⊥A'C,所以∠A'CO=90°.因为 所以 所以A'C=OC,所以 所以a= 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 提示:如图,过点 A 作AH⊥BD,交 BD所在直线于点 H，延长 DB 交 y轴于点E.当⊙A与直线BD 相切时,AH=OB=t.因为△BCD为等边三角形,所以∠DBC=60°,所以∠OBE=60°,所以. 在Rt△OBE 中, 在 Rt△AHE 中,AE=2AH=2t.因为点 所以OA= 因为OA+OE=AE,即 所以 6. (1)证明:如图1,连接OB.因为AC 是⊙O的直径,所以∠ABC=∠DBC=90°.因为 M为CD 的中点，所以 因为OB = OC, OM = OM, 所 以 △OBM ≌△OCM,所以∠OBM=∠OCM.因为MC 是⊙O 的切线,所以∠OCM = 90°, 所以∠OBM=90°,又因为OB 是⊙O 的半径,所以BM与⊙O 相切. (2) 解:如图2,当点 F 在 上时，连接OF₁,交AB 于点G.因为∠F₁BA=15°,所以 因为∠BAC=60°,所以∠AGO=90°,所以OF₁⊥AB.因为直径AC=4,所以AO=2,所以 所以 所以 当点 F 在 上时,过点 F₂作F₂H⊥AB 于点H, F₂N ⊥OG 于点 N,所以四边形F₂HGN 是矩形.在 Rt△F₂NO 中, 2，因为 所以 所以 所以 所以ON=1,所以 综上所述，点F 到直线AB 的距离为2- 或 课时训练23 直线与圆的位置关系(4) (时间:35 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1.(2024 南京市联合体期中)如图,已知 PA,PB 是⊙O的两条切线，A，B 为切点，线段OP 交⊙O 于点 M.给出下列四种说法：①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆；④点 M 是△ABP 的内心.其中所有正确说法的个数是 ( ) A.1 B.2 C. 3 D. 4 2. 如图,在4×4的正方形网格中,点A,B,C,D，O均在格点上，则点O是 ( ) A. △ACD的外心 B. △ACD的内心 C. △ABC的外心 D. △ABC的内心 3.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走 6 里到达树下，则该城堡的外围直径为 里. 4.(2024 徐州市期中)如图,P 是⊙O 外的一点,PA,PB 分别与⊙O 相切于点 A,B,C是劣弧AB 上的任意一点，过点 C 的切线 分别交 PA,PB 于点D,E.若 PA=4,则△PED 的周长为 . 5.如图,点 P 为△ABC 的内心,经过点 P 的线段分别与AC,BC 相交于点 D,E.若CD=CE=4,DE=2,则点 P 到AB 的距离为 . 6.如图，点O，I 分别是锐角三角形ABC 的外心、内心.若∠CAB=6∠OAC=48°,则∠BCI= °. 7. 如图,已知△ABC. (1)求作△ABC 的内心E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2) 在(1)的条件下,若∠C = 78°,求∠AEB 的度数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 拓展提优 1. 如图,点O 是△ABC 的内心,也是△DBC的外心.若∠A=84°,则∠D 的度数为 ( ) A. 42° B. 66° C. 76° D. 82° 2. 如图,AC 是矩形ABCD 的对角线,⊙O 是△ABC 的内切圆,E 是边 AD 上一点,连接CE.将△CDE 绕点C逆时针旋转,当CD落到对角线AC 上时，点E 恰与圆心O重合.已知AE=6，则下列结论不正确的是() A. BC+DE=AC B. ⊙O的半径是2 C. ∠ACB=2∠DCE D. AE=CE 3.(2024 南京市鼓楼区期中)如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形,且 BC=3,AD=5,若四边形 ABCD 的面积等于15,则⊙O的半径等于 . 4.(2024 盐城市大丰区期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC 的内切圆⊙O 与AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,若⊙O的半径为2,AD·DB=24,则AB 的长为 . 5.如图,AB为⊙O 的直径,AO=4,点 C 在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P 为半圆上任意一点,过点 P 作PE⊥OC 于点 E,设 的内心为点M,连接OM,MP. (1) 求 的度数. (2)随着点P 在半圆上位置的改变， 的大小是否改变?请说明理由. 6. (1) 如图1,已知四边形ABCD 内接于⊙O,四条边长满足：AB+CD≠BC+AD.若 的平分线 AE 交⊙O 于点 E, 的平分线CF 交⊙O于点 F，连接EF.求证:EF是⊙O的直径. (2)如图2，已知四边形ABCD 既有外接圆，又有内切圆，它的内切圆⊙O与AB,BC,CD,AD分别相切于点 E,F,G,H.连接EG,FH 交于点 P.求证:EG⊥FH. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【基础巩固】 1. D 2. A 3.9提示：设该圆形域堡的外围半径为 r里.由题意可知，向树的方向走的那条路线与该圆形城堡相切，所以由切线长定理可知，出南门向正东走的路程为9里，由等积法，得 解得 所以该城堡的外围直径为9里.(也可由勾股定理列方程解之) 4.8 提示:连接CP,PB,过点 P 作PH⊥BC 于点H,PG⊥AB 于点G.因为 P 为△ABC 的内心,所以CP平分∠DCE,PB 平分∠ABC,所以PH=PG.因为 CD=CE=4,所以 PD=PE=1,CP⊥DE,所以 因为 所以 即点P到AB 的距离PG为 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 6. 25 提示:连接OC.因为∠CAB=6∠OAC=48°,所以∠OAC=8°.因为点O是△ABC 的外心,所以OA = OC, 所以∠OCA = ∠OAC = 8°, 所 以∠AOC=180°-∠OCA - ∠OAC= 164°,所以 因为∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°, 所以∠ACB=180°=∠CAB=∠ABC=50°.因为点 I是△ABC 的内心,所以 7.解：(1)如图所示，点E 即为所求. (2) 连接 AE.因为∠CAB+∠CBA +∠ACB=180°,所以∠CAB +∠CBA =180°-∠ACB.因为点 E 是△ABC 的内心,所以AE平分∠CAB,BE平分∠CBA,所以 所以 因为∠ACB=78°,所以 所以∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)=180°-51°=129°. 【拓展提优】 1. B 2. D 提示:设⊙O 与边AC,AB,BC 的切点分别为F,G,H,⊙O的半径为r,连接OG,OH.易证四边形 BGOH 是正方形,所以OG=OH=BG=BH=OF=r.由旋转的性质,得OF=ED=r,CF=CD,∠FCO=∠DCE,所以∠ACB =2∠DCE. 因为BC=AD,所以BC-BH=AD-ED,即CH=AE.由切线长定理,得CH=CF,AF=AG,所以AB=CD=CF=CH=AE=6,AF=AG=6-r,所以AC=12-r.在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 即 解得 r=2.所以BC=8,AC=10.所以BC+DE=AC.⊙O的半径是2,所以选项A,B,C正确.因为AE=CD,CD<CE,所以AE<CE,所以选项D不正确. 提示:如图,设点E,F,G,H 为四边形ABCD与⊙O 的切点,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH,则OE⊥BC,OF⊥CD,OG⊥AD,OH⊥AB,由切线长定理,得BE=BH,CE=CF,DF=DG,AH=AG.因为 BC=3,AD=5,所以AB+CD=8.设OE=OF=OG=OH=x,因为四边形ABCD的面积等于15，所以 即 BC+CD+AD)=15,所以 所以 4.10 提示：如图，连接OE，OF，由题意可知，四边形ECFO是边长为2的正方形.因为△ABC 的内切圆⊙O与AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,所以AD=AF,BD=BE.设AD=AF=a,BD=BE=b,则 AC=a+2,BC=b+2,AB=a+b.因为 所以 b)²,所以4a+4b+8=2ab,又因为AD·DB=ab=24,所以2ab=48,所以4(a+b)=48-8=40,所以a+b=10,所以AB=10. 5. 解:(1) 因为 PE⊥OC,所以∠PEO=90°,所以∠EOP+∠EPO=90°.因为点 M 为△OPE 的内心,所以 所 以∠MOP + 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 所以 (2)∠CMO 的大小不变.理由如下: 连接 CM. 在 △CMO 和 △PMO 中, 所以△CMO≌△PMO, 所以∠CMO=∠PMO=135°,即∠CMO的大小不发生改变. 6.(1)证法1:因为AE 平分∠BAD,CF平分∠BCD,所以所以 即 所以 与 均为半圆，所以 EF 是⊙O 的直径. 证法2：如图1，连接 AF.因为四边形ABCD 内 接于 ⊙O, 所 以 ∠BAD +∠BCD=180°.因为 AE 平分∠BAD,CF平分∠BCD,所以 所以∠1+∠2=90°.由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠3，所以∠1+∠3=90°,即∠EAF=90°.所以EF 是⊙O的直径. 证法3：如图2，连接FD，ED.因为四边形ABCD 内 接于 ⊙O, 所 以 ∠BAD +∠BCD=180°,由题意,得 由同弧所对的圆周角相等,得∠EFD=∠1,∠FED=∠2,所以 所以 所以EF 是⊙O的直径. (2) 证明:如图3,连接OE,OF,OG,OH,HG.因为⊙O是四边形ABCD 的内切圆,所以 AD.所以 所以在四边形EAHO 中, 同理可证 180°.因为四边形ABCD 有外接圆，所以∠A+∠C=180°,所以∠EOH=∠C,所以 又因为 所以∠FHG+∠EGH=90°.所以∠HPG=90°,即EG⊥FH. 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $