第一次月考模拟押题卷(进阶AB卷）-2025-2026学年九年级上学期数学教学同步讲练（苏科版2012）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 进阶A卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 10．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是 ． 15．（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是 （填写序号）．    16．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 19．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G． (1)求证 (2)若求的度数． 22．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 24．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， ，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求扫过的面积是多少？（结果保留）． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 26．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点B落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (2)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长． 27．（2020·江苏连云港·二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2＋x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧） （1）则m＝　 　，n＝　 　． （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C2于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M． ①求圆心M的坐标； ②试直接写出△OA′C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A′、C除外）． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 进阶B卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个实数根，可得：，又因为一元二次方程的二次项系数不能为，可得：实数的取值范围是且． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 又二次项系数不能为， ， 实数的取值范围是且． 故选： C． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程． 设这批椽的数量为株，可得一株椽的价钱为文，根据题意列方程即可． 【详解】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， 依题意得， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 【答案】D 【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选：D 6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠DAE=∠DCF， ∵∠AED=∠CEG， ∴∠ADE=∠CGE=90°， ∴A、C、G、D四点共圆， ∴点G的运动轨迹为弧CD， ∵AB=4，AB=AC， ∴AC=2， ∴OA=OC=， ∵DA=DC，OA=OC，   ∴DO⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴点G的运动轨迹的长为 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）设，是方程的两个根，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，，掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，得到，，再计算的值，然后利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，再根据经过两轮传染后有81人患病列方程即可． 【详解】解设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染， 经过两轮传染后有81人患病， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边中,，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接，取的中点E，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理以及三角形三边关系的应用，解题的关键是通过构造三角形中位线，将动点问题转化为定线段与定长线段的和差问题，进而求解线段的最大值． 取的中点F，连接、、；利用三角形中位线定理得为的一半是圆的半径，长度固定）；根据等边三角形性质及勾股定理计算的长度；根据“”，当B、F、E三点共线时，取最大值，即与的和，代入数值计算即可． 【详解】解：取的中点F，连接、、． ∵E是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是等边三角形，，F是的中点， ∴． 在中，由勾股定理得：． ∵点E到点F的距离恒为固定）， ∴当B、F、E三点共线时，取得最大值，最大值为． ∴最大值． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析角的取值范围． 先根据圆周角定理，结合点在扇形内的位置，确定的取值范围． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 当点在优弧上时，； 当点在扇形内（不包括优弧上的点）时，大于，小于， 所以的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，记为，连接，可求，则点在以点为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度，由圆周角定理得：，与，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：作的外接圆，记为，连接， 由题意得，为直径，则， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在以点为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度， 由圆周角定理得：， ∵，， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，求弧长，三角形的内角和定理和角平分线的定义，难度较大，熟练掌握知识点，识别“定弦定角”模型是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利多少元？ (2)若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)1050元 (2)20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 答：若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利元； （2）解：设每件衬衫应降价元， 根据题意，得：， 整理，得：， 分解因式，得：， 解得：，， 要扩大销售，减少库存， 应舍去， ， 答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 【答案】(1)购买门票共需费用1540元 (2)共有25名师生去该湿地自然保护区旅游 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出算式和方程是解题的关键． （1）先计算出按照标准2每张门票的费用，若小于54，则每张门票价格为55元，若不小于55，则每张门票的费用为计算的结果，据此求出总费用即可； （2）设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游，可求出，据此根据标准后表示出每张门票的费用，进而根据总费用为1500元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴每张门票的价格为55元， ∴总费用为元， 答：购买门票共需费用1540元； （2）解：设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游， ∵， ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：共有25名师生去该湿地自然保护区旅游． 21．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用垂径定理，得到，证明，得到，即可． 【解答】证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 24．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)135° (2) 【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径、是的弦，给出下列信息： ①于点；②平分；③切于点． 请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是________，结论是________(填序号)． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆的性质，切线的判定与性质．选择任意两条信息作为条件，都可以得到第三条信息．连接，，．若平分，则；若于点，则，；若切于点，则，；根据以上信息即可作答． 【详解】（1）选择的补充条件是①②，结论是③． 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵是圆的半径， ∴切于点． （2）选择的补充条件是①③，结论是②． 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）选择的补充条件是②③，结论是①． 证明：连接， ∵， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴，， 即于点． 26．（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质．解题关键是利用勾股定理及逆定理证明切线，通过证明三角形相似并结合线段关系求解线段长度． （1）连接，先根据已知线段长度求出及圆半径$OE$等相关线段长，再在和中用勾股定理求出、，最后依据勾股定理逆定理证明，从而证得为的切线． （2）连接，利用是中点得出，结合及对顶角相等，证明，根据相似比设未知数表示与，由长度求出未知数，进而求得的长． 【详解】（1）连接， ∵，，， ∴， ∴半径， ， ． ∵， ∴ 在中， ． 在中， ． ∵， ∴，，． ∵， ∴在中，，即． ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：连接， ∵为中点，为直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则． ∵，即， ． ， 将代入可得： ． 27．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)1， (2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切 (3)或 【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：； （2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可； （3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； 如图1，过作于， 中， ，， ， 故答案为：1，； （2）如图2，过作于， 同理（1）得：， 当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为6，半圆的半径为6， 且圆心又在直线上， 与重合， 即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了，所求运动时间； 如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于， 在中，，则， 即与半圆所在的圆相切，此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图2， 重叠部分的面积； ②当半圆与相切于时，如图4，连接， ， 与重合，与重合， ， ， ， 过作于， ， ， 由勾股定理得：， ， 此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 进阶B卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）设，是方程的两个根，则等于 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边中,，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接，取的中点E，连接，则线段的最大值为 ． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利多少元？ (2)若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 21．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 23．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径、是的弦，给出下列信息： ①于点；②平分；③切于点． 请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是________，结论是________(填序号)． 26．（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 27．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 进阶A卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确； ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误； ④、是的两条弦，被垂直平分， 过圆心，即为直径， 则，正确． 综上所述，说法中正确的个数是2个． 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理，根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相切得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相切， ， ， 解得， 故选：C． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，连接，交于，则，则，，，，由勾股定理得，，，则，，，由勾股定理得，，由，可得，则，如图，作于，于，则，由勾股定理得，则，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，由对称性可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接，交于，则， ∵正六边形中，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 如图，作于，于， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由对称性可知，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积．熟练掌握正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式且，求出结果即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 10．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 【答案】21L 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，则，可得的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键熟练地运用中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的性质求解．根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵于点，， ， 是直径， ， 在中，，，由勾股定理得： ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 15．（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是 （填写序号）．    【答案】①③/③① 【分析】补全缺失的A角，连接、、、，根据正八边形可得，，先得出点O在线段的垂直平分线上，结合对称可得垂直平分线段，可得①正确；故有②错误；先根据对称性得出与在同一条直线上，由四边形、四边形是等腰梯形，可得，进而有，则判断③正确，根据等腰直角三角形可得，再证明，即有，进而可判断故④错误，问题得解． 【详解】如图，补全缺失的A角，连接、、、，    ∵多边形是正八边形， ∴正八边形是称轴图形，且，， ∴四边形、四边形是等腰梯形， ∵以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵在正八边形中，所在直线是正八边形的对称轴， ∴垂直平分线段， ∴点O在上，故①正确； ∴点O不在上，故②错误； ∴点O为与的交点， ∵正八边形是关于对称的轴对称图形， ∴点A、点O、点D三点共线， ∴与在同一条直线上， ∵四边形、四边形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且，故③正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，充分利用正八边形是轴对称图形，是解答本题的关键． 16．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设分别与交于、，延长交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图设分别与交于、，延长交于点． 将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移． ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积、平移的性质、勾股定理、扇形以及三角形的面积公式等知识点，正确理解题意得到是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设， 可得原方程为， 解得， ， ， 即的值为3． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用换元法是解本题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 19．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2）由是方程的根， ， ， 解得． （3）， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设运动秒钟后的面积为，利用割补法将的面积用含x的式子表式出来，列方程，解出x即可． （2）为半径的圆正好经过点即为，即，根据勾股定理将、分别用x表示出来，列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为， 则，，，， ， ， ， ，解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理，得：，解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上． 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G． (1)求证 (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出，则，根据等边对等角得出，结合圆的内接四边形的性质，得出，进而得出，根据，则，得出，即可求证； （2）连接，易得，，则，设，则，根据垂径定理和三线合一推出，则，进而得出最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， 解得：， ∴． 22．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）过点作的垂线，交于点，在上取，作的角平分线，交于点，以为圆心，长为半径即可作，由作法可得，则，，满足条件； （2）连接，由（1）可得是等腰直角三角形，得到，，设，利用勾股定理得出，进而求出，再利用弧长公式求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ，， 所作的的劣弧与、所围成图形的周长． 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线和角平分线，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，根据题意正确作图是解题关键． 24．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， ，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求扫过的面积是多少？（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画旋转图形，求解扇形的面积，勾股定理的应用，熟练的画旋转图形是解本题的关键； （1）将点 A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）直接利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为； （2）∵， 如图，扫过的面积为扇形的面积， ∴． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点，根据求出k的值即可得出点M的坐标； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，由此可求出扇形的弧长，进而根据扇形围成圆锥的底面圆的周长为，可得出这个圆锥底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点M，如图所示： 则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，， ∵，， ∴轴， ∴点M的横坐标为， 设点M的纵坐标为k，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点； ∴， ∴的半径是． 故答案为：，； （2）解：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的弧长为：， ∴将扇形围成圆锥的底面圆的周长为， 设这个圆锥底面圆的半径是R， 则， ∴， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆锥的计算，理解三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟练掌握弧长公式，圆的周长公式是解决问题的关键． 26．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点B落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (2)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点在矩形的对称轴上时，先由勾股定理求出，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解；当点在矩形的对称轴上时，先由勾股定理求，再对运用勾股定理建立方程求解； （2）分两种情况进行讨论：当点在矩形的内部，时，当点在矩形的外部，时，分别画出图形，利用勾股定理，矩形的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当点在矩形的对称轴上时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在矩形的对称轴上时，过点作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 同理得：四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上分析可知：或． （2）解：当点在矩形的内部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，或（舍） 即； 当点在矩形的外部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 此时点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，或（舍） 即； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 27．（2020·江苏连云港·二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2＋x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧） （1）则m＝　 　，n＝　 　． （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C2于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M． ①求圆心M的坐标； ②试直接写出△OA′C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A′、C除外）． 【答案】（1）﹣4；﹣1；（2）①(6，2)；②(0，4)或(12，4) 【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标； （2）①根据旋转90°的性质特点可求点A′、B′坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA的长，用待定系数法求抛物线C2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可． ②设⊙M与抛物线C2的交点为P(m，m2﹣3m＋4)．根据PM＝OM，构建方程求解即可． 【详解】解：解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2＋×（﹣4）＝﹣4， ∴点A坐标为(﹣4，﹣4)， 当y＝﹣2时，x2＋x＝﹣2， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6， ∵点A在点B的左侧， ∴点B坐标为(﹣1，﹣2)， ∴m＝﹣4，n＝﹣1． 故答案为﹣4；﹣1； （2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′G⊥x轴于点G． ∴∠BEO＝∠OGB′＝90°，OE＝1，BE＝2， ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB， ∴OB＝OB′，∠BOB′＝90°， ∴∠BOE＋∠B′OG＝∠BOE＋∠OBE＝90°， ∴∠B′OG＝∠OBE， 在△B′OG与△OBE中， ， ∴△B′OG≌△OBE（AAS）， ∴OG＝BE＝2，B′G＝OE＝1， ∵点B′在第四象限， ∴B′(2，﹣1)， 同理可求得：A′(4，﹣4)， ∴OA＝OA′＝＝4＝4， ∵抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过点A′、B′， ∴， 解得：， ∴抛物线C2解析式为：y＝x2﹣3x＋4， ∵直线OB′的解析式为y＝﹣x， 由， 解得或， ∴点C(8，﹣4)， ∵A′(4，﹣4)， ∴A′C∥x轴， ∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4， 线段A′C的垂直平分线为x＝6， ∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为(6，2)， ∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为(6，2)． ②设⊙M与抛物线C2的交点为P(m，m2﹣3m＋4)． 则有（m﹣6）2＋（m2﹣3m＋2）2＝62＋22， 解得m＝0或12或4或8， ∵A′、C除外， ∴P(0，4)或(12，4)． 【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度较大，掌握全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求二次函数、一次函数解析式、三角形外接圆的性质是解题关键． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $