第一次月考模拟押题卷(拔尖AB卷）-2025-2026学年九年级上学期数学教学同步讲练（苏科版2012）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 拔尖A卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 13．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 14．（2022·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 15．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．       16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值：，其中是方程的根． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 19．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 21．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 23．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 24．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 25．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 26．（24-25九年级·江苏·假期作业）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 拔尖B卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的解的情况求参数，解不等式组，根据题意可得，再由得到，则，根据方程的解为整数，得到或或或或，据此可推出的值，根据的值，看方程是否有两个不同的整数解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵x为整数， ∴或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，或，当时，或，当时，（即两个相等的实数根），不符合题意，舍去， ∴这样的P有2个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根与判别式的关系，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、的判别式，无实数根，不符合题意； B、的判别式，有两个相等的实数根，不符合题意； C、的判别式，无实数根，不符合题意； D、的判别式，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，四边形内接于，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．（2024·山东泰安·一模）如图，某玩具品牌标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不规则图形面积的计算，根据圆的对称性可知，图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，可得阴影的面积扇形的面积，据此即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：根据圆的对称性可知，图中三个阴影部分的面积相等， 如图，连接，则， ∴是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：． 【点睛】 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题的关键．根据一元二次方程的解互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其分别代入与，中即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是与， ∴， 解得：， ∴，． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，先利用一元二次方程解的定义得到，则通过降次得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是方程的根， ∴， ∴， ∴， ，是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支， ， 解得：（舍去）， ∴这种植物每个支干长出7个小分支， 故答案为：7． 11．（2023九年级上·江苏南京·竞赛）如图，扇形的圆心角，半径为，正方形内接于该扇形，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理，添加恰当辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作于点H，交于点K，连接，交弧于，证明四边形为矩形，是等腰直角三角形，，设，则，，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于点H，交于点K，连接，交弧于， ∵过圆心，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则，， 在中，， ∴， ∴或（不合题意舍去） ∴的长为， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，污水水面至管道顶部的距离为，则圆形管道的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，勾股定理.过作于，连接，在运用勾股定理建立方程求解. 【详解】解：如图，过作于，连接， ∴，， 在中，， 解得 ∴直径为 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 14．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理．由可知点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆心角和圆周角的关系即可求得． 【详解】解：， ∴点，，在以A为圆心的圆上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】相切或相交/相交或相切 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 【详解】解：，， ， 点在直线上，， ∴点O到直线l的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 16．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（23-24八年级上·江苏扬州·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，正确化简是解题的关键；先把括号内第一个分式约分化简，再计算括号，最后计算除法；由是方程的根得，即，最后整体代入即可求值． 【详解】解： ； ∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴原式． 18．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程∶ (1)； (2)．（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用平方差公式和提公因式的方法进行因式分解即可解答； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 19．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为4，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过根求系数，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握一元二次方程的求解． （1）根据根的判别式列出代数式，利用完全平方公式进行整理，然后可得结论； （2）将根代入原方程即可求出参数，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可． 【详解】（1）证明：由得， ∴这个方程总有两个实数根； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴或 ∴，， ∴m的值为4，方程的另一个根为1． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】(1)见详解 (2)它的另一个根为，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）证明： ， 故该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价4元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到5600元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让顾客得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价4元． 22．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外 (2)5 【分析】 （1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 【详解】（1） 如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2） 在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 23．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 24．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 25．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． 【详解】（1）证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴． 26．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    27．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)证明见解析； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； （2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 拔尖B卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，四边形内接于，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·一模）如图，某玩具品牌标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，是方程的两个根，则代数式的值是 ． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 11．（2023九年级上·江苏南京·竞赛）如图，扇形的圆心角，半径为，正方形内接于该扇形，则正方形的边长为 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，污水水面至管道顶部的距离为，则圆形管道的直径为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则 ． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 16．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（23-24八年级上·江苏扬州·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 18．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程∶ (1)； (2)．（配方法） 19．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 23．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 24．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 25．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 26．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 27．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 拔尖A卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围为， ∴符合条件的所有整数的值为，，， 故答案为：，，． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，设该联赛有队伍x支，则比赛场数为，列出方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设该联赛有队伍x支，则每支球队会与除本身外的支球队进行比赛，故总共有场比赛，但考虑到重复计数问题（如“A队与B队比赛”和“B队与A队比赛”重复计算），故实际的比赛场数为， 由题可知， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：13． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解三角形的外接圆的半径，勾股定理的应用，先画图，判断圆心在的垂直平分线上，即在轴上，设，再利用勾股定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，记圆心为， ∵，， ∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上， 设， ∴， 解得：； ∴半径为：， ∴圆的周长为， 故答案为： 13．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 14．（2022·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 15．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    【答案】 【分析】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵为圆的直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质可得，，再结合，可得，由正方形的性质可得，，，进而可证得四边形和是矩形，于是可得，，则，利用可证得，于是可得，再结合，即，可证得四边形是平行四边形，于是可得，进而可得，由此可证得是等边三角形，于是可得，然后根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可得：，， 又， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形和是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据是方程的根，可得：，根据分式的运算法则可得：原式，从而可得分式的值为. 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 原式． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点，选择恰当的解法是解题的关键． （1）用公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴，； （2）解：， 因式分解得， 则或， ∴，． 19．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】(1)见详解 (2)它的另一个根为，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）证明： ， 故该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)1152元 (2)不能；理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件）， 所以此时的销售价为元，销售量为（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为（元）． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润． 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 21．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)不正确，图见解析 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图——线段垂直平分线的作法： （1）根据垂径定理的推论进行判断； （2）平分线段，而不是所对的弦，因此不能平分，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：与相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （2）解：不正确，作图如下． 23．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则点D和即为所求； （2）连接，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，则，由等边对等角得到，则，则，据此可得，即的半径为． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 24．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【详解】（1）解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． （2）解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】（1）连接OB，根据，推导得，结合对顶角相等，得；根据是的切线，得；再结合，得，从而推导出，即可完成证明； （2）结合题意，设，根据（1）的结论，得；再根据勾股定理的知识计算，即可得到答案． 【详解】（1）连接OB ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）设 根据（1）的结论，得 ∴ ∵ ∴ ∵若的半径为 ∴ ∴ ∴ 即的长：2． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、直角三角形勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 26．（24-25九年级·江苏·假期作业）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算． 【详解】（1）解：设∠AOB＝n°， 根据题意得， 解得n＝120， α为120°； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图， ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝60°， ∴ODOC＝2， ∴CDOD， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $