重难点05：字母表示数的规律探究同步培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上学期

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 字母表示数的规律探究 题型一、用字母表示数的规律 【例1】有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【例2】观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 【例3】下列是一组按一定规律排列的数： ，则第2019个数是（    ） A． B． C． D．4039 【例4】按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 【例5】如图，将，，，，，，，按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例6】观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ．        2        4     6         8    10       12       14     16 ……… 题型二、字母表示数学规律 【例7】观察下列各式： … 猜想： ． ∴ ． 【例8】观察下列等式，找规律： ①；②；③；④． (1)第5个等式为_____ (2)第100个等式为_____ (3)第个等式怎么表示？请用代数式的运算说明它的正确性． 【例9】根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D． 【例10】已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 【例11】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ． (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 题型三、字母表示图形的规律 【例12】学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有（    ）个座位。 A．a＋2n B．a＋2（n－1） C．2n D．a＋2n＋2 【例13】如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第n个图形用的火柴棒的根数是（    ） A． B． C． D． 【例14】下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……第9个图案中基础图形个数为 ． 【例15】如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第一个图形有4个“星星”，第二个图形有7个“星星”，第三个图形有10个“星星”，……，从不同的角度观察图形的排列规律，可以得到不同的代数式表示形式，下列不能表示第n个图形中“星星”的个数的是（   ） A． B． C． D． 【例16】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为 ． 【例17】“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形共有小正方形16个，第2个图形共有小正方形23个，第3个图形共有小正方形30个，…，依照此规律，第200个图形中共有小正方形（   ） A．1309个 B．1409个 C．1509个 D．1609个 【例18】如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【例19】下图是一组有规律的图案，图中有个小黑点，图中有个小黑点．图中有个小黑点，图中有个小黑点，，按此规律图中的小黑点个数为（    ） A． B． C． D． 【例20】如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ） A．45 B．56 C．58 D．60 【例21】下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 【例22】如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 【例23】用边长1厘米的小正方形像下面这样拼成长方形。 （1）像这样，用5个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？ （2）像这样，用m个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？ 【例24】将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 【例25】如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有 个等边三角形． 【例26】观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【例27】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 【例28】如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 【例29】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 【例30】如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【例31】将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． （1）如果剪n次共能得到 个等边三角形． （2）若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 字母表示数的规律探究 题型一、用字母表示数的规律 【例1】有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 【例2】观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 本题分别归纳出该组数字分子、分母的规律，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， ……， ∴第个数是， 故选：B； 【例3】下列是一组按一定规律排列的数： ，则第2019个数是（    ） A． B． C． D．4039 【答案】B 【分析】找出数据的排列规律即可得． 【详解】解：根据题意可知数据的排列规律是，…，所以第2019个数是， 故选B． 【点睛】本题考查了数字排列的规律，解题的关键是找出所给数据的排列规律． 【例4】按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【解题过程】 解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 【例5】如图，将，，，，，，，按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键时知道横、竖、两个圈的和都是． 根据八个数的和是4，得出两个圈的和是，横、竖的和都是，列式求解即可． 【详解】解：设小圈上的空白处为，大圈上的空白处为， ， 横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和都是， ，解得：， ，解得：， ，得：， 当时，，则， 当时，，则， 故选B． 【例6】观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ．        2        4     6         8    10       12       14     16 ……… 【思路点拨】 本题主要考查了数字类的规律探索，观察每一行最后一个数可得规律第n行最后一个数为，据此求出第8行最后一个数为64，再根据第9行第9个数与第8行最后一个数相隔9，即可得到答案． 【解题过程】 解：由题意得，第一行最后一个数为， 第二行最后一个数为， 第三行最后一个数为， 第四行最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为， ∴对应的数为， 故答案为：． 题型二、字母表示数学规律 【例7】观察下列各式： … 猜想： ． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，由所给的等式可得出第n个等式为：，再将代入计算即可得解． 【详解】解：∵， … ∴第n个等式为：， ∴ ． 故答案为：． 【例8】观察下列等式，找规律： ①；②；③；④． (1)第5个等式为_____ (2)第100个等式为_____ (3)第个等式怎么表示？请用代数式的运算说明它的正确性． 【答案】(1) (2) (3)，证明过程见详解 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示的计算方法，找出规律是关键． （1）根据材料提示求解； （2）找出规律即可求解； （3）根据材料提示，找出规律即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为：； （2）解：第100个等式为：； （3）解：第个等式为：， 证明：等式左边 ， 等式右边 ， 等式左边等式右边， ∴代数式正确． 【例9】根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【思路点拨】 在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是：第个图：；由，可求出，代入的规律即可求解． 【解题过程】 解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 【例10】已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 【答案】(1) (2)； (3)14；30；338350． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，图形变化类，通过观察归纳出各图形的正方形个数所符合的规律是解题的关键，同时，也考查了代数运算的能力． （1）直接使用给定的公式来计算从1到10的所有整数的平方和． （2）通过计算从1到60的所有整数的平方和，减去从1到32的所有整数的平方和来即可． （3）观察图形规律，找出图n中正方形的数量，然后将代入公式中计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：根据图形，图1中有1个正方形，可以表示为 ； 图2中有5个正方形，可以表示为 ； 图3中有 个正方形； 图4中有 个正方形； 因此，图n中有正方形的数量为 ． 图100中正方形的数量为： 故答案为：14；30；338350． 【例11】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ． (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）根据数字的变化规律，直接写出第5个等式； （2）根据数字的变化规律，直接写出第n个等式，再证明即可． 【详解】（1）解：根据数字的变化规律可知，第5个等式为： ； （2）解：第n个等式为：， 证明如下： 左边 ， ∴左边右边， ∴． 题型三、字母表示图形的规律 【例12】学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有（    ）个座位。 A．a＋2n B．a＋2（n－1） C．2n D．a＋2n＋2 【答案】B 【分析】分析题目，第一排有a个座位，以后每次多增加2个座位，则第n排比第一排多了（n－1）个2，据此可知第n排有[a＋（n－1）×2]。 【解答】a＋（n－1）×2＝[a＋2（n－1）]个 学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有[a＋2（n－1）]个座位。 故答案为：B 【例13】如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第n个图形用的火柴棒的根数是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【详解】解：因为第一个三角形需要三根火柴棍，再每增加一个三角形就增加2根火柴棒， 所以有n个三角形，则需要根火柴棍． 故选：B． 【例14】下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……第9个图案中基础图形个数为 ． 【分析】本题考查了图形类规律，根据图形找到前几个图形的规律，进而即可求解． 【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，即， 第2个图案由7个基础图形组成， 第3个图案由10个基础图形组成， …， 第个图案中的基础图形个数为， 即当时，， 故答案为：28． 【例15】如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第一个图形有4个“星星”，第二个图形有7个“星星”，第三个图形有10个“星星”，……，从不同的角度观察图形的排列规律，可以得到不同的代数式表示形式，下列不能表示第n个图形中“星星”的个数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个“星星”，进而列出代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个“星星”， ∴第n个图形中“星星”的个数的是， ∵，， 故选A． 【例16】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为 ． 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2025个图中共有正方形的个数为6073． 故答案为：6073． 【例17】“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形共有小正方形16个，第2个图形共有小正方形23个，第3个图形共有小正方形30个，…，依照此规律，第200个图形中共有小正方形（   ） A．1309个 B．1409个 C．1509个 D．1609个 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．根据图形数量的变化寻找规律得出第n 图形中小正方形的个数，然后再求出时，代数式的值即可． 【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形， 第二个图形可看作是个正方形， 第三个图形可看作是个正方形， ∴第个图形的小正方形数量为：； ∴时，， ∴第200个图形中共有小正方形1409个． 故选：B． 【例18】如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 【例19】下图是一组有规律的图案，图中有个小黑点，图中有个小黑点．图中有个小黑点，图中有个小黑点，，按此规律图中的小黑点个数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律． 【解题过程】 解：观察图形可知， 第一个图有个小黑点， 第二个图有个小黑点， 第三个图有个小黑点， 第四个图有个小黑点 ， 故依此类推，第个图有个小黑点， ∴第九个图有个小黑点 ， 故选：． 【例20】如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ） A．45 B．56 C．58 D．60 【思路点拨】 本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律． 根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，即可解答第7个图形中的石子数． 【解题过程】 解：观察图形的变化，可知， 第1个图案要用的石子数为；； 第2个图案要用的石子数为；； 第3个图案要用的石子数为；； 第4个图案要用的石子数为；； …； 第7个（n为正整数）图案要用的石子数为，． 故选：B． 【例21】下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 【思路点拨】 本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律． 根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【解题过程】 解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， 图n中点的个数为， 所以图10中点的个数为， 故选：D． 【例22】如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案找出规律即可． 【详解】 解：第1个图案中有：个， 第2个图案中有：个， 第3个图案中有：个， 第4个图案中有：个， …… ∴第n个图案中有个； 故答案为： 【例23】用边长1厘米的小正方形像下面这样拼成长方形。 （1）像这样，用5个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？ （2）像这样，用m个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？ 【答案】（1）12厘米   （2）（2m＋2）厘米 【分析】（1）从图中可知：用小正方形拼成的这样长方形的长＝正方形的边长×正方形的个数，长方形的宽＝正方形的边长，据此分别求出用5个小正方形拼成的长方形的长和宽；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可解答。 （2）用m个小正方形拼成的长方形的长＝1×m＝m（厘米），宽＝1厘米，据此再求出周长即可。 【解答】（1）（1×5＋1）×2 ＝（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 答：像这样，用5个小正方形拼成的长方形的周长是12厘米。 （2）（1×m＋1）×2 ＝（m＋1）×2 ＝（2m＋2）厘米 答：像这样，用m个小正方形拼成的长方形的周长是（2m＋2）厘米。 【例24】将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，得出第次对折，把纸分成部分，得到条折痕，即可求解． 【详解】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，得到1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，得到3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，得到7条折痕， 第4次对折，把纸分成16部分，得到15条折痕， …… 以此类推，第次对折，把纸分成部分，得到条折痕， 故答案为： 【例25】如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有 个等边三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：图形的变化．根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个三角形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的三角形个数为：． 【详解】解：图①中共有个等边三角形， 图②中共有个等边三角形， 图③中共有个等边三角形， 故图⑤中共有个等边三角形， 图n中共有个等边三角形． 故答案为：． 【例26】观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4个小黑点，进而求出第n个图小黑点数量的代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形有1个小黑点，后一个图形比前一个图形多4个小黑点， ∴第n个图小黑点数量的代数式为； 故选D． 【例27】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 【答案】 26 【分析】本题考查了用代数式表示图形的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察可知，后一个图案比前一个图案多3个涂有阴影的小正方形，然后写出第8个，第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得， 第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第8个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故答案为：26，． 【例28】如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 【答案】23；3＋5n 【分析】观察可知规律，图一黑色正方形有1个，白色正方形有个；图二黑色正方形有2个，白色正方形有个；图三黑色正方形有3个，白色正方形有个；图四黑色正方形有4个，白色正方形有个即第n幅图黑色正方形有n个，白色正方形有个。 【解答】图四白色正方形的个数： （个） 黑色正方形个数 1 2 3 4 n 白色正方形个数 8 13 18 23 【例29】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化规律，列代数式，有理数的乘方运算，观察出后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍是解题的关键，根据挖去的规律，每挖去一次，原来的一个三角形剩下3个，即后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍，根据此规律写出第个图形中剩下的三角形的个数，进而即可得解． 【详解】解：第一次挖去后剩下的三角形的个数为：3， 第二次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第三次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第四次挖去后剩下的三角形的个数为：， ， 第次挖去后剩下的三角形的个数为：， ∴第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的，三角形个数为， ∴， 故答案为：． 【例30】如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 【例31】将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． （1）如果剪n次共能得到 个等边三角形． （2）若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【思路点拨】 本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； ②运用①中的结论进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：①因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $