精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2025～2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025~2026学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，一一判断即可． 【详解】解：A．本选项是关于的三次函数，故本选项不符合题意； B．本选项是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； C．当时，本选项是关于的二次函数，故本选项不符合题意； D．本选项是关于的二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴． 【详解】解：， 令，则或， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：D． 3. 关于抛物线y＝－x2－2x＋3，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是（－1，4） C. 当x≥－1时，y随x的增大而增大 D. 对称轴是直线x＝－1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线y＝－x2－2x＋3＝−（x＋1）2+4， ∴该函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意， 顶点坐标是（-1，4），故选项B正确，不符合题意， 当x≥－1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，符合题意， 对称轴是直线x=﹣1，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，把二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质解答． 4. 二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律先把函数y＝x2－1反方向平移找出原函数进行解答即可． 【详解】解：先把二次函数y＝x2－1的图象函数图象向左平移2个单位，向上平移2个单位得出y＝（x+2）2－1+2，整理得y＝（x+2）2+1， ∴二次函数y＝x2－1的图象可由二次函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．用平移规律“左加右减，上加下减”，要注意正用与逆用平移求函数解析式的方法． 5. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 6. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小． 根据在反比例函数中，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以解决． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小， 反比例函数的图象上有两点，， 故选：B 7. 观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图表法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解． 【详解】解：∵时，的值0.09最小， ∴一元二次方程的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程（m为常数）有两个不相等的实数根，分别为、，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴：，即，可判断①的正误；根据二次函数的顶点坐标公式，即将代入可判断②的正误；根据，，将其中一个用代换，可判断③的正误；根据直线：，是过，且随增大而减小的一条直线，如图1，由图象可知，当时，，移项可判断④的正误；由二次函数的对称轴和一元二次方程根与系数的关系可得方程的两根之和为，因为，即，代入，可判断⑤的正误． 【详解】，即 ，故①错误， ， ，，故②正确， ，故③正确， 如图： 设直线，则直线是过，且随增大而减小的一条直线， 由图像可知，当时， ， 即，故④正确， 方程（为常数）即有两个不相等的实数根，分别为、， ， ，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像开口方向、增减性、对称轴、最值及二次函数与不等式、函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，注意利用数形结合的思想会更方便． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式解析式直接得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为（3，-1）， 故答案为：（3，-1）． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式的特点，熟记函数解析式的各种形式的构成特点是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 13. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴且， ∵，， ∴且， 解得． 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15. 函数是关于的二次函数，且当时，的值随的值的增大而增大，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了次函数的定义，二次函数的增减性，解题的关键是根据已知得到关于的一元一次不等式和一元二次方程．根据二次函数的定义可知，由时，随增大而增大可知，从而可求得的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：或，且， 当时，的值随的值的增大而增大， ，即， ． 16. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式．根据题意选择合适的解析式的形式是解题的关键． 由顶点设抛物线的顶点式，然后将代入求解，进而可得抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为． 17. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【答案】（1）； （2） 解：二次函数作图如下： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后画出函数图象找出自变量x的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法． （1）根据二次函数顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标； （2）确定顶点、与坐标轴交点，再利用描点法画出函数图象即可； （3）根据（2）中函数图像变化趋势写出答案即可． 【小问1详解】 因为二次函数， 所以对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：；． 【小问2详解】 当时，， 解得或， 则二次函数与轴的交点坐标为， 当时，， 则二次函数与y轴交点为 【小问3详解】 由（2）知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 19. 如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？ 【答案】窗户的长为m，宽为1m． 【解析】 【分析】光线最多就是面积最大，可设宽为x m，则长为(6-3x)÷2=(3-x)m，表示出面积，运用函数性质求解． 【详解】解：设窗户的宽为xm，则长为(6﹣3x)÷2＝(3x)m， 窗户的面积S＝x(3x)+3x， 当x＝1时，S有最大值为， 即窗户的长为m，宽为1m． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解． 20. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得， ∴交点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得或， ∴另一个交点为， 观察图象，当时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴，即． 21. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 【答案】（1）； （2）的最大值为4，此时点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A坐标，进而求出直线解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表示出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解；把代入中得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4， ∴的最大值为4，此时点P的坐标为． 22. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 【答案】(1)y＝﹣x+80；(2)增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克；(3)当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【解析】 【分析】(1)根据该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示即可求解； (2)根据(1)中求得的函数关系式，代入7000千克，即可求解； (3)确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义. 【详解】解：(1)根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系， 设函数关系式为y＝kx+b，将(12，74)、(28，66)代入关系式可得 解得k＝﹣，b＝80， 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+80. (2)根据题意可列方程(-x+80)(x+80)=7000， 化简得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60， 因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2＝60不符题意舍去， 答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)根据题意可列函数关系式w＝(﹣x+80)(x+80)＝﹣(x﹣40)2+7200. 令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160， 所以当x＝40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y＝﹣x+80＝60 答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围. 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1）对称轴是直线 （2）；， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 关于抛物线y＝－x2－2x＋3，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是（－1，4） C. 当x≥－1时，y随x的增大而增大 D. 对称轴是直线x＝－1 4. 二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（　　） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程（m为常数）有两个不相等的实数根，分别为、，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 二次函数的顶点坐标为________． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 13. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 14. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15. 函数是关于的二次函数，且当时，的值随的值的增大而增大，求的值． 16. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求抛物线的解析式． 17. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 19. 如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？ 20. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 21. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 22. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $